Элемент Кокстера - Coxeter element

В математика, то Число Кокстера час это порядок из Элемент Кокстера неприводимого Группа Кокстера. Он назван в честь H.S.M. Coxeter.^[1]

Определения

Обратите внимание, что в этой статье предполагается конечная группа Кокстера. Для бесконечных групп Кокстера существует несколько классы сопряженности элементов Кокстера, и они имеют бесконечный порядок.

Есть много разных способов определить число Кокстера. час неприводимой корневой системы.

А Элемент Кокстера продукт всех простых размышлений. Продукт зависит от того, в каком порядке они принимаются, но разные заказы производят сопряженные элементы, которые имеют одинаковые порядок.

Число Кокстера - это порядок любого Элемент Кокстера;.
Число Кокстера - 2м/п, куда п это звание, а м количество отражений. В кристаллографическом случае м это половина числа корни; и 2м+п - размерность соответствующего полупростого Алгебра Ли.
Если наивысший корень равен ∑м_яα_я для простых корней α_я, то число Кокстера равно 1 + ∑м_я.
Число Кокстера - это высшая степень фундаментального инварианта группы Кокстера, действующего на многочлены.

Число Кокстера для каждого типа Дынкина приведено в следующей таблице:

Группа Кокстера		Coxeter диаграмма	Дынкин диаграмма	Размышления м=нэ/2^[2]	Число Кокстера час	Двойное число Кокстера	Степени фундаментальных инвариантов
А_п	[3,3...,3]	...	...	п(п+1)/2	п + 1	п + 1	2, 3, 4, ..., п + 1
B_п	[4,3...,3]	...	...	п²	2п	2п − 1	2, 4, 6, ..., 2п
C_п	[4,3...,3]	...	...	п²	2п	п + 1	2, 4, 6, ..., 2п
D_п	[3,3,..3^1,1]	...	...	п(п-1)	2п − 2	2п − 2	п; 2, 4, 6, ..., 2п − 2
E₆	[3^2,2,1]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E₇	[3^3,2,1]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E₈	[3^4,2,1]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F₄	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
грамм₂	[6]			6	6	4	2, 6
ЧАС₃	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
ЧАС₄	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
я₂(п)	[п]		-	п	п		2, п

Инварианты группы Кокстера, действующие на многочлены, образуют алгебру многочленов, образующие которой являются фундаментальными инвариантами; их степени приведены в таблице выше. Обратите внимание, что если м является степенью фундаментального инварианта, то час + 2 − м.

Собственные значения элемента Кокстера - это числа е^{2πя(м − 1)/час} в качестве м проходит по степеням фундаментальных инвариантов. Поскольку это начинается с м = 2, к ним относятся примитивный часкорень единства, ζ_час = е^2πя/час, что важно в Самолет Кокстера, ниже.

Групповой заказ

Есть отношения между порядком грамм группы Кокстера и число Кокстера час:^[3]

[p]: 2ч / г_п = 1
[p, q]: 8 / г_{р, д} = 2 / p + 2 / q -1
[p, q, r]: 64 ч / г_{р, д, г} = 12 - p - 2q - r + 4 / p + 4 / r
[p, q, r, s]: 16 / г_{р, д, г, с} = 8 / г_{р, д, г} + 8 / г_{д, г, с} + 2 / (пс) - 1 / p - 1 / q - 1 / r - 1 / с +1
...

Например, [3,3,5] имеет час= 30, поэтому 64 * 30 / g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, поэтому g = 1920 * 15/2 = 960 * 15 = 14400.

Элементы Кокстера

Отдельные элементы Кокстера соответствуют ориентации диаграммы Кокстера (т.е. колчаны ): простые отражения, соответствующие исходным вершинам, записываются первыми, потом - нижележащими вершинами и последними - погружениями. (Выбор порядка среди несмежных вершин не имеет значения, поскольку они соответствуют коммутирующим отражениям.) Особым выбором является чередующаяся ориентация, при которой простые отражения разбиваются на два набора несмежных вершин, а все ребра ориентированы от первого до второго набора.^[4] Переменная ориентация создает особый элемент Кокстера. ш удовлетворение ${ Displaystyle ш ^ {ч / 2} = ш_ {0}}$ , куда ш₀ это самый длинный элемент, а число Кокстера час даже.

За ${ Displaystyle A_ {n-1} cong S_ {n}}$ , то симметричная группа на п элементы, элементы Кокстера являются определенными п-циклы: продукт простых отражений ${ Displaystyle (1,2) (2,3) cdots (п {-} 1 , п)}$ это элемент Кокстера ${ Displaystyle (1,2,3, точки, п)}$ .^[5] За п даже элемент Кокстера с переменной ориентацией:

{ Displaystyle (1,2) (3,4) cdots (2,3) (4,5) cdots = (2,4,6, ldots, n {-} 2, n, n {-} 1, n {-} 3, ldots, 5,3,1).}

Есть ${ Displaystyle 2 ^ {п-2}}$ отдельные элементы Кокстера среди ${ displaystyle (п {-} 1)!}$ п-циклы.

В группа диэдра Dih_п создается двумя отражениями, которые образуют угол ${ displaystyle 2 pi / 2p}$ , и, таким образом, их продукт вращается на ${ displaystyle 2 pi / p}$ .

Самолет Кокстера

Проекция E₈ корневая система на плоскость Кокстера, демонстрируя 30-кратную симметрию.

Для данного элемента Кокстера ш, есть уникальный самолет п на котором ш действует поворотом на 2π /час Это называется Самолет Кокстера^[6] и это плоскость, на которой п имеет собственные значения е^2πя/час и е^{−2πя/час} = е^{2πя(час−1)/час}.^[7] Впервые этот самолет систематически изучался в (Кокстер 1948 ),^[8] и впоследствии использовался в (Стейнберг 1959 ), чтобы обеспечить единообразные доказательства свойств элементов Кокстера.^[8]

Плоскость Кокстера часто используется для рисования диаграмм многомерных многогранников и корневых систем - вершины и ребра многогранника или корни (и некоторые ребра, соединяющие их) являются ортогонально проецируется на плоскость Кокстера, давая Многоугольник Петри с час-кратная вращательная симметрия.^[9] Для корневых систем ни один корень не отображается в ноль, что соответствует элементу Кокстера, не фиксирующему какой-либо корень или, скорее, ось (не имеющую собственного значения 1 или -1), поэтому проекции орбит под ш форма час-складные круговые композиции^[9] и там пустой центр, как в E₈ диаграмма вверху справа. Для многогранников вершина может отображаться в ноль, как показано ниже. Проекции на плоскость Кокстера изображены ниже для Платоновы тела.

В трех измерениях симметрия правильный многогранник, {p, q} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри, определенным как композиция из трех отражений, имеет ротоинверсия симметрия S_час, [2⁺,час⁺], порядок час. Добавив зеркало, симметрию можно удвоить до антипризматической симметрии, D_HD, [2⁺, h], порядок 2час. В ортогональной 2D-проекции это становится двугранная симметрия, Ди_час, [h], порядок 2час.

Группа Кокстера	А₃ Т_d	B₃ О_час		ЧАС₃ я_час
Обычный многогранник	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Симметрия	S₄, [2⁺,4⁺], (2×) D_2d, [2⁺,4], (2*2)	S₆, [2⁺,6⁺], (3×) D_3D, [2⁺,6], (2*3)		S₁₀, [2⁺,10⁺], (5×) D_5d, [2⁺,10], (2*5)
Самолет Кокстера симметрия	Dih₄, [4], (*4•)	Dih₆, [6], (*6•)		Dih₁₀, [10], (*10•)
Многоугольники Петри Платоновых тел, демонстрирующие 4-кратную, 6-кратную и 10-кратную симметрию.

В четырех измерениях симметрия регулярный полихорон, {p, q, r} с одним отмеченным ориентированным многоугольником Петри является двойное вращение, определенная как композиция из 4 отражений с симметрией +¹/_час[C_час× С_час]^[10] (Джон Х. Конвей ), (C_2ч/ C₁; C_2ч/ C₁) (#1', Патрик дю Валь (1964)^[11]), порядок час.

Группа Кокстера	А₄	B₄		F₄	ЧАС₄
Обычный полихорон	{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Симметрия	+¹/₅[C₅× С₅]	+¹/₈[C₈× С₈]		+¹/₁₂[C₁₂× С₁₂]	+¹/₃₀[C₃₀× С₃₀]
Самолет Кокстера симметрия	Dih₅, [5], (*5•)	Dih₈, [8], (*8•)		Dih₁₂, [12], (*12•)	Dih₃₀, [30], (*30•)
Многоугольники Петри правильных четырехмерных тел с 5-кратной, 8-кратной, 12-кратной и 30-кратной симметрией.

В пяти измерениях симметрия правильный 5-многогранник, {p, q, r, s}, с отмеченным одним направленным многоугольником Петри, представляет собой композицию из 5 отражений.

Группа Кокстера	А₅	B₅		D₅
Обычный политерон	{3,3,3,3}	{3,3,3,4}	{4,3,3,3}	ч {4,3,3,3}
Самолет Кокстера симметрия	Dih₆, [6], (*6•)	Dih₁₀, [10], (*10•)		Dih₈, [8], (*8•)

В измерениях с 6 по 8 есть 3 исключительные группы Кокстера, один равномерный многогранник из каждого измерения представляет собой корни E_п Исключительные группы лжи. Элементы Кокстера - 12, 18 и 30 соответственно.

E_п группы
Группа Кокстера	E6	E7	E8
График	1₂₂	2₃₁	4₂₁
Самолет Кокстера симметрия	Dih₁₂, [12], (*12•)	Dih₁₈, [18], (*18•)	Dih₃₀, [30], (*30•)

Смотрите также

Самый длинный элемент группы Кокстера

Примечания

^ Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд; Чендлер Дэвис; Эрлих В. Эллерс (2006), Наследие Кокстера: размышления и прогнозы, Книжный магазин AMS, стр. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1
^ Coxeter, Правильные многогранники, §12.6 Число отражений, уравнение 12.61
^ Правильные многогранники, стр. 233
^ Джордж Люстиг, Введение в квантовые группы, Бирхаузер (2010)
^ (Хамфрис 1992, п. 75 )
^ Самолеты Кокстера В архиве 2018-02-10 в Wayback Machine и Еще самолеты Кокстера В архиве 2017-08-21 в Wayback Machine Джон Стембридж
^ (Хамфрис 1992, Раздел 3.17, «Действие на плоскости», стр. 76–78. )
^ ^а ^б (Чтение 2010, п. 2)
^ ^а ^б (Стембридж 2007 )
^ О кватернионах и октонионах, 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5
^ Патрик Дю Валь, Гомографии, кватернионы и вращения, Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, Оксфорд, 1964.