Делитель нуля - Zero divisor

В абстрактная алгебра, элемент $а$ из кольцо $р$ называется левый делитель нуля если существует ненулевой $Икс$ такой, что $топор = 0$ ,^[1] или эквивалентно, если карта из $р$ к $р$ что посылает $Икс$ к $топор$ не является инъективный (один к одному ).^[а] Точно так же элемент $а$ кольца называется правый делитель нуля если существует ненулевой $у$ такой, что $я = 0$ . Это частный случай делимость в кольцах. Элемент, который является левым или правым делителем нуля, просто называется делитель нуля.^[2] Элемент $а$ который является левым и правым делителем нуля, называется двусторонний делитель нуля (ненулевой $Икс$ такой, что $топор = 0$ может отличаться от ненулевого $у$ такой, что $я = 0$ ). Если кольцо коммутативно, то левый и правый делители нуля совпадают.

Элемент кольца, не являющийся левым делителем нуля, называется оставил обычный или осталось отменяемым. Точно так же элемент кольца, не являющийся правым делителем нуля, называется правильный обычный или право отменяется.Элемент кольца, который может быть сокращен слева и справа и, следовательно, не является делителем нуля, называется регулярный или отменяемый,^[3] или неделитель нуля. Дивизор нуля, отличный от нуля, называется ненулевой делитель нуля или нетривиальный делитель нуля. Если нет нетривиальных делителей нуля в $р$ , тогда $р$ это домен.

Примеры

в кольцо ${ Displaystyle mathbb {Z} / 4 mathbb {Z}}$ , класс остатка ${ displaystyle { overline {2}}}$ является делителем нуля, поскольку ${ displaystyle { overline {2}} times { overline {2}} = { overline {4}} = { overline {0}}}$ .
Единственный делитель нуля кольца ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ из целые числа является ${ displaystyle 0}$ .
А нильпотентный элемент ненулевого кольца всегда является двусторонним делителем нуля.
An идемпотентный элемент ${ displaystyle e neq 1}$ кольца всегда является двусторонним делителем нуля, так как ${ Displaystyle е (1-е) = 0 = (1-е) е}$ .
В кольцо ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы через поле имеет ненулевые делители нуля, если ${ Displaystyle п geq 2}$ . Примеры делителей нуля в кольце ${ displaystyle 2 times 2}$ матрицы (над любыми ненулевое кольцо ) показаны здесь:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 2 & 2 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 1 - 1 & -1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -2 & 1 - 2 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 1 2 & 2 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {pmatrix}},}$
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix }} { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}}$ .
А прямой продукт из двух или более ненулевые кольца всегда имеет ненулевые делители нуля. Например, в ${ Displaystyle R_ {1} times R_ {2}}$ с каждым ${ displaystyle R_ {i}}$ ненулевой, ${ Displaystyle (1,0) (0,1) = (0,0)}$ , так ${ displaystyle (1,0)}$ является делителем нуля.

Односторонний делитель нуля

Рассмотрим кольцо (формальных) матриц ${ displaystyle { begin {pmatrix} x & y 0 & z end {pmatrix}}}$ с участием ${ displaystyle x, z in mathbb {Z}}$ и ${ Displaystyle у в mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ . потом ${ displaystyle { begin {pmatrix} x & y 0 & z end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a & b 0 & c end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} xa & xb + yc 0 & zc end {pmatrix}}}$ и ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b 0 & c end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x & y 0 & z end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} xa & ya + zb 0 & zc end {pmatrix}}}$ . Если ${ Displaystyle х neq 0 neq z}$ , тогда ${ displaystyle { begin {pmatrix} x & y 0 & z end {pmatrix}}}$ является левым делителем нуля если и только если ${ displaystyle x}$ чётно, так как ${ displaystyle { begin {pmatrix} x & y 0 & z end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & x 0 & 0 end {pmatrix }}}$ , и он является правым делителем нуля тогда и только тогда, когда ${ displaystyle z}$ есть даже по аналогичным причинам. Если любой из ${ displaystyle x, z}$ является ${ displaystyle 0}$ , то это двусторонний делитель нуля.
Вот еще один пример кольца с элементом, который является делителем нуля только с одной стороны. Позволять ${ displaystyle S}$ быть набором всех последовательности целых чисел ${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...)}$ . Возьми за кольцо все аддитивные карты от ${ displaystyle S}$ к ${ displaystyle S}$ , с участием точечно дополнение и сочинение как кольцевые операции. (То есть наше кольцо ${ Displaystyle mathrm {Конец} (S)}$ , то кольцо эндоморфизмов аддитивной группы ${ displaystyle S}$ .) Три примера элементов этого кольца: сдвиг вправо ${ displaystyle R (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (0, a_ {1}, a_ {2}, ...)}$ , то левый "шифт ${ displaystyle L (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ...)}$ , а карта проекции на первый фактор ${ Displaystyle P (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {1}, 0,0, ...)}$ . Все три из них аддитивные карты не равны нулю, и композиты ${ displaystyle LP}$ и ${ displaystyle PR}$ оба равны нулю, поэтому ${ displaystyle L}$ является левым делителем нуля и ${ displaystyle R}$ является правым делителем нуля в кольце аддитивных отображений из ${ displaystyle S}$ к ${ displaystyle S}$ . Однако, ${ displaystyle L}$ не является правым делителем нуля и ${ displaystyle R}$ не является левым делителем нуля: композиция ${ displaystyle LR}$ это личность. ${ displaystyle RL}$ является двусторонним делителем нуля, поскольку ${ displaystyle RLP = 0 = PRL}$ , в то время как ${ displaystyle LR = 1}$ не в каком направлении.

Не примеры

Кольцо целых чисел по модулю а простое число не имеет делителей нуля, кроме 0. Поскольку каждый ненулевой элемент является единица измерения, это кольцо конечное поле.
В более общем плане делительное кольцо не имеет делителей нуля, кроме 0.
А ненулевой коммутативное кольцо у которого единственный делитель нуля равен 0, называется область целостности.

Свойства

В кольце $п$ -от- $п$ матрицы над поле, левый и правый делители нуля совпадают; они именно сингулярные матрицы. В кольце $п$ -от- $п$ матрицы над область целостности, делители нуля - это в точности матрицы с детерминант нуль.
Левый или правый делитель нуля никогда не может быть единицы, потому что, если $а$ обратима и $топор = 0$ , тогда $0 = а -1 0 = а -1 топор = Икс$ для некоторого ненулевого $Икс$ .
Элемент отменяемый на той стороне, на которой он регулярный. То есть, если $а$ левый регуляр, $топор = ай$ подразумевает, что $Икс = у$ , и аналогично для правого регулярного.

Ноль как делитель нуля

Нет необходимости в отдельном соглашении по делу. $а = 0$ , потому что определение применимо и в этом случае:

Если $р$ кольцо кроме нулевое кольцо, тогда $0$ является (двусторонним) делителем нуля, поскольку $0 \cdot а = 0 = а \cdot 0$ , где $а$ является ненулевым элементом $р$ .
Если $р$ это нулевое кольцо, в котором $0 = 1$ , тогда $0$ не является делителем нуля, потому что нет ненулевой элемент, который при умножении на $0$ дает $0$ .

Такие свойства необходимы для того, чтобы сделать следующие общие утверждения верными:

В коммутативном кольце $р$ , множество неделителей нуля есть мультипликативный набор в $р$ . (Это, в свою очередь, важно для определения кольцо полного частного.) То же самое верно для множества не левых делителей нуля и множества не левых делителей нуля в произвольном кольце, коммутативном или нет.
В коммутативном нётеровом кольце $р$ , множество делителей нуля представляет собой объединение связанные основные идеалы из $р$ .

Некоторые ссылки решили исключить $0$ как делитель нуля по соглашению, но тогда они должны внести исключения в два только что сделанных общих утверждения.

Делитель нуля на модуле

Позволять $р$ коммутативное кольцо, пусть $M$ быть $р$ -модуль, и разреши $а$ быть элементом $р$ . Один говорит, что $а$ является $M$ -регулярный если "умножение на $а$ " карта ${ displaystyle M { stackrel {a} { to}} M}$ инъективно, и что $а$ это делитель нуля на $M$ в противном случае.^[4] Набор $M$ -регулярные элементы - это мультипликативный набор в $р$ .^[4]

Специализируясь на определениях " $M$ -регулярный "и" делитель нуля на $M$ "к делу $M = р$ восстанавливает определения «регулярного» и «делителя нуля», данные ранее в этой статье.

Смотрите также

Собственность нулевого продукта
Словарь коммутативной алгебры (Точный делитель нуля)
График делителей нуля

Заметки

^ Поскольку отображение не инъективно, имеем $топор = ай$ , в котором $Икс$ отличается от $у$ , и поэтому $а (Икс - у) = 0$ .

использованная литература

^ Н. Бурбаки (1989), Алгебра I, главы 1–3, Springer-Verlag, стр. 98
^ Чарльз Лански (2005), Понятия в абстрактной алгебре, American Mathematical Soc., Стр. 342
^ Николя Бурбаки (1998). Алгебра I. Springer Science + Business Media. п. 15.
^ ^а ^б Хидеюки Мацумура (1980), Коммутативная алгебра, 2-е издание, The Benjamin / Cummings Publishing Company, Inc., стр. 12

дальнейшее чтение

«Делитель нуля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Мишель Хазевинкель; Надежда Губарени; Надежда Михайловна Губарени; Владимир В. Кириченко. (2004), Алгебры, кольца и модули, Vol. 1, Спрингер, ISBN 1-4020-2690-0
Вайсштейн, Эрик В. «Нулевой делитель». MathWorld.

[2] Поскольку отображение не инъективно, имеем $топор = ай$ , в котором $Икс$ отличается от $у$ , и поэтому $а (Икс - у) = 0$ .

[1] Н. Бурбаки (1989), Алгебра I, главы 1–3, Springer-Verlag, стр. 98

[3] Чарльз Лански (2005), Понятия в абстрактной алгебре, American Mathematical Soc., Стр. 342

[4] Николя Бурбаки (1998). Алгебра I. Springer Science + Business Media. п. 15.

[Matsumura-p12-5] а ^б Хидеюки Мацумура (1980), Коммутативная алгебра, 2-е издание, The Benjamin / Cummings Publishing Company, Inc., стр. 12

[1]

[а]

[2]

[3]

[4]