Элемент Кокстера - Coxeter element

В математика, то Число Кокстера час это порядок из Элемент Кокстера неприводимого Группа Кокстера. Он назван в честь H.S.M. Coxeter.[1]

Определения

Обратите внимание, что в этой статье предполагается конечная группа Кокстера. Для бесконечных групп Кокстера существует несколько классы сопряженности элементов Кокстера, и они имеют бесконечный порядок.

Есть много разных способов определить число Кокстера. час неприводимой корневой системы.

А Элемент Кокстера продукт всех простых размышлений. Продукт зависит от того, в каком порядке они принимаются, но разные заказы производят сопряженные элементы, которые имеют одинаковые порядок.

  • Число Кокстера - это порядок любого Элемент Кокстера;.
  • Число Кокстера - 2м/п, куда п это звание, а м количество отражений. В кристаллографическом случае м это половина числа корни; и +п - размерность соответствующего полупростого Алгебра Ли.
  • Если наивысший корень равен ∑мяαя для простых корней αя, то число Кокстера равно 1 + ∑мя.
  • Число Кокстера - это высшая степень фундаментального инварианта группы Кокстера, действующего на многочлены.

Число Кокстера для каждого типа Дынкина приведено в следующей таблице:

Группа КокстераCoxeter
диаграмма
Дынкин
диаграмма
Размышления
м=нэ/2[2]
Число Кокстера
час
Двойное число КокстераСтепени фундаментальных инвариантов
Ап[3,3...,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngп(п+1)/2п + 1п + 12, 3, 4, ..., п + 1
Bп[4,3...,3]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-4a.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngп22п2п − 12, 4, 6, ..., 2п
CпDyn-node.pngDyn-4b.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngп + 1
Dп[3,3,..31,1]CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-branch1.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngп(п-1)2п − 22п − 2п; 2, 4, 6, ..., 2п − 2
E6[32,2,1]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png3612122, 5, 6, 8, 9, 12
E7[33,2,1]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png6318182, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8[34,2,1]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png12030302, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4[3,4,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-4a.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png
Dyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-4b.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png
241292, 6, 8, 12
грамм2[6]CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-6a.pngDyn-node.png
Dyn-node.pngDyn-6b.pngDyn-node.png
6642, 6
ЧАС3[5,3]CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png-15102, 6, 10
ЧАС4[5,3,3]CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png-60302, 12, 20, 30
я2(п)[п]CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png-пп2, п

Инварианты группы Кокстера, действующие на многочлены, образуют алгебру многочленов, образующие которой являются фундаментальными инвариантами; их степени приведены в таблице выше. Обратите внимание, что если м является степенью фундаментального инварианта, то час + 2 − м.

Собственные значения элемента Кокстера - это числа ея(м − 1)/час в качестве м проходит по степеням фундаментальных инвариантов. Поскольку это начинается с м = 2, к ним относятся примитивный часкорень единства, ζчас = ея/час, что важно в Самолет Кокстера, ниже.

Групповой заказ

Есть отношения между порядком грамм группы Кокстера и число Кокстера час:[3]

  • [p]: 2ч / гп = 1
  • [p, q]: 8 / гр, д = 2 / p + 2 / q -1
  • [p, q, r]: 64 ч / гр, д, г = 12 - p - 2q - r + 4 / p + 4 / r
  • [p, q, r, s]: 16 / гр, д, г, с = 8 / гр, д, г + 8 / гд, г, с + 2 / (пс) - 1 / p - 1 / q - 1 / r - 1 / с +1
  • ...

Например, [3,3,5] имеет час= 30, поэтому 64 * 30 / g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, поэтому g = 1920 * 15/2 = 960 * 15 = 14400.

Элементы Кокстера

Отдельные элементы Кокстера соответствуют ориентации диаграммы Кокстера (т.е. колчаны ): простые отражения, соответствующие исходным вершинам, записываются первыми, потом - нижележащими вершинами и последними - погружениями. (Выбор порядка среди несмежных вершин не имеет значения, поскольку они соответствуют коммутирующим отражениям.) Особым выбором является чередующаяся ориентация, при которой простые отражения разбиваются на два набора несмежных вершин, а все ребра ориентированы от первого до второго набора.[4] Переменная ориентация создает особый элемент Кокстера. ш удовлетворение , куда ш0 это самый длинный элемент, а число Кокстера час даже.

За , то симметричная группа на п элементы, элементы Кокстера являются определенными п-циклы: продукт простых отражений это элемент Кокстера .[5] За п даже элемент Кокстера с переменной ориентацией:

Есть отдельные элементы Кокстера среди п-циклы.

В группа диэдра Dihп создается двумя отражениями, которые образуют угол , и, таким образом, их продукт вращается на .

Самолет Кокстера

Проекция E8 корневая система на плоскость Кокстера, демонстрируя 30-кратную симметрию.

Для данного элемента Кокстера ш, есть уникальный самолет п на котором ш действует поворотом на 2π /час Это называется Самолет Кокстера[6] и это плоскость, на которой п имеет собственные значения ея/час и е−2πя/час = ея(час−1)/час.[7] Впервые этот самолет систематически изучался в (Кокстер 1948 ),[8] и впоследствии использовался в (Стейнберг 1959 ), чтобы обеспечить единообразные доказательства свойств элементов Кокстера.[8]

Плоскость Кокстера часто используется для рисования диаграмм многомерных многогранников и корневых систем - вершины и ребра многогранника или корни (и некоторые ребра, соединяющие их) являются ортогонально проецируется на плоскость Кокстера, давая Многоугольник Петри с час-кратная вращательная симметрия.[9] Для корневых систем ни один корень не отображается в ноль, что соответствует элементу Кокстера, не фиксирующему какой-либо корень или, скорее, ось (не имеющую собственного значения 1 или -1), поэтому проекции орбит под ш форма час-складные круговые композиции[9] и там пустой центр, как в E8 диаграмма вверху справа. Для многогранников вершина может отображаться в ноль, как показано ниже. Проекции на плоскость Кокстера изображены ниже для Платоновы тела.

В трех измерениях симметрия правильный многогранник, {p, q} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри, определенным как композиция из трех отражений, имеет ротоинверсия симметрия Sчас, [2+,час+], порядок час. Добавив зеркало, симметрию можно удвоить до антипризматической симметрии, DHD, [2+, h], порядок 2час. В ортогональной 2D-проекции это становится двугранная симметрия, Дичас, [h], порядок 2час.

Группа КокстераА3
Тd
B3
Очас
ЧАС3
ячас
Обычный
многогранник
3-симплексный t0.svg
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3-кубик t0.svg
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3-кубик t2.svg
{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Додекаэдр H3 projection.svg
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Икосаэдр H3 projection.svg
{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
СимметрияS4, [2+,4+], (2×)
D2d, [2+,4], (2*2)
S6, [2+,6+], (3×)
D3D, [2+,6], (2*3)
S10, [2+,10+], (5×)
D5d, [2+,10], (2*5)
Самолет Кокстера
симметрия
Dih4, [4], (*4•)Dih6, [6], (*6•)Dih10, [10], (*10•)
Многоугольники Петри Платоновых тел, демонстрирующие 4-кратную, 6-кратную и 10-кратную симметрию.

В четырех измерениях симметрия регулярный полихорон, {p, q, r} с одним отмеченным ориентированным многоугольником Петри является двойное вращение, определенная как композиция из 4 отражений с симметрией +1/час[Cчас× Счас][10] (Джон Х. Конвей ), (C/ C1; C/ C1) (#1', Патрик дю Валь (1964)[11]), порядок час.

Группа КокстераА4B4F4ЧАС4
Обычный
полихорон
4-симплексный t0.svg
{3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4-orthoplex.svg
{3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4-куб graph.svg
{4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
24-элементный t0 F4.svg
{3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120-ячеечный граф H4.svg
{5,3,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Граф из 600 ячеек H4.svg
{3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Симметрия+1/5[C5× С5]+1/8[C8× С8]+1/12[C12× С12]+1/30[C30× С30]
Самолет Кокстера
симметрия
Dih5, [5], (*5•)Dih8, [8], (*8•)Dih12, [12], (*12•)Dih30, [30], (*30•)
Многоугольники Петри правильных четырехмерных тел с 5-кратной, 8-кратной, 12-кратной и 30-кратной симметрией.

В пяти измерениях симметрия правильный 5-многогранник, {p, q, r, s}, с отмеченным одним направленным многоугольником Петри, представляет собой композицию из 5 отражений.

Группа КокстераА5B5D5
Обычный
политерон
5-симплексный t0.svg
{3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-orthoplex.svg
{3,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5-куб graph.svg
{4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-demicube t0 D5.svg
ч {4,3,3,3}
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Самолет Кокстера
симметрия
Dih6, [6], (*6•)Dih10, [10], (*10•)Dih8, [8], (*8•)

В измерениях с 6 по 8 есть 3 исключительные группы Кокстера, один равномерный многогранник из каждого измерения представляет собой корни Eп Исключительные группы лжи. Элементы Кокстера - 12, 18 и 30 соответственно.

Eп группы
Группа КокстераE6E7E8
ГрафикВверх 1 22 t0 E6.svg
122
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Gosset 2 31 polytope.svg
231
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
E8Petrie.svg
421
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Самолет Кокстера
симметрия
Dih12, [12], (*12•)Dih18, [18], (*18•)Dih30, [30], (*30•)

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд; Чендлер Дэвис; Эрлих В. Эллерс (2006), Наследие Кокстера: размышления и прогнозы, Книжный магазин AMS, стр. 112, ISBN  978-0-8218-3722-1
  2. ^ Coxeter, Правильные многогранники, §12.6 Число отражений, уравнение 12.61
  3. ^ Правильные многогранники, стр. 233
  4. ^ Джордж Люстиг, Введение в квантовые группы, Бирхаузер (2010)
  5. ^ (Хамфрис 1992, п. 75 )
  6. ^ Самолеты Кокстера В архиве 2018-02-10 в Wayback Machine и Еще самолеты Кокстера В архиве 2017-08-21 в Wayback Machine Джон Стембридж
  7. ^ (Хамфрис 1992, Раздел 3.17, «Действие на плоскости», стр. 76–78. )
  8. ^ а б (Чтение 2010, п. 2)
  9. ^ а б (Стембридж 2007 )
  10. ^ О кватернионах и октонионах, 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN  978-1-56881-134-5
  11. ^ Патрик Дю Валь, Гомографии, кватернионы и вращения, Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, Оксфорд, 1964.

Рекомендации