Уменьшенное кольцо - Reduced ring
В теория колец, а звенеть R называется уменьшенное кольцо если у него нет ненулевого нильпотентный элементы. Точно так же кольцо сокращается, если в нем нет ненулевых элементов с квадратом нуля, то есть Икс2 = 0 означает Икс = 0. Коммутативная алгебра над коммутативным кольцом называется приведенная алгебра если его нижнее кольцо уменьшено.
Нильпотентные элементы коммутативного кольца р для мужчин идеальный из р, называется нильрадикал из р; поэтому коммутативное кольцо редуцируется тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю. Более того, коммутативное кольцо редуцируется тогда и только тогда, когда единственный элемент, содержащийся во всех простых идеалах, равен нулю.
А кольцо частного R / I уменьшается тогда и только тогда, когда я это радикальный идеал.
Позволять D - множество всех нулевых делителей в редуцированном кольце р. потом D это союз всех минимальные простые идеалы.[1]
Через Кольцо Нётериана р, мы говорим о конечно порожденном модуле M имеет локально постоянный ранг, если является локально постоянной (или эквивалентно непрерывной) функцией на Spec р. потом р редуцируется тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный модуль локально постоянного ранга является проективный.[2]
Примеры и не примеры
- Подкольца, товары, и локализации редуцированных колец снова редуцированные кольца.
- Кольцо целых чисел Z редуцированное кольцо. Каждый поле и каждый кольцо многочленов над полем (от произвольного числа переменных) является редуцированным кольцом.
- В более общем плане каждый область целостности является редуцированным кольцом, поскольку нильпотентный элемент тем более делитель нуля. С другой стороны, не всякое редуцированное кольцо является областью целостности. Например, кольцо Z[Икс, у]/(ху) содержит х + (ху) и у + (ху) как делители нуля, но без ненулевых нильпотентных элементов. Другой пример: кольцо Z×Z содержит (1,0) и (0,1) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов.
- Кольцо Z/6Z уменьшается, однако Z/4Z не сокращен: класс 2 + 4Z нильпотентен. В целом, Z/пZ уменьшается тогда и только тогда, когда п = 0 или п это целое число без квадратов.
- Если р коммутативное кольцо и N это нильрадикал из р, то факторкольцо р/N уменьшен.
- Коммутативное кольцо р из характеристика п для какого-то простого числа п уменьшается тогда и только тогда, когда его Эндоморфизм Фробениуса является инъективный. (ср. идеальное поле.)
Обобщения
Приведенные кольца играют элементарную роль в алгебраическая геометрия, где это понятие обобщено до понятия сокращенная схема.
Смотрите также
Примечания
- ^ Доказательство: пусть - все (возможно, нулевые) минимальные простые идеалы.
- Позволять Икс быть в D. потом ху = 0 для некоторого ненулевого у. С р редуцируется, (0) является пересечением всех и поэтому у нет в некоторых . С ху во всем ; в частности, в , Икс в .
- (украдено у Капланского, коммутативные кольца, теорема 84). Опускаем нижний индекс я. Позволять . S мультипликативно замкнуто, поэтому мы можем рассматривать локализацию . Позволять - прообраз максимального идеала. потом содержится в обоих D и и по минимальности . (Это направление немедленно, если р Нётер по теории связанные простые числа.)
- ^ Эйзенбуд, Упражнение 20.13.
Рекомендации
- Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, Hermann Paris 1972, гл. II, § 2.7
- Н. Бурбаки, Алгебра, Springer 1990, гл. V, § 6.7
- Эйзенбуд, Дэвид, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.