Алгебраическая независимость - Algebraic independence

В абстрактная алгебра, а подмножество ${\displaystyle S}$ из поле ${\displaystyle L}$ является алгебраически независимый через подполе ${\displaystyle K}$ если элементы ${\displaystyle S}$ не удовлетворяют никому не-банальный многочлен уравнение с коэффициентами в ${\displaystyle K}$.

В частности, одноэлементный набор ${\displaystyle \{\alpha \}}$ алгебраически независима над ${\displaystyle K}$ если и только если ${\displaystyle \alpha }$ является трансцендентный над ${\displaystyle K}$. В общем, все элементы алгебраически независимого множества ${\displaystyle S}$ над ${\displaystyle K}$ по необходимости трансцендентны над ${\displaystyle K}$, и за все расширения полей над ${\displaystyle K}$ порожденный остальными элементами ${\displaystyle S}$.

Пример

Два действительные числа ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ и ${\displaystyle 2\pi +1}$ каждый трансцендентные числа: они не являются корнями любого нетривиального многочлена, коэффициенты которого равны рациональное число. Таким образом, каждый из двух одиночные наборы ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$ и ${\displaystyle \{2\pi +1\}}$ алгебраически независимы над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рациональных чисел.

Однако набор ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$ является нет алгебраически независимым над рациональными числами, поскольку нетривиальный многочлен

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

равно нулю, когда ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$ и ${\displaystyle y=2\pi +1}$.

Алгебраическая независимость известных констант

Хотя оба ${\displaystyle \pi }$ и е известны как трансцендентные, неизвестно, является ли их множество алгебраически независимым над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[1] На самом деле, даже не известно, ${\displaystyle \pi +e}$ иррационально.^[2]Нестеренко в 1996 году доказал, что:

• цифры ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e^{\pi }}$, и Γ (1/4) алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[3]
• цифры ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$, и Γ (1/3) алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• для всех положительных целых чисел ${\displaystyle n}$, цифры ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[4]

Теорема Линдемана – Вейерштрасса

В Теорема Линдемана – Вейерштрасса часто можно использовать для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. В нем говорится, что всякий раз, когда ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ находятся алгебраические числа которые линейно независимый над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, тогда ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$ также алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Алгебраические матроиды

Основная статья: Алгебраический матроид

Учитывая расширение поля ${\displaystyle L/K}$ что не является алгебраическим, Лемма Цорна может использоваться, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество ${\displaystyle L}$ над ${\displaystyle K}$. Далее, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковые мощность, известный как степень трансцендентности расширения.

Для каждого набора ${\displaystyle S}$ элементов ${\displaystyle L}$, алгебраически независимые подмножества ${\displaystyle S}$ удовлетворяют аксиомам, определяющим независимые множества матроид. В этом матроиде ранг набора элементов - это степень его трансцендентности, а плоскость, порожденная набором ${\displaystyle T}$ элементов - это пересечение ${\displaystyle L}$ с полем ${\displaystyle K[T]}$. Матроид, который может быть создан таким образом, называется алгебраический матроид. Хорошая характеристика алгебраических матроидов не известна, но известно, что некоторые матроиды не являются алгебраическими; самый маленький Вамос матроид.^[5]

Многие конечные матроиды могут быть представлен по матрица над полем ${\displaystyle K}$, в котором элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а набор элементов независим, если соответствующий набор столбцов равен линейно независимый. Каждый матроид с линейным представлением этого типа также может быть представлен как алгебраический матроид, если выбрать неопределенный для каждой строки матрицы и с помощью коэффициентов матрицы в каждом столбце назначить каждому матроидному элементу линейную комбинацию этих трансцендентальных чисел. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление.^[6]

Рекомендации

1. Патрик Моранди (1996). Теория поля и Галуа. Springer. п. 174. ISBN  978-0-387-94753-2. Получено 2008-04-11.
2. Грин, Бен (2008), «III.41 Иррациональные и трансцендентные числа», в Gowers, Timothy (ed.), Принстонский компаньон математики, Princeton University Press, стр. 222
3. Манин, Ю. Я.; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел. Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). п. 61. ISBN  978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
4. Нестеренко Юрий В (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914.
5. Ingleton, A. W .; Майн, Р. А. (1975), "Неалгебраические матроиды существуют", Бюллетень Лондонского математического общества, 7: 144–146, Дои:10.1112 / blms / 7.2.144, МИСТЕР  0369110.
6. Джоши, К. Д. (1997), Прикладные дискретные конструкции, New Age International, стр. 909, г. ISBN  9788122408263.

внешняя ссылка

• Чен, Джонни. «Алгебраически независимый». MathWorld.