Самый длинный элемент группы Кокстера - Longest element of a Coxeter group

Не путать с Элемент Кокстера группы Кокстера.

В математика, то самый длинный элемент группы Кокстера является единственным элементом максимального длина в конечная группа Кокстера относительно выбранной образующей, состоящей из простых отражений. Часто обозначается как ш₀. Видеть (Хамфрис 1992, Раздел 1.8: Простая транзитивность и самый длинный элемент, стр. 15–16 ) и (Дэвис 2007, Раздел 4.6, стр. 51–53).

Характеристики

• Группа Кокстера имеет самый длинный элемент тогда и только тогда, когда он конечен; «только если» означает, что размер группы ограничен количеством слов, длина которых меньше или равна максимальной.
• Самый длинный элемент группы Кокстера - это единственный максимальный элемент по отношению к Заказ Брюа.
• Самый длинный элемент - это инволюция (имеет порядок 2: ${displaystyle w_{0}^{-1}=w_{0}}$), по единственности максимальной длины (обратная сторона элемента имеет ту же длину, что и элемент).^[1]
• Для любого ${displaystyle win W,}$ длина удовлетворяет ${displaystyle ell (w_{0}w)=ell (w_{0})-ell (w).}$^[1]
• Сокращенное выражение для самого длинного элемента, как правило, не уникально.
• В сокращенном выражении для самого длинного элемента каждое простое отражение должно происходить хотя бы один раз.^[1]
• Если группа Кокстера конечна, то длина ш₀ это номер положительные корни.^[1]
• Открытая ячейка Чб₀B в Разложение Брюа из полупростая алгебраическая группа грамм плотно в Топология Зарисского; топологически это верхняя размерная ячейка разложения и представляет собой фундаментальный класс.
• Самый длинный элемент - это центральный элемент –1, за исключением ${displaystyle A_{n}}$ (${displaystyle ngeq 2}$), ${displaystyle D_{n}}$ за п странный, ${displaystyle E_{6},}$ и ${displaystyle I_{2}(p)}$ за п нечетным, когда оно равно –1, умноженному на автоморфизм порядка 2 Диаграмма Кокстера. ^[2]

Смотрите также

• Элемент Кокстера, другой выдающийся элемент
• Число Кокстера
• Функция длины

Рекомендации

1. (Хамфрис 1992, п. 16 )
2. (Дэвис 2007, Замечание 13.1.8, с. 259)

• Дэвис, Майкл В. (2007), Геометрия и топология групп Кокстера. (PDF), ISBN  978-0-691-13138-2
• Хамфрис, Джеймс Э. (1992), Группы отражения и группы Кокстера, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-43613-7