Граница Богомольного – Прасада – Соммерфилда - Bogomolnyi–Prasad–Sommerfield bound

В Граница Богомольного – Прасада – Соммерфилда (названный в честь Евгений Богомольный, М.К. Прасад и Чарльз Соммерфилд )^[1][2] это серия неравенство для решений уравнения в частных производных в зависимости от гомотопический класс решения на бесконечности. Этот набор неравенств очень полезен для решения солитон уравнения. Часто, настаивая на выполнении оценки (называемой «насыщенной»), можно прийти к более простому набору дифференциальных уравнений в частных производных для решения - уравнений Богомольного. Решения, насыщающие границу, называются "BPS государства "и играют важную роль в теории поля и теория струн.

Пример

Основная статья: Теория Гинзбурга – Ландау

В теории U (1) Янга – Миллса – Хиггса, энергия в данный момент времени т дан кем-то

${\displaystyle E=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {D\varphi }}^{T}\cdot {\overrightarrow {D\varphi }}+{\frac {1}{2}}\pi ^{T}\pi +V(\varphi )+{\frac {1}{2g^{2}}}\operatorname {Tr} \left[{\vec {E}}\cdot {\vec {E}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}\right]\right]}$

куда D это ковариантная производная и V это потенциал. Если предположить, что V неотрицательна и равна нулю только для вакуума Хиггса и что поле Хиггса находится в присоединенное представительство, то в силу тождества Янга – Миллса Бьянки

${\displaystyle {\begin{aligned}E&\geq \int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\overrightarrow {D\varphi }}\right]+{\frac {1}{2g^{2}}}\operatorname {Tr} \left[{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}\right]\right]\\&\geq \int d^{3}x\,\operatorname {Tr} \left[{\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {D\varphi }}\mp {\frac {1}{g}}{\vec {B}}\right)^{2}\pm {\frac {1}{g}}{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\vec {B}}\right]\\&\geq \pm {\frac {1}{g}}\int d^{3}x\,\operatorname {Tr} \left[{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\vec {B}}\right]\\&=\pm {\frac {1}{g}}\int _{S^{2}\ \mathrm {boundary} }\operatorname {Tr} \left[\varphi {\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}\right].\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle E\geq \left\|\int _{S^{2}}\operatorname {Tr} \left[\varphi {\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}\right]\right\|.}$

Насыщенность достигается при ${\displaystyle \pi =0}$, и

${\displaystyle {\overrightarrow {D\varphi }}\mp {\frac {1}{g}}{\vec {B}}=0,}$

уравнение Богомольного. Другое условие насыщения состоит в том, что масса Хиггса и самодействие равны нулю, что имеет место в N = 2 суперсимметричных теориях.

Эта величина является абсолютной величиной магнитный поток.

Также существует небольшое обобщение, применимое к дионам. Для этого поле Хиггса должно быть комплексным сопряженным, а не действительным сопряженным.

Суперсимметрия

В суперсимметрии граница BPS является насыщенной, когда половина (или четверть или восьмая) генераторов SUSY не нарушены. Это происходит, когда масса равна центральное расширение, который обычно топологический заряд.^[3]

Фактически, большинство бозонных оценок BPS на самом деле происходит из бозонного сектора суперсимметричной теории, и это объясняет их происхождение.

Рекомендации

1. Богомольный Э. Б. Устойчивость классических решений. Сов. J. Nucl. Phys. 24 (1976), 449; Яд. Физ. 24 (1976), 861.
2. Прасад, М. К .; Соммерфилд, Чарльз М. (22 сентября 1975 г.). «Точное классическое решение для монополя 'т Хофт и Джулия-Зи Дион». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 35 (12): 760–762. Дои:10.1103 / Physrevlett.35.760. ISSN  0031-9007.
3. Вайнберг, Стивен (2000). Квантовая теория полей: Том 3, стр. 53. Cambridge University Press, Кембридж. ISBN  0521660009.