Четко определенный - Well-defined

Для использования в других целях см. Определение (значения).

В математика, выражение называется четко определенный или же однозначный если его определение придает ему уникальную интерпретацию или ценность. В противном случае выражение называется не четко определенный, неопределенный или же двусмысленный.^[1] Функция считается хорошо определенной, если она дает тот же результат, когда представление ввода изменяется без изменения значения ввода. Например, если ж принимает на вход действительные числа, а если ж(0,5) не равно ж(1/2) тогда ж не является четко определенным (и, следовательно, не является функцией).^[2] Период, термин четко определенный также может использоваться для обозначения того, что логическое выражение однозначно или непротиворечиво.^[3]

Неопределенная функция - это не то же самое, что и функция, неопределенный. Например, если ж(Икс) = 1/Икс, то тот факт, что ж(0) не определено, не означает, что ж является нет четко определено - но этот 0 просто не входит в область ж.

Пример

Позволять ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$ быть множествами, пусть ${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$ и "определить" ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$ в качестве ${\displaystyle f(a)=0}$ если ${\displaystyle a\in A_{0}}$ и ${\displaystyle f(a)=1}$ если ${\displaystyle a\in A_{1}}$.

потом ${\displaystyle f}$ хорошо определено, если ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$. Например, если ${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$и ${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$, тогда ${\displaystyle f(a)}$будет четко определен и равен ${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$.

Однако если ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$, тогда ${\displaystyle f}$ не будет четко определен, потому что ${\displaystyle f(a)}$ "неоднозначно" для ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$. Например, если ${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$ и ${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$, тогда ${\displaystyle f(2)}$ должен быть как 0, так и 1, что делает его неоднозначным. В результате последний ${\displaystyle f}$ не является четко определенным и, следовательно, не является функцией.

«Определение» как ожидание определения

Чтобы избежать апострофов вокруг слова «определить» в предыдущем простом примере, «определение» ${\displaystyle f}$ можно разбить на два простых логических шага:

1. Определение из бинарное отношение: В примере

   ${\displaystyle f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}}}$,

   (который пока представляет собой не что иное, как определенное подмножество Декартово произведение ${\displaystyle A\times \{0,1\}}$.)
2. Утверждение: Бинарное отношение ${\displaystyle f}$ это функция; в примере

   ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$.

Хотя определение на шаге 1 сформулировано со свободой любого определения и, безусловно, эффективно (без необходимости классифицировать его как «хорошо определенное»), утверждение шага 2 должно быть доказано. То есть, ${\displaystyle f}$ является функцией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$, в таком случае ${\displaystyle f}$- как функция - четко определена. С другой стороны, если ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$, то для ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$, у нас было бы это ${\displaystyle (a,0)\in f}$ и ${\displaystyle (a,1)\in f}$, что делает бинарное отношение ${\displaystyle f}$ нет функциональный (как определено в Бинарные отношения # Особые типы бинарных отношений ) и поэтому не вполне определен как функция. В просторечии "функция" ${\displaystyle f}$ также называется неоднозначным в точке ${\displaystyle a}$ (хотя есть по определению никогда не является «неоднозначной функцией»), а исходное «определение» бессмысленно. Несмотря на эти тонкие логические проблемы, довольно часто заранее используется термин «определение» (без апострофов) для «определений» такого рода - по трем причинам:

1. Он представляет собой удобное сокращение двухэтапного подхода.
2. Соответствующие математические рассуждения (т. Е. Шаг 2) одинаковы в обоих случаях.
3. В математических текстах утверждение истинно «до 100%».

Независимость представителя

Вопрос о корректности определения функции классически возникает, когда определяющее уравнение функции относится не (только) к самим аргументам, но (также) к элементам аргументов. Иногда это неизбежно, когда аргументы смежные классы а уравнение относится к представителям смежных классов.

Функции с одним аргументом

Например, рассмотрим следующую функцию

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

куда ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ являются целые числа по модулю м и ${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$ обозначает класс конгруэнтности из п мод м.

Примечание: ${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$ ссылка на элемент ${\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}$, и ${\displaystyle {\overline {n}}_{8}}$ аргумент ${\displaystyle f}$.

Функция ${\displaystyle f}$ четко определено, потому что

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8\mid (n-n')\;\Leftrightarrow \;2\cdot 4\mid (n-n')\;\Rightarrow \;4\mid (n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

Операции

В частности, термин хорошо определенный используется в отношении (двоичного) операции по смежным классам. В этом случае можно рассматривать операцию как функцию двух переменных, и свойство быть четко определенным такое же, как и для функции. Например, сложение целых чисел по модулю некоторого п можно естественным образом определить в терминах сложения целых чисел.

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

Тот факт, что это хорошо определено, следует из того факта, что мы можем написать любого представителя ${\displaystyle [a]}$ в качестве ${\displaystyle a+kn}$, куда ${\displaystyle k}$ целое число. Следовательно,

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

и аналогично для любого представителя ${\displaystyle [b]}$, тем самым делая ${\displaystyle [a+b]}$ то же самое независимо от выбора представителя.^[3]

Четко определенные обозначения

Для действительных чисел продукт ${\displaystyle a\times b\times c}$ недвусмысленно, потому что ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$ (и поэтому обозначение называется четко определенный).^[1] Это свойство, также известное как ассоциативность умножения, гарантирует, что результат не зависит от последовательности умножений, так что определение последовательности может быть опущено.

В вычитание операция, с другой стороны, не ассоциативна. Однако существует соглашение (или определение) о том, что ${\displaystyle -}$ операция понимается как добавление Противоположное число, таким образом ${\displaystyle a-b-c}$ такой же как ${\displaystyle a+(-b)+(-c)}$, и поэтому "четко определен".

Разделение также неассоциативен. Однако в случае ${\displaystyle a/b/c}$ конвенция ${\displaystyle /b:=*b^{-1}}$ не так хорошо установлено, поэтому это выражение считается неопределенный.

В отличие от функций, неоднозначность обозначений можно более или менее легко преодолеть с помощью дополнительных определений (например, правил приоритет, ассоциативность оператора). Например, в языке программирования C Оператор - для вычитания слева направо ассоциативный, что обозначает а-б-в определяется как (a-b) -c, а оператор = для присвоения ассоциативный справа налево, что обозначает а = б = с определяется как а = (б = в).^[4] На языке программирования APL есть только одно правило: от справа налево - но сначала скобки.

Другое использование термина

Решение проблемы уравнение в частных производных называется хорошо определенным, если он непрерывно определяется граничными условиями по мере изменения граничных условий.^[1]

Смотрите также

• Отношение эквивалентности § Корректная определенность с помощью отношения эквивалентности
• Дефиниционизм
• Существование
• Уникальность
• Количественная оценка уникальности
• Неопределенный

Рекомендации

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. "Хорошо определенный". Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. Получено 2 января 2013.
2. Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение, п. 287 "... функция" однозначна "или, как мы предпочитаем говорить ... функция хорошо определенный. », Аллин и Бэкон, 1965.
3. "Окончательный словарь высшего математического жаргона". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-10-18.
4. «Приоритет операторов и ассоциативность в C». Гики. 2014-02-07. Получено 2019-10-18.

Источники

• Современная абстрактная алгебра, Джозеф А. Галлиан, 6-е издание, Хафлин Миффлин, 2006 г., ISBN  0-618-51471-6.
• Алгебра: Глава 0, Паоло Алуффи, ISBN  978-0821847817. Стр.16.
• Абстрактная алгебра, Даммит и Фут, 3-е издание, ISBN  978-0471433347. Страница 1.