Связанное градуированное кольцо - Associated graded ring

В математика, то связанное градуированное кольцо из звенеть р в отношении надлежащего идеальный я это градуированное кольцо:

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\oplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$.

Аналогично, если M левый р-модуль, затем связанный оцениваемый модуль это градуированный модуль над ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$:

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$.

Основные определения и свойства

Для кольца р и идеальный я, умножение в ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$ определяется следующим образом: сначала рассмотрим однородные элементы ${\displaystyle a\in I^{i}/I^{i+1}}$ и ${\displaystyle b\in I^{j}/I^{j+1}}$ и предположим ${\displaystyle a'\in I^{i}}$ является представителем а и ${\displaystyle b'\in I^{j}}$ является представителем б. Затем определите ${\displaystyle ab}$ быть классом эквивалентности ${\displaystyle a'b'}$ в ${\displaystyle I^{i+j}/I^{i+j+1}}$. Обратите внимание, что это четко определенный по модулю ${\displaystyle I^{i+j+1}}$. Умножение неоднородных элементов определяется с помощью свойства распределенности.

Кольцо или модуль могут быть связаны с соответствующим градуированным кольцом или модулем через карта исходной формы. Позволять M быть р-модуль и я идеал р. Данный ${\displaystyle f\in M}$, то исходная форма из ж в ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$, написано ${\displaystyle \mathrm {in} (f)}$, - класс эквивалентности ж в ${\displaystyle I^{m}M/I^{m+1}M}$ куда м - максимальное целое число такое, что ${\displaystyle f\in I^{m}M}$. Если ${\displaystyle f\in I^{m}M}$ для каждого м, затем установите ${\displaystyle \mathrm {in} (f)=0}$. Первоначальная карта формы - это всего лишь карта множеств, а не гомоморфизм. Для подмодуль ${\displaystyle N\subset M}$, ${\displaystyle \mathrm {in} (N)}$ определяется как подмодуль ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$ создано ${\displaystyle \{\mathrm {in} (f)|f\in N\}}$. Это может не совпадать с подмодулем ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$ порожденные единственными начальными формами генераторов N.

Кольцо наследует некоторые «хорошие» свойства от связанного с ним градуированного кольца. Например, если р это нётерский местное кольцо, и ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$ является область целостности, тогда р сам по себе является целостной областью.^[1]

gr факторного модуля

Позволять ${\displaystyle N\subset M}$ быть левыми модулями над кольцом р и я идеал р. С

${\displaystyle {I^{n}(M/N) \over I^{n+1}(M/N)}\simeq {I^{n}M+N \over I^{n+1}M+N}\simeq {I^{n}M \over I^{n}M\cap (I^{n+1}M+N)}={I^{n}M \over I^{n}M\cap N+I^{n+1}M}}$

(последнее равенство модульный закон ), есть каноническая идентификация:^[2]

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M/N)=\operatorname {gr} _{I}M/\operatorname {in} (N)}$

куда

${\displaystyle \operatorname {in} (N)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{I^{n}M\cap N+I^{n+1}M \over I^{n+1}M},}$

называется подмодуль, порожденный начальными формами элементов ${\displaystyle N}$.

Примеры

Позволять U быть универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем k; фильтруется по степени. В Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. подразумевает, что ${\displaystyle \operatorname {gr} U}$ кольцо многочленов; на самом деле это координатное кольцо ${\displaystyle k[{\mathfrak {g}}^{*}]}$.

Ассоциированная градуированная алгебра Алгебра Клиффорда внешняя алгебра; т.е. Алгебра Клиффорда вырождается для внешняя алгебра.

Обобщение на мультипликативные фильтрации

Связанная градуированная оценка также может быть определена более широко для мультипликативных нисходящие фильтрации из р (смотрите также фильтрованное кольцо.) Позволять F быть нисходящей цепочкой идеалов вида

${\displaystyle R=I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \dotsb }$

такой, что ${\displaystyle I_{j}I_{k}\subset I_{j+k}}$. Градуированное кольцо, связанное с этой фильтрацией, есть ${\displaystyle \operatorname {gr} _{F}R=\oplus _{n=0}^{\infty }I_{n}/I_{n+1}}$. Умножение и начальная форма карты определены, как указано выше.

Смотрите также

• Оценка (математика)
• Алгебра Риса

Рекомендации

1. Эйзенбуд, Следствие 5.5 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud (помощь)
2. Зариски – Самуэль, Гл. VIII, абзац после теоремы 1. ошибка harvnb: нет цели: CITEREFZariski – Samuel (помощь)

• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN  0-387-94268-8. МИСТЕР  1322960.
• Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец. Кембриджские исследования в области высшей математики. 8. Перевод с японского М. Рейда (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36764-6. МИСТЕР  1011461.
• Зариски, Оскар; Самуэль, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Vol. II, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90171-8, МИСТЕР  0389876