F4 (математика) - F4 (mathematics)

В математика, F₄ это имя Группа Ли а также его Алгебра Ли ж₄. Это один из пяти исключительных простые группы Ли. F₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Компактная форма односвязна и ее группа внешних автоморфизмов это тривиальная группа. Его фундаментальное представление 26-мерный.

Компактная вещественная форма F₄ это группа изометрии 16-мерного Риманово многообразие известный как октонионная проективная плоскость OP². Систематически это можно увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат, из-за Ганс Фройденталь и Жак Титс.

Есть 3 реальные формы: компактный, раздельный и третий. Это группы изометрий трех реальных Альбертовые алгебры.

F₄ Алгебра Ли может быть построена путем добавления 16 генераторов, преобразующихся как спинор к 36-мерной алгебре Ли так(9), по аналогии с построением E₈.

В старых книгах и статьях F₄ иногда обозначается E₄.

Алгебра

Диаграмма Дынкина

В Диаграмма Дынкина для F₄ является: .

Группа Вейля / Кокстера

Его Weyl /Coxeter группа ${\displaystyle G=W\left(\mathrm {F} _{4}\right)}$ это группа симметрии из 24-элементный: это разрешимая группа порядка 1152. Имеет минимальную точную степень ${\displaystyle \mu (G)=24}$^[1] который реализуется действием на 24-элементный.

Матрица Картана

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{array}}\right]}$

F₄ решетка

F₄ решетка четырехмерный объемно-центрированная кубическая решетка (т.е. объединение двух гиперкубические решетки, каждый из которых лежит в центре другого). Они образуют звенеть называется Кватернион Гурвица звенеть. 24 кватерниона Гурвица нормы 1 образуют вершины 24-элементный с центром в начале координат.

Корни F₄

24 вершины 24-элементный (красный) и 24 вершины двойственного ему (желтый) представляют собой 48 корневых векторов F₄ в этом Самолет Кокстера проекция

48 корневые векторы выключенный₄ можно найти как вершины 24-элементный в двух двойственных конфигурациях, представляющих вершины дисфеноидальный 288-элементный если длины граней 24 ячеек равны:

24-ячеечные вершины:

• 24 корня по (± 1, ± 1,0,0), меняя положения координат

Двойные 24-ячеечные вершины:

• 8 корней по (± 1, 0, 0, 0), меняя положения координат
• 16 корней по (± ½, ± ½, ± ½, ± ½).

Простые корни

Один выбор простые корни для F₄, , задается строками следующей матрицы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$

Диаграмма Хассе из F4 корневой посет с краевыми метками, определяющими добавленную простую корневую позицию

F₄ полиномиальный инвариант

Так же, как O (п) - группа автоморфизмов, сохраняющих квадратичные многочлены Икс² + у² + ... инвариант, F₄ - группа автоморфизмов следующего набора из 3 полиномов от 27 переменных. (Первую можно легко заменить на две другие, составляя 26 переменных).

${\displaystyle C_{1}=x+y+z}$

${\displaystyle C_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2X{\overline {X}}+2Y{\overline {Y}}+2Z{\overline {Z}}}$

${\displaystyle C_{3}=xyz-xX{\overline {X}}-yY{\overline {Y}}-zZ{\overline {Z}}+XYZ+{\overline {XYZ}}}$

Где Икс, у, z действительно ценятся и Икс, Y, Z октонион ценится. Другой способ записать эти инварианты - это как (комбинации) Tr (M), Tr (M²) и Tr (M³) из эрмитский октонион матрица:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x&{\overline {Z}}&Y\\Z&y&{\overline {X}}\\{\overline {Y}}&X&z\end{bmatrix}}}$

Набор многочленов определяет 24-мерную компактную поверхность.

Представления

Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются Формула характера Вейля. Размерности наименьших неприводимых представлений равны (последовательность A121738 в OEIS ):

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (дважды), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119 , 160056 (дважды), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912…

52-мерное представление - это присоединенное представительство, а 26-мерная - бесследная часть действия F₄ на исключительном Алгебра Альберта размерности 27.

Имеются два неизоморфных неприводимых представления размерностей 1053, 160056, 4313088 и т. Д. фундаментальные представления имеют размеры 52, 1274, 273, 26 (соответствуют четырем узлам в Диаграмма Дынкина в таком порядке, чтобы двойная стрелка указывала со второй на третью).

Смотрите также

• Алгебра Альберта
• Самолет Кэли
• Диаграмма Дынкина
• Фундаментальное представление
• Простая группа Ли

Рекомендации

1. Сондерс, Нил (2014). «Минимальные точные степени перестановки для неприводимых групп Кокстера и бинарных полиэдральных групп». arXiv:0812.0182.

• Адамс, Дж. Франк (1996). Лекции об исключительных группах Ли. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-00526-3. МИСТЕР  1428422.
• Джон Баэз, Октонионы, Раздел 4.2: F₄, Бык. Амер. Математика. Soc. 39 (2002), 145-205. Онлайн-версия HTML по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html.
• Chevalley C, Schafer RD (февраль 1950 г.). «Исключительные простые алгебры Ли F (4) и E (6)». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 36 (2): 137–41. Bibcode:1950PNAS ... 36..137C. Дои:10.1073 / pnas.36.2.137. ЧВК  1063148. PMID  16588959.
• Джейкобсон, Натан (1971-06-01). Исключительные алгебры Ли (1-е изд.). CRC Press. ISBN  0-8247-1326-5.