Групповое кольцо - Group ring

Эта статья посвящена алгебраическому групповому кольцу группы. В случае топологической группы см. групповая алгебра топологической группы.

В алгебра, а групповое кольцо это бесплатный модуль и в то же время звенеть, построенный естественным образом из любого данного кольца и любого данного группа. Как свободный модуль, его кольцо скаляров является данным кольцом, а его базис взаимно однозначен с данной группой. Как кольцо, его закон сложения - это закон свободного модуля, и его умножение расширяет «по линейности» данный групповой закон на основе. Менее формально групповое кольцо представляет собой обобщение данной группы путем присоединения к каждому элементу группы «весового коэффициента» из данного кольца.

Групповое кольцо также называют групповая алгебра, поскольку это действительно алгебра по данному кольцу. Групповая алгебра над полем имеет следующую структуру: Алгебра Хопфа; в этом случае он называется групповая алгебра Хопфа.

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории групповые представления.

Определение

Позволять грамм - группа, записанная мультипликативно, и пусть р несущий. Групповое кольцо грамм над р, который мы обозначим через р[грамм] (или просто RG), - множество отображений ж : грамм → р из конечная поддержка,^[1] где модульное скалярное произведение αf скаляра α в р и вектор (или отображение) ж определяется как вектор ${\displaystyle x\mapsto \alpha \cdot f(x)}$, а модульная групповая сумма двух векторов ж и грамм определяется как вектор ${\displaystyle x\mapsto f(x)+g(x)}$. Чтобы включить аддитивную группу р[грамм] в кольцо, определим произведение ж и грамм быть вектором

${\displaystyle x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).}$

Суммирование правомерно, потому что ж и грамм имеют конечный носитель, и аксиомы кольца легко проверяются.

Используются некоторые вариации обозначений и терминологии. В частности, такие отображения, как ж : грамм → р иногда записываются как так называемые "формальные линейные комбинации элементов грамм, с коэффициентами в р":^[2]

${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g,}$

или просто

${\displaystyle \sum _{g\in G}f_{g}g,}$

где это не вызывает путаницы.^[1]

Примеры

1. Пусть грамм = C₃, то циклическая группа порядка 3, с генератором ${\displaystyle a}$ и элемент идентичности 1_грамм. Элемент р из C[грамм] можно записать как

${\displaystyle r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,}$

куда z₀, z₁ и z₂ находятся в C, то сложные числа. Это то же самое, что и кольцо многочленов в переменной ${\displaystyle a}$ такой, что ${\displaystyle a^{3}=a^{0}=1}$ т.е. C[грамм] изоморфно кольцу C[${\displaystyle a}$]/${\displaystyle (a^{3}-1)}$.

Написание другого элемента s в качестве ${\displaystyle s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}}$, их сумма

${\displaystyle r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,}$

и их продукт

${\displaystyle rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.}$

Обратите внимание, что элемент идентичности 1_грамм из грамм индуцирует каноническое вложение кольца коэффициентов (в данном случае C) в C[грамм]; однако, строго говоря, мультипликативный элемент идентичности C[грамм] составляет 1⋅1_грамм где первый 1 происходит от C а второй из грамм. Аддитивный элемент идентичности равен нулю.

Когда грамм - некоммутативная группа, при умножении членов необходимо соблюдать осторожность, чтобы сохранить порядок элементов группы (и не случайно их коммутировать).

2. Другой пример - Полиномы Лорана над кольцом р: это не что иное, как групповое кольцо бесконечная циклическая группа Z над р.

3. Пусть Q быть группа кватернионов с элементами ${\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}}$. Рассмотрим групповое кольцо рQ, куда р это набор действительных чисел. Произвольный элемент этого группового кольца имеет вид

${\displaystyle x_{1}\cdot e+x_{2}\cdot {\bar {e}}+x_{3}\cdot i+x_{4}\cdot {\bar {i}}+x_{5}\cdot j+x_{6}\cdot {\bar {j}}+x_{7}\cdot k+x_{8}\cdot {\bar {k}}}$

куда ${\displaystyle x_{i}}$ это действительное число.

Умножение, как и в любом другом групповом кольце, определяется на основе групповой операции. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}3\cdot e+{\sqrt {2}}\cdot i{\big )}{\big (}{\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}{\big )}&=(3\cdot e)({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}})+({\sqrt {2}}\cdot i)({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}})\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\big (}(e)({\bar {j}}){\big )}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\big (}(i)({\bar {j}}){\big )}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\bar {j}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot k\end{aligned}}.}$

Обратите внимание, что рQ не то же самое, что Гамильтон кватернионы над р. Это связано с тем, что кватернионы Гамильтона удовлетворяют дополнительным соотношениям в кольце, таким как ${\displaystyle -1\cdot i=-i}$, а в групповом кольце рQ, ${\displaystyle -1\cdot i}$ не равно ${\displaystyle 1\cdot {\bar {i}}}$. Чтобы быть более конкретным, рQ имеет размер 8 как реальный векторное пространство, а кватернионы Гамильтона имеют размерность 4 как реальное векторное пространство.

Некоторые основные свойства

Использование 1 для обозначения мультипликативного тождества кольца р, и обозначив единицу группы 1_грамм, кольцо р[грамм] содержит подкольцо, изоморфное р, а его группа обратимых элементов содержит подгруппу, изоморфную грамм. Для рассмотрения индикаторная функция из {1_грамм}, который является вектором ж определяется

${\displaystyle f(g)=1\cdot 1_{G}+\sum _{g\not =1_{G}}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{1_{G}\}}(g)={\begin{cases}1&g=1_{G}\\0&g\neq 1_{G}\end{cases}},}$

множество всех скалярных кратных ж это подкольцо р[грамм] изоморфен р. И если мы сопоставим каждый элемент s из грамм к индикаторной функции {s}, который является вектором ж определяется

${\displaystyle f(g)=1\cdot s+\sum _{g\not =s}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{s\}}(g)={\begin{cases}1&g=s\\0&g\neq s\end{cases}}}$

получившееся отображение является гомоморфизмом инъективных групп (относительно умножения, а не сложения в р[грамм]).

Если р и грамм оба коммутативны (т. е. р коммутативен и грамм является абелева группа ), р[грамм] коммутативен.

Если ЧАС это подгруппа из грамм, тогда р[ЧАС] это подкольцо из р[грамм]. Аналогично, если S это подкольцо р, S[грамм] является подкольцом р[грамм].

Если порядок группы грамм строго больше 1; |грамм|> 1, то р[грамм] всегда есть делители нуля. Например, рассмотрим элемент грамм из грамм порядка |грамм|> 1. Тогда 1 - грамм является делителем нуля. Пусть |грамм| = м >1.

${\displaystyle (1-g)(1+g+...+g^{m-1})=1-g^{m}=1-1=0}$

Например, рассмотрим групповое кольцо Z[S₃] и элемент порядка 3 грамм= (123). В этом случае,

${\displaystyle (1-(123))(1+(123)+(132))=1-(123)^{3}=1-1=0}$

Групповая алгебра над конечной группой

Групповые алгебры естественным образом возникают в теории групповые представления из конечные группы. Групповая алгебра K[грамм] над полем K по сути является групповым кольцом с полем K заняв место кольца. Как набор и векторное пространство, это свободное векторное пространство на грамм над полем K. То есть для Икс в K[грамм],

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g.}$

В алгебра структура в векторном пространстве определяется с помощью умножения в группе:

${\displaystyle g\cdot h=gh,}$

где слева, грамм и час указывают элементы групповой алгебры, а умножение справа - это групповая операция (обозначается сопоставлением).

Поскольку приведенное выше умножение может сбивать с толку, можно также написать базисные векторы из K[грамм] в качестве е_грамм (вместо грамм), и в этом случае умножение записывается как:

${\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}.}$

Интерпретация как функции

Думая о свободное векторное пространство в качестве K-значные функции на граммумножение алгебры свертка функций.

В то время как групповая алгебра конечный группу можно отождествить с пространством функций на группе, для бесконечной группы они разные. Групповая алгебра, состоящая из конечный сумм, соответствует функциям на группе, которые обращаются в нуль при окончательно много очков; топологически (используя дискретная топология ), они соответствуют функциям с компактная опора.

Однако групповая алгебра K[грамм] и пространство функций K^грамм : = Hom (грамм, K) двойственны: задан элемент групповой алгебры

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g}$

и функция на группе ж : грамм → K эти пары, чтобы дать элемент K через

${\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),}$

что является вполне определенной суммой, поскольку она конечна.

Регулярное представительство

Основная статья: Регулярное представительство

Групповая алгебра - это алгебра над собой; при соответствии представлений по р и р[грамм] модулей, это регулярное представительство группы.

Написанное как представление, это представление грамм ↦ ρ_грамм с действием, данным ${\displaystyle \rho (g)\cdot e_{h}=e_{gh}}$, или же

${\displaystyle \rho (g)\cdot r=\sum _{h\in G}k_{h}\rho (g)\cdot e_{h}=\sum _{h\in G}k_{h}e_{gh}.}$

Характеристики

Размерность векторного пространства K[грамм] просто равно количеству элементов в группе. Поле K обычно считается комплексными числами C или реальные р, так что можно говорить о групповых алгебрах C[грамм] или же р[грамм].

Групповая алгебра C[грамм] конечной группы над комплексными числами является полупростое кольцо. Этот результат, Теорема Машке, позволяет нам понять C[грамм] как конечный товар из матричные кольца с записями в C.

Представления групповой алгебры

Принимая K[грамм], чтобы быть абстрактной алгеброй, можно попросить конкретную представления алгебры над векторным пространством V. Такое представление

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V).}$

является гомоморфизмом алгебры из групповой алгебры в множество эндоморфизмы на V. Принимая V быть абелева группа, с групповым сложением, задаваемым векторным сложением, такое представление фактически является оставили K[грамм] -модуль над абелевой группой V. Это демонстрируется ниже, где подтверждается каждая аксиома модуля.

Выбирать р ∈ K[грамм] так что

${\displaystyle {\tilde {\rho }}(r)\in {\mbox{End}}(V).}$

потом ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(r)}$ является гомоморфизмом абелевых групп в том смысле, что

${\displaystyle {\tilde {\rho }}(r)\cdot (v_{1}+v_{2})={\tilde {\rho }}(r)\cdot v_{1}+{\tilde {\rho }}(r)\cdot v_{2}}$

для любого v₁, v₂ ∈ V. Далее следует отметить, что множество эндоморфизмов абелевой группы является кольцо эндоморфизмов. Представление ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ является гомоморфизмом колец, в котором

${\displaystyle {\tilde {\rho }}(r+s)\cdot v={\tilde {\rho }}(r)\cdot v+{\tilde {\rho }}(s)\cdot v}$

для любых двоих р, s ∈ K[грамм] и v ∈ V. Точно так же при умножении

${\displaystyle {\tilde {\rho }}(rs)\cdot v={\tilde {\rho }}(r)\cdot {\tilde {\rho }}(s)\cdot v.}$

Наконец, есть, что единица отображается на личность:

${\displaystyle {\tilde {\rho }}(1)\cdot v=v}$

где 1 - мультипликативная единица K[грамм]; то есть,

${\displaystyle 1=e_{e}}$

- вектор, соответствующий единице е в грамм.

Последние три уравнения показывают, что ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ является гомоморфизмом колец из K[грамм], взятой как групповое кольцо, в кольцо эндоморфизмов. Первое тождество показало, что отдельные элементы являются гомоморфизмами групп. Таким образом, представление ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ левый K[грамм] -модуль над абелевой группой V.

Обратите внимание, что с учетом общего K[грамм] -модулем индуцируется структура векторного пространства на V, в котором есть дополнительная аксиома

${\displaystyle {\tilde {\rho }}(ar)\cdot v_{1}+{\tilde {\rho }}(br)\cdot v_{2}=a{\tilde {\rho }}(r)\cdot v_{1}+b{\tilde {\rho }}(r)\cdot v_{2}={\tilde {\rho }}(r)\cdot (av_{1}+bv_{2})}$

для скаляра а, б ∈ K.

Любое групповое представительство

${\displaystyle \rho :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(V),}$

с V векторное пространство над полем K, может быть расширен до представления алгебры

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V),}$

просто позволив ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(e_{g})=\rho (g)}$ и простираясь линейно. Таким образом, представления группы точно соответствуют представлениям алгебры, и поэтому в определенном смысле говорить об одном - это то же самое, что говорить о другом.

Центр групповой алгебры

В центр групповой алгебры - это набор элементов, коммутирующих со всеми элементами групповой алгебры:

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G]):=\left\{z\in K[G]:\forall r\in K[G],zr=rz\right\}.}$

Центр равен множеству функции класса, то есть набор элементов, постоянных на каждом классе сопряженности

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G])=\left\{\sum _{g\in G}a_{g}g:\forall g,h\in G,a_{g}=a_{h^{-1}gh}\right\}.}$

Если K = C, множество неприводимых символы из грамм образует ортонормированный базис Z (K[грамм]) относительно внутреннего продукта

${\displaystyle \left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}{\bar {a}}_{g}b_{g}.}$

Групповые кольца над бесконечной группой

Гораздо меньше известно о случае, когда грамм исчисляемо бесконечно или несчетно, и это область активных исследований.^[3] Случай, когда р - это, вероятно, наиболее изученная область комплексных чисел. В этом случае, Ирвинг Каплански доказал, что если а и б являются элементами C[грамм] с ab = 1, тогда ба = 1. Верно ли это, если р - поле положительной характеристики, остается неизвестным.

Давняя гипотеза Капланского (~ 1940) гласит, что если грамм это группа без кручения, и K поле, то групповое кольцо K[грамм] не имеет нетривиальных делители нуля. Эта гипотеза эквивалентна K[грамм], не имеющий нетривиальных нильпотенты при тех же гипотезах для K и грамм.

Фактически условие, что K поле можно ослабить до любого кольца, которое можно вложить в область целостности.

Гипотеза остается открытой в полной общности, однако было показано, что некоторые частные случаи групп без кручения удовлетворяют гипотезе о делителе нуля. К ним относятся:

• Уникальные группы товаров (например, заказываемые группы, особенно бесплатные группы )
• Элементарные поддающиеся группе (например. практически абелевы группы )
• Диффузные группы - в частности, группы, свободно действующие изометрически на р-деревья и фундаментальные группы групп поверхностей, за исключением фундаментальных групп прямых сумм одного, двух или трех экземпляров проективной плоскости.

Случай грамм быть топологическая группа более подробно обсуждается в статье групповая алгебра локально компактной группы.

Представления группового кольца

Модуль M над р[грамм] тогда то же самое, что и линейное представление из грамм над полем р. Нет особых причин ограничивать р быть здесь полем. Однако классические результаты были получены впервые, когда р это комплексное число поле и грамм конечная группа, поэтому этот случай заслуживает пристального внимания. Было показано, что р[грамм] это полупростое кольцо, в этих условиях, с глубокими последствиями для представлений конечных групп. В более общем смысле, когда характеристика поля р не делит порядок конечной группы грамм, тогда р[грамм] полупростой (Теорема Машке ).

Когда грамм конечный абелева группа, групповое кольцо коммутативно, и его структуру легко выразить через корни единства. Когда р поле характеристики п, а простое число п делит порядок конечной группы грамм, то групповое кольцо нет полупростой: имеет ненулевое Радикал Якобсона, и это дает соответствующий предмет модульная теория представлений свой собственный, более глубокий характер.

Теория категорий

Примыкающий

Категорически, конструкция группового кольца левый смежный к "группа единиц "; следующие функторы являются сопряженная пара:

${\displaystyle R[-]\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} }$

${\displaystyle (-)^{\times }\colon R\mathbf {{\text{-}}Alg} \to \mathbf {Grp} }$

куда ${\displaystyle R[-]}$ переводит группу в ее групповое кольцо над р, и ${\displaystyle (-)^{\times }}$ занимает р-алгебра к своей группе единиц.

Когда р = Z, это дает примыкание между категория групп и категория колец, а единица присоединения занимает группу грамм в группу, содержащую тривиальные единицы: грамм × {±1} = {±грамм}. В общем случае групповые кольца содержат нетривиальные единицы. Если грамм содержит элементы а и б такой, что ${\displaystyle a^{n}=1}$ и б не нормализует ${\displaystyle \langle a\rangle }$ затем квадрат

${\displaystyle x=(a-1)b\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)}$

равен нулю, поэтому ${\displaystyle (1+x)(1-x)=1}$. Элемент 1 + Икс - единица бесконечного порядка.

Универсальная собственность

Приведенное выше присоединение выражает универсальное свойство групповых колец.^[1][4] Позволять р - (коммутативное) кольцо, пусть грамм быть группой, и пусть S быть р-алгебра. Для любого гомоморфизма групп ${\displaystyle f:G\to S^{\times }}$, существует единственный р-алгебр гомоморфизм ${\displaystyle {\overline {f}}:R[G]\to S}$ такой, что ${\displaystyle {\overline {f}}\circ i=f}$ куда я это включение

${\displaystyle {\begin{aligned}i:G&\longrightarrow R[G]\\g&\longmapsto 1_{R}g\end{aligned}}}$

Другими словами, ${\displaystyle {\overline {f}}}$ - единственный гомоморфизм, коммутирующий следующую диаграмму:

Любое другое кольцо, удовлетворяющее этому свойству, является канонически изоморфна групповому кольцу.

Обобщения

Групповая алгебра обобщается на моноидное кольцо и оттуда в алгебра категорий, из которых другим примером является алгебра инцидентности.

Фильтрация

Если в группе есть функция длины - например, если есть выбор генераторов и берется слово метрика, как в Группы Кокстера - тогда групповое кольцо становится фильтрованная алгебра.

Смотрите также

• Групповая алгебра локально компактной группы
• Моноидное кольцо

Теория представлений

• Представительство группы
• Регулярное представительство

Теория категорий

• Категориальная алгебра
• Группа единиц
• Алгебра инцидентности

Примечания

1. Polcino & Sehgal (2002), стр. 131.
2. Polcino & Sehgal (2002), стр. 129 и 131.
3. Пассман, Дональд С. (1976). "Что такое групповое кольцо?". Амер. Математика. Ежемесячно. 83: 173–185. Дои:10.2307/2977018.
4. "групповая алгебра в nLab". ncatlab.org. Получено 2017-11-01.

Рекомендации

• А. А. Бовди (2001) [1994], «Групповая алгебра», Энциклопедия математики, EMS Press
• Милиес, Сезар Польчино; Сегал, Сударшан К. Введение в групповые кольца. Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN  978-1-4020-0238-0
• Чарльз В. Кертис, Ирвинг Райнер. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, Interscience (1962)
• Д.С. Пассман, Алгебраическая структура групповых колец, Уайли (1977)