Кольцо продукта - Product ring

В математика, можно комбинировать несколько кольца в один большой кольцо продукта. Это делается путем предоставления Декартово произведение семейства колец (возможно бесконечного) покоординатного сложения и умножения. Полученное кольцо называется прямой продукт оригинальных колец.

Примеры

Важный пример - кольцо Z/пZ из целые числа по модулю п. Если п написано как продукт основной полномочия (см. основная теорема арифметики ),

{ displaystyle n = p_ {1} ^ {n_ {1}} p_ {2} ^ {n_ {2}} cdots p_ {k} ^ {n_ {k}},}

где п_я различные простые числа, то Z/пZ естественно изоморфный к кольцу продукта

{ Displaystyle mathbf {Z} / p_ {1} ^ {n_ {1}} mathbf {Z} times mathbf {Z} / p_ {2} ^ {n_ {2}} mathbf {Z } times cdots times mathbf {Z} / p_ {k} ^ {n_ {k}} mathbf {Z}.}

Это следует из Китайская теорема об остатках.

Характеристики

Если р = Π_я∈я р_я является произведением колец, то для каждого я в я у нас есть сюръективный кольцевой гомоморфизм п_я: р → р_я который проецирует продукт на я-я координата. Продукт рвместе с прогнозами п_я, имеет следующие универсальная собственность:

если S любое кольцо и ж_я: S → р_я является гомоморфизмом колец для любого я в я, то существует ровно один кольцевой гомоморфизм ж: S → р такой, что п_я ∘ ж = ж_я для каждого я в я.

Это показывает, что произведение колец является примером продукты в смысле теории категорий.

Когда я конечна, основная аддитивная группа Π_я∈я р_я совпадает с прямая сумма аддитивных групп р_я. В этом случае некоторые авторы называют р "прямая сумма колец р_я" и писать ⊕_я∈я р_я, но это неверно с точки зрения теории категорий, поскольку обычно сопродукт в категории колец: например, когда два или более р_я отличны от нуля, отображение включения р_я → р не отображает 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец.

(Конечное копроизведение в категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над коммутативным кольцом является тензорное произведение алгебр. Копроизведение в категории алгебр - это свободное произведение алгебр.)

Прямые продукты коммутативны и ассоциативны (с точностью до изоморфизма), что означает, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямой продукт.

Если А_я является идеальный из р_я для каждого я в я, тогда А = Π_я∈я А_я это идеал р. Если я конечно, то верно обратное, т. е. любой идеал р имеет такую форму. Однако если я бесконечно и кольца р_я ненулевые, то обратное неверно: множество элементов со всеми, кроме конечного числа ненулевых координат образует идеал, который не является прямым произведением идеалов р_я. Идеал А это главный идеал в р если все, кроме одного из А_я равны р_я а остальные А_я главный идеал в р_я. Однако обратное неверно, когда я бесконечно. Например, прямая сумма из р_я образуют идеал, не содержащийся ни в одном таком А, но аксиома выбора дает, что он содержится в некоторых максимальный идеал который a fortiori основной.

Элемент Икс в р является единицей тогда и только тогда, когда все ее компоненты являются единицами, т. е. тогда и только тогда, когда п_я(Икс) единица в р_я для каждого я в я. Группа единиц р это товар групп подразделений р_я.

Произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля: если Икс является элементом продукта, все координаты которого равны нулю, кроме п_я(Икс), и у является элементом продукта со всеми нулевыми координатами, кроме п_j(у) куда я ≠ j, тогда ху = 0 в кольце продукта.

Смотрите также

Прямой продукт

Кольцо продукта - Product ring

Содержание

Примеры

Характеристики

Смотрите также

Примечания

Рекомендации