Метрика слова - Word metric

В теория групп, а слово метрика на дискретная группа ${ displaystyle G}$ это способ измерить расстояние между любыми двумя элементами ${ displaystyle G}$ . Как следует из названия, слово "метрика" - это метрика на ${ displaystyle G}$ , присваивая любым двум элементам ${ displaystyle g}$ , ${ displaystyle h}$ из ${ displaystyle G}$ расстояние ${ displaystyle d (g, h)}$ это измеряет, насколько эффективно их разница ${ displaystyle g ^ {- 1} h}$ можно выразить как слово чьи письма приходят из генераторная установка для группы. Слово метрика на г очень тесно связан с Граф Кэли из г: метрика слова измеряет длину кратчайшего пути в графе Кэли между двумя элементами г.

А генераторная установка для ${ displaystyle G}$ сначала нужно выбрать перед словом метрика на ${ displaystyle G}$ указан. Различный выбор генераторной установки обычно дает разные словарные метрики. Хотя на первый взгляд это кажется слабым местом концепции слова «метрика», его можно использовать для доказательства теорем о геометрических свойствах групп, как это сделано в геометрическая теория групп.

Примеры

Группа целых чисел Z

Группа целые числа Z порождается множеством {-1, + 1}. Целое число -3 может быть выражено как -1-1-1 + 1-1, слово длиной 5 в этих генераторах. Но слово, которое наиболее эффективно выражает -3, - это -1-1-1, слово длины 3. Следовательно, расстояние между 0 и -3 в слове «метрика» равно 3. В более общем смысле расстояние между двумя целыми числами м и п в слове метрика равно |м-п|, потому что кратчайшее слово, обозначающее разницу м-п имеет длину, равную |м-п|.

Группа ${ Displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$

Для более наглядного примера элементы группы ${ Displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ можно рассматривать как векторов в Декартова плоскость с целыми коэффициентами. Группа ${ Displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ порождается стандартными единичными векторами ${ displaystyle e_ {1} = langle 1,0 rangle}$ , ${ displaystyle e_ {2} = langle 0,1 rangle}$ и их обратные ${ displaystyle -e_ {1} = langle -1,0 rangle}$ , ${ displaystyle -e_ {2} = langle 0, -1 rangle}$ . В Граф Кэли из ${ Displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ так называемый геометрия такси. Его можно изобразить на плоскости как бесконечную квадратную сетку городских улиц, где каждая горизонтальная и вертикальная линия с целыми координатами представляет собой улицу, а каждая точка ${ Displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ лежит на пересечении горизонтальной и вертикальной улицы. Каждый горизонтальный сегмент между двумя вершинами представляет собой порождающий вектор ${ displaystyle e_ {1}}$ или ${ displaystyle -e_ {1}}$ , в зависимости от того, движется ли сегмент в прямом или обратном направлении, и каждый вертикальный сегмент представляет ${ displaystyle e_ {2}}$ или ${ displaystyle -e_ {2}}$ . Автомобиль начиная с ${ Displaystyle langle 1,2 rangle}$ и путешествуя по улицам, чтобы ${ displaystyle langle -2,4 rangle}$ может совершить путешествие по разным маршрутам. Но независимо от того, какой маршрут выбран, машина должна проехать не менее | 1 - (-2) | = 3 горизонтальных блока и не менее | 2 - 4 | = 2 вертикальных блока, для общего расстояния поездки не менее 3 + 2 = 5. Если автомобиль съезжает с дороги, поездка может быть длиннее, но минимальное расстояние, пройденное автомобилем, равно по значению метрике слова между ${ Displaystyle langle 1,2 rangle}$ и ${ displaystyle langle -2,4 rangle}$ следовательно, равно 5.

В общем, учитывая два элемента ${ displaystyle v = langle i, j rangle}$ и ${ displaystyle w = langle k, l rangle}$ из ${ Displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ , расстояние между ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle w}$ в слове метрика равно ${ Displaystyle | я-к | + | j-l |}$ .

Определение

Позволять г быть группой, пусть S быть генераторная установка для г, и предположим, что S закрывается при обратной операции на г. А слово по набору S это просто конечная последовательность ${ Displaystyle ш = s_ {1} ldots s_ {L}}$ чьи записи ${ Displaystyle s_ {1}, ldots, s_ {L}}$ являются элементами S. Целое число L называется длиной слова ${ displaystyle w}$ . Использование групповой операции в г, записи слова ${ Displaystyle ш = s_ {1} ldots s_ {L}}$ можно умножать по порядку, помня, что записи являются элементами г. Результатом этого умножения является элемент ${ displaystyle { bar {w}}}$ в группе г, который называется оценка слова ш. В частном случае пустое слово ${ Displaystyle ш = emptyset}$ имеет нулевую длину, и его оценка является тождественным элементом г.

Учитывая элемент г из г, его норма слова |г| относительно генераторной установки S определяется как самая короткая длина слова ${ displaystyle w}$ над S чья оценка ${ displaystyle { bar {w}}}$ равно г. Учитывая два элемента г,час в г, расстояние d (g, h) в словесной метрике относительно S определяется как ${ Displaystyle | г ^ {- 1} ч |}$ . Эквивалентно d (г,час) - кратчайшая длина слова ш над S такой, что ${ displaystyle g { bar {w}} = h}$ .

Слово метрика на г удовлетворяет аксиомам для метрика, и доказать это несложно. Доказательство аксиомы симметрии d (г,час) = d (час,г) для метрики использует предположение, что порождающий набор S закрывается по инверсии.

Вариации

У слова метрика есть эквивалентное определение, сформулированное в более геометрических терминах с использованием Граф Кэли из г относительно генераторной установки S. Когда каждому ребру графа Кэли присваивается метрика длины 1, расстояние между двумя элементами группы г,час в г равна кратчайшей длине пути в графе Кэли из вершины г к вершине час.

Слово метрика на г также можно определить, не предполагая, что генераторная установка S закрывается по инверсии. Для этого сначала симметризуем S, заменив его большей генераторной установкой, состоящей из каждого ${ displaystyle s}$ в S а также его обратное ${ displaystyle s ^ {- 1}}$ . Затем определите слово метрика относительно S быть метрикой слова относительно симметризации S.

Пример в свободной группе

в свободная группа на двухэлементном наборе {а,б}, расстояние между а и б в слове метрика равно 2

Предположим, что F свободная группа на двухэлементном множестве ${ Displaystyle {а, Ь }}$ . Слово ш в симметричной образующей ${ Displaystyle {а, б, а ^ {- 1}, б ^ {- 1} }}$ называется сокращающейся, если буквы ${ displaystyle a, a ^ {- 1}}$ не встречаются рядом друг с другом в ш, ни буквы ${ displaystyle b, b ^ {- 1}}$ . Каждый элемент ${ displaystyle g in F}$ представлен уникальным сокращенным словом, и это сокращенное слово является самым коротким словом, представляющим г. Например, поскольку слово ${ Displaystyle ш = Ь ^ {- 1} а}$ редуцирована и имеет длину 2, норма слова ${ displaystyle w}$ равно 2, поэтому расстояние в норме слова между ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle a}$ равно 2. Это можно представить в виде графа Кэли, где кратчайший путь между б и а имеет длину 2.

Теоремы

Изометрия левого действия

Группа г действует на себя левым умножением: действие каждого ${ displaystyle k in G}$ берет каждый ${ displaystyle g in G}$ к ${ displaystyle кг}$ . Это действие изометрия слова метрика. Доказательство простое: расстояние между ${ displaystyle кг}$ и ${ displaystyle kh}$ равно ${ displaystyle | (кг) ^ {- 1} (kh) | = | g ^ {- 1} h |}$ , что равно расстоянию между ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle h}$ .

Билипшицевы инварианты группы

Слово метрика на группе г не уникален, потому что разные симметричные порождающие наборы дают разные метрики слов. Однако конечно сгенерированные словесные метрики уникальны до билипшиц эквивалентность: если ${ displaystyle S}$ , ${ displaystyle T}$ два симметричных конечных порождающих множества для г с соответствующими метриками слов ${ displaystyle d_ {S}}$ , ${ displaystyle d_ {T}}$ , то существует постоянная ${ displaystyle K geq 1}$ такой, что для любого ${ displaystyle g, h in G}$ ,

{ displaystyle { frac {1} {K}} , d_ {T} (g, h) leq d_ {S} (g, h) leq K , d_ {T} (g, h)}

.

Эта постоянная K это просто максимум ${ displaystyle d_ {S}}$ словесные нормы элементов ${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle d_ {T}}$ словесные нормы элементов ${ displaystyle S}$ . Это доказательство тоже несложно: любое слово над S можно преобразовать заменой в слово над Т, увеличивая длину слова не более чем в раз K, и аналогично для преобразования слов над Т в словах над S.

Билипшицева эквивалентность словесных метрик в свою очередь означает, что скорость роста конечно порожденной группы - это корректно определенный инвариант изоморфизма группы, не зависящий от выбора конечного порождающего множества. Это, в свою очередь, означает, что различные свойства роста, такие как полиномиальный рост, степень полиномиального роста и экспоненциальный рост, являются инвариантами изоморфизма групп. Эта тема обсуждается далее в статье на скорость роста группы.

Квазиизометрические инварианты группы

В геометрическая теория групп, группы изучаются их действия на метрических пространствах. Принцип, обобщающий билипшицевую инвариантность словарных метрик, гласит, что любая конечно порожденная словесная метрика на г является квазиизометрический любому правильный, геодезическое метрическое пространство на котором г действует, правильно прерывисто и компактно. Метрические пространства, на которых г такие действия называются модельные пространства для г.

Отсюда, в свою очередь, следует, что любое квазиизометрически инвариантное свойство, которому удовлетворяет словесная метрика г или любым модельным пространством г инвариант изоморфизма г. Современный геометрическая теория групп по большей части является изучением инвариантов квазиизометрии.

Смотрите также

использованная литература

Дж. У. Кэннон, Геометрическая теория групп, в Справочник по геометрической топологии страницы 261-305, Северная Голландия, Амстердам, 2002 г., ISBN 0-444-82432-4