Группа диэдра - Dihedral group

В группа симметрии из снежинка это D₆, двугранная симметрия, такая же, как и для регулярной шестиугольник.

В математика, а группа диэдра это группа из симметрии из правильный многоугольник,^[1]^[2] который включает вращения и размышления. Группы диэдра являются одними из простейших примеров конечные группы, и они играют важную роль в теория групп, геометрия, и химия.

Обозначения для группы диэдра отличаются геометрия и абстрактная алгебра. В геометрия, $D п$ или же $Dih п$ относится к симметрии н-угольник, группа заказа $2 п$ . В абстрактная алгебра, $D 2 п$ относится к той же группе диэдра.^[3] В этой статье используется геометрическое соглашение.

Определение

Элементы

Шесть осей отражение правильного шестиугольника

Правильный многоугольник с ${ displaystyle n}$ стороны имеет ${ displaystyle 2n}$ разные симметрии: ${ displaystyle n}$ вращательная симметрия и ${ displaystyle n}$ симметрии отражения. Обычно мы берем ${ Displaystyle п geq 3}$ здесь. Связанный вращения и размышления составляют двугранную группу ${ displaystyle mathrm {D} _ {n}}$ . Если ${ displaystyle n}$ нечетно, каждая ось симметрии соединяет середину одной стороны с противоположной вершиной. Если ${ displaystyle n}$ четное, есть ${ displaystyle n / 2}$ оси симметрии, соединяющие середины противоположных сторон и ${ displaystyle n / 2}$ оси симметрии, соединяющие противоположные вершины. В любом случае есть ${ displaystyle n}$ оси симметрии и ${ displaystyle 2n}$ элементы в группе симметрии.^[4] Отражение по одной оси симметрии с последующим отражением по другой оси симметрии приводит к повороту на удвоенный угол между осями.^[5]

На следующем рисунке показан эффект шестнадцати элементов ${ displaystyle mathrm {D} _ {8}}$ на знак СТОП:

Первая строка показывает эффект восьми вращений, а вторая строка показывает эффект восьми отражений, в каждом случае воздействующих на знак остановки с ориентацией, показанной вверху слева.

Структура группы

Как и любой другой геометрический объект, сочинение двух симметрий правильного многоугольника снова является симметрией этого объекта. С помощью композиции симметрий для создания другой в качестве бинарной операции это дает симметриям многоугольника алгебраическую структуру конечная группа.^[6]

Композиция этих двух отражений представляет собой вращение.

Следующее Стол Кэли показывает эффект композиции в группе D₃ (симметрии равносторонний треугольник ). р₀ обозначает личность; р₁ и г₂ обозначают вращение против часовой стрелки на 120 ° и 240 ° соответственно, а s₀, с₁ и s₂ обозначают отражения через три линии, показанные на соседнем рисунке.

	р₀	р₁	р₂	s₀	s₁	s₂
р₀	р₀	р₁	р₂	s₀	s₁	s₂
р₁	р₁	р₂	р₀	s₁	s₂	s₀
р₂	р₂	р₀	р₁	s₂	s₀	s₁
s₀	s₀	s₂	s₁	р₀	р₂	р₁
s₁	s₁	s₀	s₂	р₁	р₀	р₂
s₂	s₂	s₁	s₀	р₂	р₁	р₀

Например, s₂s₁ = г₁, поскольку отражение s₁ за которым следует отражение s₂ приводит к повороту на 120 °. Порядок элементов, обозначающих сочинение находится справа налево, что отражает соглашение о том, что элемент действует на выражение справа от него. Операция композиции не коммутативный.^[6]

В общем, группа D_п имеет элементы r₀, ..., р_п−1 и s₀, ..., с_п−1, состав которого определяется следующими формулами:

{ displaystyle mathrm {r} _ {i} , mathrm {r} _ {j} = mathrm {r} _ {i + j}, quad mathrm {r} _ {i} , mathrm {s} _ {j} = mathrm {s} _ {i + j}, quad mathrm {s} _ {i} , mathrm {r} _ {j} = mathrm {s} _ {ij}, quad mathrm {s} _ {i} , mathrm {s} _ {j} = mathrm {r} _ {ij}.}

Во всех случаях сложение и вычитание индексов следует производить с использованием модульная арифметика с модулем п.

Матричное представление

Симметрии этого пятиугольника равны линейные преобразования плоскости как векторное пространство.

Если мы центрируем правильный многоугольник в начале координат, то элементы группы диэдра действуют как линейные преобразования из самолет. Это позволяет нам представить элементы D_п в качестве матрицы, с составом матричное умножение. Это пример (2-мерного) групповое представительство.

Например, элементы группы D₄ могут быть представлены следующими восемью матрицами:

{ displaystyle { begin {matrix} mathrm {r} _ {0} = left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 [0.2em] 0 & 1 end {smallmatrix}} right), & mathrm { r} _ {1} = left ({ begin {smallmatrix} 0 & -1 [0.2em] 1 & 0 end {smallmatrix}} right), & mathrm {r} _ {2} = left ( { begin {smallmatrix} -1 & 0 [0.2em] 0 & -1 end {smallmatrix}} right), & mathrm {r} _ {3} = left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 [0.2em] -1 & 0 end {smallmatrix}} right), [1em] mathrm {s} _ {0} = left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 [0.2em] 0 & -1 end {smallmatrix}} right), & mathrm {s} _ {1} = left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 [0.2em] 1 & 0 end {smallmatrix}} right), & mathrm {s} _ {2} = left ({ begin {smallmatrix} -1 & 0 [0.2em] 0 & 1 end {smallmatrix}} right), & mathrm {s} _ {3} = left ({ begin {smallmatrix} 0 & -1 [0.2em] -1 & 0 end {smallmatrix}} right). end {matrix}}}

В общем случае матрицы для элементов D_п имеют следующий вид:

{ displaystyle { begin {align} mathrm {r} _ {k} & = { begin {pmatrix} cos { frac {2 pi k} {n}} & - sin { frac {2 pi k} {n}} sin { frac {2 pi k} {n}} & cos { frac {2 pi k} {n}} end {pmatrix}} { text {and}} mathrm {s} _ {k} & = { begin {pmatrix} cos { frac {2 pi k} {n}} & sin { frac {2 pi k} {n}} sin { frac {2 pi k} {n}} & - cos { frac {2 pi k} {n}} end {pmatrix}}. end { выровнен}}}

р_k это матрица вращения, выражая вращение против часовой стрелки на угол 2πk/п. s_k отражение поперек линии, образующей угол πk/п с Икс-ось.

Другие определения

Дальнейшие эквивалентные определения $D п$ находятся:

В группа автоморфизмов из график состоящий только из цикла с п вершины (если п ≥ 3).
Группа с презентация
${ displaystyle { begin {align} mathrm {D} _ {n} & = langle mathrm {r}, mathrm {s} mid operatorname {ord} ( mathrm {r}) = n, operatorname {ord} ( mathrm {s}) = 2, mathrm {srs} = mathrm {r} ^ {- 1} rangle & = langle mathrm {r, s} mid mathrm {r} ^ {n} = mathrm {s} ^ {2} = ( mathrm {sr}) ^ {2} = 1 rangle. end {align}}}$
Из второго представления следует, что $D п$ принадлежит к классу Группы Кокстера.
В полупрямой продукт из циклические группы $Z п$ и $Z 2$ , с $Z 2$ действующий на $Z п$ к инверсия (таким образом, $D п$ всегда есть нормальная подгруппа изоморфна группе $Z п$ ). Z_п ⋊_φ Z₂ изоморфен $D п$ если $φ (0)$ это личность и $φ (1)$ инверсия.

Малые диэдральные группы

Примеры подгрупп из гексагональной диэдральной симметрии

$D 1$ является изоморфный к $Z 2$ , то циклическая группа порядка 2.

$D 2$ является изоморфный к $K 4$ , то Кляйн четыре группы.

$D 1$ и $D 2$ исключительны в том, что:

$D 1$ и $D 2$ единственные абелевский диэдральные группы. Иначе, $D п$ неабелева.
$D п$ это подгруппа из симметричная группа $S п$ за $п \geq 3$ . С $2 п > п!$ за $п = 1$ или же $п = 2$ , для этих значений $D п$ слишком велик, чтобы быть подгруппой.
Группа внутренних автоморфизмов $D 2$ тривиально, тогда как для других четных значений $п$ , это $D п / Z 2$ .

В графики цикла диэдральных групп состоят из п-элементный цикл и п Двухэлементные циклы. Темная вершина в циклических графах различных групп диэдра ниже представляет собой единичный элемент, а другие вершины - другие элементы группы. Цикл состоит из последовательных степеней любого из элементов, связанных с элемент идентичности.

Графики цикла
D₁ = Z₂	D₂ = Z₂² = K₄	D₃	D₄	D₅


D₆ = D₃ × Z₂	D₇	D₈	D₉	D₁₀ = D₅ × Z₂

D₃ = S₃	D₄

Группа диэдра как группа симметрии в 2D и группа вращения в 3D

Пример абстрактной группы $D п$ , и общий способ визуализировать это - это группа Изометрии евклидовой плоскости которые сохраняют происхождение фиксированным. Эти группы образуют одну из двух серий дискретных группы точек в двух измерениях. $D п$ состоит из $п$ вращения кратных $360°/ п$ о происхождении, и размышления через $п$ линии через начало координат, составляя углы, кратные $180°/ п$ друг с другом. Это группа симметрии из правильный многоугольник с $п$ стороны (для $п \geq 3$ ; это распространяется на случаи $п = 1$ и $п = 2$ где у нас есть плоскость со смещением точки соответственно от «центра» «1-угольника» и «2-угольника» или отрезка линии).

$D п$ является генерируется путем вращения $р$ из порядок $п$ и отражение $s$ порядка 2 такой, что

{ Displaystyle mathrm {srs} = mathrm {r} ^ {- 1} ,}

В геометрическом плане: в зеркале вращение выглядит как обратное вращение.

С точки зрения сложные числа: умножение на ${ Displaystyle е ^ {2 пи я над п}}$ и комплексное сопряжение.

В матричной форме, задав

{ displaystyle mathrm {r} _ {1} = { begin {bmatrix} cos {2 pi over n} & - sin {2 pi over n} [8pt] sin {2 pi over n} & cos {2 pi over n} end {bmatrix}} qquad mathrm {s} _ {0} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 end { bmatrix}}}

и определение ${ Displaystyle mathrm {r} _ {j} = mathrm {r} _ {1} ^ {j}}$ и ${ Displaystyle mathrm {s} _ {j} = mathrm {r} _ {j} , mathrm {s} _ {0}}$ за ${ displaystyle j in {1, ldots, n-1 }}$ мы можем написать правила продукта для D_п в качестве

{ displaystyle { begin {align} mathrm {r} _ {j} , mathrm {r} _ {k} & = mathrm {r} _ {(j + k) { text {mod}} n} mathrm {r} _ {j} , mathrm {s} _ {k} & = mathrm {s} _ {(j + k) { text {mod}} n} mathrm {s} _ {j} , mathrm {r} _ {k} & = mathrm {s} _ {(jk) { text {mod}} n} mathrm {s} _ {j } , mathrm {s} _ {k} & = mathrm {r} _ {(jk) { text {mod}} n} end {выровнено}}}

(Сравнивать координатные вращения и отражения.)

Группа диэдра D₂ создается поворотом r на 180 градусов, а отражение s поперек Икс-ось. Элементы D₂ затем может быть представлен как {e, r, s, rs}, где e - это тождественное или нулевое преобразование, а rs - это отражение через у-ось.

Четыре элемента D₂ (ось x здесь вертикальная)

D₂ является изоморфный к Кляйн четыре группы.

За п > 2 операции поворота и отражения вообще не ездить и D_п не является абелевский; например, в D₄, поворот на 90 градусов с последующим отражением дает результат, отличный от отражения, за которым следует поворот на 90 градусов.

D₄ неабелева (ось абсцисс здесь вертикальна).

Таким образом, помимо их очевидного применения к проблемам симметрия на плоскости эти группы являются одними из простейших примеров неабелевых групп и, как таковые, часто возникают как простые контрпримеры к теоремам, ограниченным абелевыми группами.

В $2 п$ элементы $D п$ можно записать как $е$ , $р$ , $р 2$ , ... , $р п -1$ , $s$ , $r s$ , $р 2 s$ , ... , $р п -1 s$ . Первый $п$ перечисленные элементы - это вращения, а остальные $п$ элементы являются отражениями от оси (все они имеют порядок 2). Произведение двух вращений или двух отражений - это вращение; продукт вращения и отражения - это отражение.

До сих пор мы рассмотрели $D п$ быть подгруппа из $О (2)$ , т.е. группа поворотов (относительно начала координат) и отражений (по осям, проходящим через начало координат) плоскости. Однако обозначение $D п$ также используется для подгруппы ТАК (3) который также имеет тип абстрактной группы $D п$ : the собственная группа симметрии из правильный многоугольник, вложенный в трехмерное пространство (если п ≥ 3). Такую фигуру можно рассматривать как вырожденное правильное твердое тело, грань которого пересчитана дважды. Поэтому его еще называют диэдр (Греческий: твердое тело с двумя лицами), что объясняет название группа диэдра (по аналогии с четырехгранный, восьмигранный и группа икосаэдров, имея в виду собственные группы симметрии регулярного тетраэдр, октаэдр, и икосаэдр соответственно).

Примеры двумерной двугранной симметрии

2D D₆ симметрия - Красная звезда Давида
2D D₁₆ симметрия - Императорская печать Японии, представляющая восьмикратную хризантема с шестнадцатью лепестки.
2D D₂₄ симметрия - Ашока Чакра, как показано на Государственный флаг Республики Индии.

Характеристики

Свойства диэдральных групп $D п$ с $п \geq 3$ зависит от того, есть ли $п$ четное или нечетное. Например, центр из $D п$ состоит только из единицы, если п странно, но если п даже центр имеет два элемента, а именно единицу и элемент r^п/2 (с D_п как подгруппа O (2), это инверсия; так как это скалярное умножение на −1 ясно, что он коммутирует с любым линейным преобразованием).

В случае двумерных изометрий это соответствует добавлению инверсии, давая повороты и зеркала между существующими.

За п дважды нечетное число, абстрактная группа $D п$ изоморфен прямой продукт из $D п / 2$ и $Z 2$ Как правило, если м разделяет п, тогда $D п$ имеет п/м подгруппы типа $D м$ , и одна подгруппа ℤ_м. Следовательно, общее количество подгрупп группы $D п$ (п ≥ 1), равно d(п) + σ (п), куда d(п) - количество положительных делители из п и σ(п) - сумма положительных делителейп. Видеть список малых групп для случаевп ≤ 8.

Группа диэдра порядка 8 (D₄) является наименьшим примером группы, не являющейся Т-группа. Любой из двух Кляйн четыре группы подгруппы (нормальные в D₄) имеет в качестве нормальной подгруппы подгруппы порядка 2, порожденные отражением (флипом) в D₄, но эти подгруппы не нормальны в D₄.

Классы сопряженности отражений

Все отражения сопрягать друг к другу в случае п нечетно, но они распадаются на два класса сопряженности, если п даже. Если мы подумаем об изометриях регулярного п-gon: для нечетных п в группе есть повороты между каждой парой зеркал, а для даже п только половина зеркал может быть достигнута с одного из этих вращений. Геометрически в нечетном многоугольнике каждая ось симметрии проходит через вершину и сторону, а в четном многоугольнике есть два набора осей, каждый из которых соответствует классу сопряженности: те, которые проходят через две вершины, и те, которые проходят через две стороны. .

Алгебраически это пример сопряженного Теорема Силова (за п нечетное): для п нечетное, каждое отражение вместе с тождеством образуют подгруппу порядка 2, которая является Силовская 2-подгруппа (2 = 2¹ максимальная степень деления 2 2п = 2[2k + 1]), а для п даже эти подгруппы порядка 2 не являются силовскими подгруппами, потому что 4 (большая степень 2) делит порядок группы.

За п даже вместо этого внешний автоморфизм поменять местами два типа отражений (собственно, класс внешних автоморфизмов, которые все сопряжены внутренним автоморфизмом).

Группа автоморфизмов

В группа автоморфизмов из $D п$ изоморфен голоморф из ℤ /пℤ, т.е. Хол (ℤ /пℤ) = {топор + б | (а, п) = 1} и имеет порядок nϕ(п), куда ϕ Эйлера тотент функция, количество k в 1, …, п − 1 взаимно простой с п.

Его можно понять в терминах генераторов отражения и элементарного вращения (вращение на k(2π/п), за k совмещать к п); какие автоморфизмы являются внутренними и внешними, зависит от четности п.

За п нечетно, группа диэдра бесцентровая, поэтому любой элемент определяет нетривиальный внутренний автоморфизм; за п даже поворот на 180 ° (отражение через начало координат) - нетривиальный элемент центра.
Таким образом, для п нечетно, группа внутренних автоморфизмов имеет порядок 2п, и для п даже (кроме п = 2) группа внутренних автоморфизмов имеет порядок п.
За п нечетное, все отражения сопряжены; за п даже, они делятся на два класса (те, которые проходят через две вершины, и те, которые проходят через две грани), связанных внешним автоморфизмом, который может быть представлен вращением π/п (половина минимального вращения).
Вращения - нормальная подгруппа; сопряжение отражением меняет знак (направление) вращения, но в остальном оставляет их неизменными. Таким образом, автоморфизмы, умножающие углы на k (взаимно проста с п) являются внешними, если только k = ±1.

Примеры групп автоморфизмов

$D 9$ имеет 18 внутренние автоморфизмы. Как группа 2D изометрий D₉, группа имеет зеркала с интервалом 20 °. 18 внутренних автоморфизмов обеспечивают вращение зеркал кратно 20 ° и отражения. Как группа изометрий, это все автоморфизмы. В качестве абстрактной группы в дополнение к ним 36 внешние автоморфизмы; например, умножение углов поворота на 2.

$D 10$ имеет 10 внутренних автоморфизмов. Как группа 2D изометрий D₁₀, группа имеет зеркала с интервалом 18 °. 10 внутренних автоморфизмов обеспечивают вращение зеркал на 36 ° и отражения. В качестве группы изометрий есть еще 10 автоморфизмов; они сопряжены изометриями вне группы, поворачивая зеркала на 18 ° относительно внутренних автоморфизмов. В качестве абстрактной группы, помимо этих 10 внутренних и 10 внешних автоморфизмов, есть еще 20 внешних автоморфизмов; например, умножение оборотов на 3.

Сравните значения 6 и 4 для Функция Эйлера, то мультипликативная группа целых чисел по модулю п за п = 9 и 10 соответственно. Это утроит и удвоит количество автоморфизмов по сравнению с двумя автоморфизмами как изометриями (сохраняя порядок поворотов таким же или меняя порядок на противоположный).

Единственные ценности п для которого φ(п) = 2 равны 3, 4 и 6, и, следовательно, есть только три группы диэдра, которые изоморфны своим собственным группам автоморфизмов, а именно $D 3$ (заказ 6), $D 4$ (заказ 8), и $D 6$ (заказ 12).^[7]^[8]^[9]

Группа внутренних автоморфизмов

Группа внутренних автоморфизмов $D п$ изоморфен:^[10]

$D п$ если п нечетный;
$D п / Z 2$ если $п$ даже (для $п = 2$ , $D 2 / Z 2 = 1$ ).

Обобщения

Есть несколько важных обобщений групп диэдра:

В бесконечная диэдральная группа является бесконечная группа с алгебраической структурой, аналогичной конечным диэдральным группам. Его можно рассматривать как группу симметрий целые числа.
В ортогональная группа O (2), т.е. группа симметрии круг, также обладает свойствами, аналогичными группам диэдра.
Семья обобщенные диэдральные группы включает оба приведенных выше примера, а также многие другие группы.
В квазидиэдральные группы являются семейством конечных групп со свойствами, аналогичными группам диэдра.

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Диэдральная группа». MathWorld.

[2] Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-43334-9.

[mathimages-3] «Диэдральные группы: обозначения». Проект математических изображений. Архивировано из оригинал на 2016-03-20. Получено 2016-06-11.

[4] Кэмерон, Питер Джефсон (1998), Введение в алгебру, Oxford University Press, стр. 95, ISBN 9780198501954

[5] Тот, Габор (2006), Немного об алгебре и геометрии, Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Springer, стр. 98, ISBN 9780387224558

[lovett-6] а ^б Ловетт, Стивен (2015), Абстрактная алгебра: структуры и приложения, CRC Press, стр. 71, ISBN 9781482248913

[7] Хамфрис, Джон Ф. (1996). Курс теории групп. Издательство Оксфордского университета. п. 195. ISBN 9780198534594.

[8] Педерсен, Джон. «Группы малого заказа». Кафедра математики Университета Южной Флориды.

[9] Соммер-Симпсон, Яша (2 ноября 2013 г.). «Группы автоморфизмов полупрямых произведений циклических групп» (pdf). п. 13. Следствие 7.3. Aut (D_п) = D_п если и только если φ(п) = 2

[10] Миллер, Г. А. (сентябрь 1942 г.). «Автоморфизмы групп диэдра». Proc Natl Acad Sci U S A. 28: 368–71. Дои:10.1073 / pnas.28.9.368. ЧВК 1078492. PMID 16588559.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]