Градуированное кольцо - Graded ring

В математика, особенно абстрактная алгебра, а градуированное кольцо это звенеть такая, что основная аддитивная группа является прямая сумма абелевых групп ${\displaystyle R_{i}}$ такой, что ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$. Набор индексов обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым. моноид. Разложение в прямую сумму обычно называют градация или же оценка.

А градуированный модуль определяется аналогично (точное определение см. ниже). Это обобщает градуированные векторные пространства. Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированная алгебра. Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированное ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-алгебра.

Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца; следовательно, понятие применяется к неассоциативные алгебры также; например, можно рассматривать градуированная алгебра Ли.

Первые свойства

Обычно предполагается, что индексный набор градуированного кольца является набором неотрицательных целых чисел, если иное не указано явно. Так обстоит дело в этой статье.

Градуированное кольцо - это звенеть который разлагается на прямая сумма

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

из аддитивные группы, так что

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

для всех неотрицательных целых чисел м и п.

Ненулевой элемент ${\displaystyle R_{n}}$ как говорят однородный из степень п. По определению прямой суммы каждый ненулевой элемент а из р можно однозначно записать в виде суммы ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$ где каждый ${\displaystyle a_{i}}$ либо 0, либо однороден степени я. Ненулевой ${\displaystyle a_{i}}$ являются однородные компоненты иза.

Некоторые основные свойства:

• ${\displaystyle R_{0}}$ это подкольцо из р; в частности, мультипликативное тождество 1 является однородным элементом нулевой степени.
• Для любого п, ${\displaystyle R_{n}}$ двусторонний ${\displaystyle R_{0}}$-модуль, а разложение в прямую сумму представляет собой прямую сумму ${\displaystyle R_{0}}$-модули.
• р является ассоциативный ${\displaystyle R_{0}}$-алгебра.

An идеальный ${\displaystyle I\subseteq R}$ является однородный, если для каждого ${\displaystyle a\in I}$, однородные компоненты ${\displaystyle a}$ также принадлежат ${\displaystyle I.}$ (Эквивалентно, если это градуированный подмодуль р; видеть § Оценочный модуль.) Пересечение однородного идеала ${\displaystyle I}$ с ${\displaystyle R_{n}}$ является ${\displaystyle R_{0}}$-подмодуль ${\displaystyle R_{n}}$ называется однородная часть степени п из ${\displaystyle I}$. Однородный идеал - это прямая сумма его однородных частей.

Если я является двусторонним однородным идеалом в р, тогда ${\displaystyle R/I}$ также является градуированным кольцом, разложенным как

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

куда ${\displaystyle I_{n}}$ однородная часть степени п из я.

Основные примеры

• Любое (не оцениваемое) кольцо р можно дать градацию, позволив ${\displaystyle R_{0}=R}$, и ${\displaystyle R_{i}=0}$ за я ≠ 0. Это называется тривиальная градация нар.
• В кольцо многочленов ${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ оценивается степень: это прямая сумма ${\displaystyle R_{i}}$ состоящий из однородные многочлены степени я.
• Позволять S - множество всех ненулевых однородных элементов в градуированной область целостности р. Тогда локализация из р относительно S это ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-градуированное кольцо.
• Если я идеал в коммутативном кольце р, тогда ${\displaystyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ градуированное кольцо, называемое связанное градуированное кольцо из р вдоль я; геометрически это координатное кольцо нормальный конус вдоль подмногообразия, определяемого я.

Градуированный модуль

Соответствующая идея в теория модулей это то из градуированный модуль, а именно левый модуль M над градуированным кольцом р так что также

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

и

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}$

Пример: а градуированное векторное пространство является примером градуированного модуля над полем (с полем, имеющим тривиальную градуировку).

Пример: градуированное кольцо - это градуированный модуль над самим собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. В аннигилятор градуированного модуля - однородный идеал.

Пример: Учитывая идеал я в коммутативном кольце р и р-модуль M, прямая сумма ${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$ является градуированным модулем над ассоциированным градуированным кольцом ${\displaystyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$.

Морфизм ${\displaystyle f:N\to M}$ между градуированными модулями, называемыми ступенчатый морфизм, является морфизмом базовых модулей, учитывающим оценивание; т.е. ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$. А оцениваемый подмодуль представляет собой подмодуль, который является самостоятельным градуированным модулем и такой, что теоретико-множественное включение является морфизмом градуированных модулей. Явно оцениваемый модуль N является градуированным подмодулем M тогда и только тогда, когда это подмодуль M и удовлетворяет ${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$. Ядро и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями.

Замечание: дать градуированный морфизм от градуированного кольца к другому градуированному кольцу с изображением, лежащим в центре, то же самое, что дать структуру градуированной алгебры последнему кольцу.

Учитывая оцененный модуль ${\displaystyle M}$, то ${\displaystyle \ell }$-поворот ${\displaystyle M}$ это градуированный модуль, определяемый ${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$. (ср. Скручивающаяся связка Серра в алгебраической геометрии.)

Позволять M и N быть оцененными модулями. Если ${\displaystyle f\colon M\to N}$ является морфизмом модулей, то ж считается, что имеет степень d если ${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$. An внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии является примером такого морфизма, имеющего степень 1.

Инварианты градуированных модулей

Учитывая оцененный модуль M над коммутативным градуированным кольцом р, можно связать формальный степенной ряд ${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$:

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(при условии ${\displaystyle \ell (M_{n})}$ конечны.) Это называется Ряд Гильберта – Пуанкаре из M.

Градуированный модуль называется конечно порожденным, если основной модуль конечно порожден. Генераторы можно считать однородными (заменяя генераторы их однородными частями).

Предполагать р кольцо многочленов ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$, k поле и M конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функция ${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$ называется функцией Гильберта M. Функция совпадает с целочисленный многочлен для больших п называется Полином Гильберта из M.

Градуированная алгебра

Смотрите также: Градуированная алгебра Ли

An алгебра А над кольцом р это градуированная алгебра если он оценивается как кольцо.

В обычном случае, когда кольцо р не оценивается (в частности, если р является полем), ему дается тривиальная градуировка (каждый элемент р имеет степень 0). Таким образом, ${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$ и оцененные части ${\displaystyle A_{i}}$ находятся р-модули.

В том случае, если кольцо р также является градуированным кольцом, то требуется, чтобы

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

Другими словами, нам требуется А быть градуированным левым модулем над р.

Примеры градуированных алгебр распространены в математике:

• Кольца полиномов. Однородные элементы степени п в точности однородные многочлены степени п.
• В тензорная алгебра ${\displaystyle T^{\bullet }V}$ из векторное пространство V. Однородные элементы степени п являются тензоры порядка п, ${\displaystyle T^{n}V}$.
• В внешняя алгебра ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ и симметрическая алгебра ${\displaystyle S^{\bullet }V}$ также являются градуированными алгебрами.
• В кольцо когомологий ${\displaystyle H^{\bullet }}$ в любом теория когомологий также градуируется, являясь прямой суммой групп когомологий ${\displaystyle H^{n}}$.

Градуированные алгебры широко используются в коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия, гомологическая алгебра, и алгебраическая топология. Одним из примеров является тесная взаимосвязь между однородными многочлены и проективные многообразия (ср. однородное координатное кольцо.)

грамм-градуированные кольца и алгебры

Приведенные выше определения были обобщены на кольца, градуированные с использованием любых моноид грамм как набор индексов. А грамм-градуированное кольцо р кольцо с разложением в прямую сумму

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

такой, что

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Элементы р что лежит внутри ${\displaystyle R_{i}}$ для некоторых ${\displaystyle i\in G}$ как говорят однородный из оценка я.

Определенное ранее понятие «градуированное кольцо» теперь становится тем же, что и ${\displaystyle \mathbb {N} }$-градуированное кольцо, где ${\displaystyle \mathbb {N} }$ моноид неотрицательные целые числа под дополнением. Определения градуированных модулей и алгебр также можно расширить таким образом, заменив набор индексации ${\displaystyle \mathbb {N} }$ с любым моноидом грамм.

Примечания:

• Если мы не требуем, чтобы кольцо имело элемент идентичности, полугруппы может заменить моноиды.

Примеры:

• Группа естественным образом оценивает соответствующий групповое кольцо; по аналогии, моноидные кольца градуируются соответствующим моноидом.
• (Ассоциативный) супералгебра это еще один термин для ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ -градуированная алгебра. Примеры включают Алгебры Клиффорда. Здесь однородные элементы либо степени 0 (четные), либо 1 (нечетные).

Антикоммутативность

Некоторые градуированные кольца (или алгебры) наделены антикоммутативный структура. Это понятие требует гомоморфизм моноида градации в аддитивный моноид ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, поле с двумя элементами. В частности, подписанный моноид состоит из пары ${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$ куда ${\displaystyle \Gamma }$ моноид и ${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ является гомоморфизмом аддитивных моноидов. An антикоммутативный ${\displaystyle \Gamma }$-градуированное кольцо кольцо А градуированная по Γ такая, что:

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

для всех однородных элементов Икс и у.

Примеры

• An внешняя алгебра является примером антикоммутативной алгебры, градуированной по структуре ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ куда ${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ - факторное отображение.
• А суперкоммутативная алгебра (иногда называемый косо-коммутативное ассоциативное кольцо) то же самое, что и антикоммутативный ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$-градуированная алгебра, где ${\displaystyle \varepsilon }$ это личность эндоморфизм аддитивной структуры ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Градуированный моноид

Интуитивно оцененный моноид - подмножество градуированного кольца, ${\displaystyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$, порожденный ${\displaystyle R_{n}}$х, без использования аддитивной части. То есть набор элементов градуированного моноида равен ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$.

Формально градуированный моноид^[1] это моноид ${\displaystyle (M,\cdot )}$, с функцией градации ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$ такой, что ${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$. Обратите внимание, что градация ${\displaystyle 1_{M}}$ обязательно 0. Некоторые авторы требуют, кроме того, ${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$когда м это не личность.

Если предположить, что градации неединичных элементов не равны нулю, количество элементов градации п самое большее ${\displaystyle g^{n}}$ куда грамм это мощность генераторная установка грамм моноида. Поэтому количество элементов градации п или меньше самое большее ${\displaystyle n+1}$ (за ${\displaystyle g=1}$) или же ${\displaystyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ еще. В самом деле, каждый такой элемент является продуктом не более чем п элементы грамм, и только ${\displaystyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ такие продукты существуют. Точно так же элемент идентичности не может быть записан как продукт двух неидентификационных элементов. То есть в таком градуированном моноиде нет делителя единицы.

Степенной ряд, индексированный градуированным моноидом

Смотрите также: Кольцо Новикова

Это понятие позволяет расширить понятие кольцо серии power. Вместо того, чтобы индексирующая семья ${\displaystyle \mathbb {N} }$, индексирующее семейство может быть любым градуированным моноидом, предполагая, что количество элементов степени п конечно, для каждого целого п.

Более формально, пусть ${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$ быть произвольным полукольцо и ${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$ градуированный моноид. потом ${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$ обозначает полукольцо степенного ряда с коэффициентами в K проиндексировано р. Его элементы являются функциями от р к K. Сумма двух элементов ${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$ определяется точечно, это функция, отправляющая ${\displaystyle m\in R}$ к ${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$. И продукт - это функция отправки ${\displaystyle m\in R}$ к бесконечной сумме ${\displaystyle \sum _{p,q\in R,p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$. Эта сумма определена правильно (т.е. конечна), поскольку для каждого м, только конечное число пар (р, д) такой, что pq = m существовать.

Пример

В формальная теория языка, учитывая алфавит А, то свободный моноид слов над А можно рассматривать как градуированный моноид, где градацией слова является его длина.

Смотрите также

• Связанное градуированное кольцо
• Дифференциальная градуированная алгебра
• Фильтрованная алгебра, обобщение
• Оценка (математика)
• Оцениваемая категория
• Градуированное векторное пространство
• Тензорная алгебра
• Дифференциальный градуированный модуль

Рекомендации

1. Сакарович, Жак (2009). «Часть II: Сила алгебры». Элементы теории автоматов. Перевод Томаса, Рувима. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 384. ISBN  978-0-521-84425-3. Zbl  1188.68177.

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556.
• Бурбаки, Н. (1974) Алгебра I (Главы 1-3), ISBN  978-3-540-64243-5, Глава 3, Раздел 3.
• Х. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.