Зеркальная симметрия (теория струн) - Mirror symmetry (string theory)

Для использования в других целях см. Зеркальная симметрия.

В алгебраическая геометрия и теоретическая физика, зеркальная симметрия это отношения между геометрический объекты, называемые Многообразия Калаби – Яу.. Этот термин относится к ситуации, когда два многообразия Калаби – Яу выглядят очень по-разному геометрически, но, тем не менее, эквивалентны при использовании в качестве дополнительные размеры из теория струн.

Ранние случаи зеркальной симметрии были открыты физиками. Математики заинтересовались этой связью примерно в 1990 г., когда Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что его можно использовать в качестве инструмента перечислительная геометрия, раздел математики, связанный с подсчетом количества решений геометрических вопросов. Канделас и его сотрудники показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета рациональные кривые на многообразии Калаби – Яу, тем самым решая давнюю проблему. Хотя первоначальный подход к зеркальной симметрии был основан на физических идеях, которые не понимались математически точно, некоторые из его математических предсказаний с тех пор были строго доказано.

Сегодня зеркальная симметрия является основной темой исследований в чистая математика, а математики работают над математическим пониманием этой взаимосвязи на основе интуиции физиков. Зеркальная симметрия также является фундаментальным инструментом для проведения расчетов в теории струн, и она использовалась для понимания аспектов квантовая теория поля, формализм, который физики используют для описания элементарные частицы. Основные подходы к зеркальной симметрии включают гомологическая зеркальная симметрия программа Максим Концевич и Гипотеза SYZ из Эндрю Строминджер, Шинг-Тунг Яу, и Эрик Заслоу.

Обзор

Струны и компактификация

Основные статьи: Теория струн и Компактификация (физика)

Фундаментальные объекты теории струн бывают открытыми и закрытыми. струны.

В физике теория струн это Теоретическая основа в которой точечные частицы из физика элементарных частиц заменяются одномерными объектами, называемыми струны. Эти струны выглядят как небольшие отрезки или петли обычной струны. Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На шкале расстояний больше, чем шкала струны, струна будет выглядеть как обычная частица с ее масса, плата, и другие свойства, определяемые колебательным состоянием струны. Расщепление и рекомбинация струн соответствуют испусканию и поглощению частиц, что приводит к взаимодействию между частицами.^[1]

Есть заметные различия между миром, описываемым теорией струн, и повседневным миром. В повседневной жизни есть три знакомых измерения пространства (вверх / вниз, влево / вправо и вперед / назад), и есть одно измерение времени (позже / раньше). Таким образом, на языке современной физики говорят, что пространство-время четырехмерный.^[2] Одна из особенностей теории струн состоит в том, что она требует дополнительные размеры пространства-времени за его математическую непротиворечивость. В теория суперструн, версия теории, которая включает теоретическую идею, названную суперсимметрия, есть шесть дополнительных измерений пространства-времени в дополнение к четырем, знакомым из повседневного опыта.^[3]

Одна из целей текущих исследований в области теории струн - разработать модели, в которых струны представляют частицы, наблюдаемые в экспериментах по физике высоких энергий. Чтобы такая модель согласовывалась с наблюдениями, ее пространство-время должно быть четырехмерным на соответствующих масштабах расстояний, поэтому нужно искать способы ограничить дополнительные измерения меньшими масштабами. В большинстве реалистичных моделей физики, основанных на теории струн, это достигается с помощью процесса, называемого компактификация, в котором предполагается, что дополнительные измерения «замыкаются», образуя круги.^[4] В пределе, когда эти свернутые вверх размерности становятся очень маленькими, получается теория, в которой пространство-время фактически имеет меньшее количество измерений. Стандартная аналогия для этого - рассмотреть многомерный объект, такой как садовый шланг. Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение - длину. Однако по мере приближения к шлангу обнаруживается, что он содержит второе измерение, его окружность. Таким образом, муравей, ползающий по поверхности шланга, будет двигаться в двух измерениях.^[5]

Многообразия Калаби – Яу.

Основная статья: Многообразие Калаби – Яу

Поперечный разрез квинтики Многообразие Калаби – Яу

Компактификацию можно использовать для построения моделей, в которых пространство-время эффективно четырехмерно. Однако не каждый способ уплотнения дополнительных измерений дает модель с правильными свойствами для описания природы. В жизнеспособной модели физики элементарных частиц компактные дополнительные измерения должны иметь форму Многообразие Калаби – Яу.^[4] Многообразие Калаби – Яу является специальным Космос которая обычно считается шестимерной в приложениях к теории струн. Назван в честь математиков. Эухенио Калаби и Шинг-Тунг Яу.^[6]

После того, как многообразия Калаби-Яу вошли в физику как способ компактификации дополнительных измерений, многие физики начали изучать эти многообразия. В конце 1980-х гг. Лэнс Диксон, Вольфганг Лерхе, Джумрун Вафа, и Ник Уорнер заметил, что при такой компактификации теории струн невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби – Яу.^[7] Вместо этого две разные версии теории струн назвали теория струн типа IIA и тип IIB могут быть компактифицированы на совершенно разных многообразиях Калаби – Яу, порождающих одну и ту же физику.^[8] В этой ситуации многообразия называются зеркальными, а взаимосвязь между двумя физическими теориями называется зеркальной симметрией.^[9]

Отношение зеркальной симметрии - частный пример того, что физики называют физическая двойственность. В общем, термин физическая двойственность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические теории оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если одну теорию можно преобразовать так, чтобы она выглядела так же, как другая теория, эти две теории считаются двойственными при этом преобразовании. Иными словами, две теории математически представляют собой разные описания одних и тех же явлений.^[10] Такие двойственности играют важную роль в современной физике, особенно в теории струн.^[11]

Независимо от того, обеспечивают ли компактификации Калаби – Яу теории струн правильное описание природы, существование зеркальной дуальности между различными теориями струн имеет важные математические последствия.^[12] Многообразия Калаби – Яу, используемые в теории струн, представляют интерес с точки зрения чистая математика, а зеркальная симметрия позволяет математикам решать задачи в перечислительная алгебраическая геометрия, раздел математики, связанный с подсчетом числа решений геометрических вопросов. Классическая проблема перечислительной геометрии - перечислить рациональные кривые на многообразии Калаби – Яу, подобном изображенному выше. Применяя зеркальную симметрию, математики превратили эту проблему в эквивалентную задачу для зеркала Калаби – Яу, которую оказалось легче решить.^[13]

В физике зеркальная симметрия оправдана по физическим причинам.^[14] Однако математики обычно требуют строгие доказательства которые не требуют обращения к физической интуиции. С математической точки зрения версия зеркальной симметрии, описанная выше, все еще является лишь предположением, но есть еще одна версия зеркальной симметрии в контексте топологическая теория струн, упрощенная версия теории струн, представленная Эдвард Виттен,^[15] что было строго доказано математиками.^[16] В контексте топологической теории струн зеркальная симметрия утверждает, что две теории, называемые Модель и B-модель эквивалентны в том смысле, что между ними существует двойственность.^[17] Сегодня зеркальная симметрия является активной областью математических исследований, и математики работают над более полным математическим пониманием зеркальной симметрии, основанным на интуиции физиков.^[18]

История

Идея зеркальной симметрии восходит к середине 1980-х годов, когда было замечено, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса ${\displaystyle R}$ физически эквивалентен струне, распространяющейся по окружности радиуса ${\displaystyle 1/R}$ в соответствующем единицы.^[19] Это явление теперь известно как Т-дуальность и считается, что он тесно связан с зеркальной симметрией.^[20] В статье 1985 г. Филип Канделас, Гэри Горовиц, Эндрю Строминджер, а Эдвард Виттен показал, что, компактифицируя теорию струн на многообразии Калаби – Яу, можно получить теорию, примерно аналогичную теории стандартная модель физики элементарных частиц это также последовательно включает идею, называемую суперсимметрией.^[21] Вслед за этим многие физики начали изучать компактификации Калаби – Яу, надеясь построить реалистичные модели физики элементарных частиц на основе теории струн. Кумрун Вафа и другие заметили, что при такой физической модели невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби – Яу. Вместо этого есть два многообразия Калаби – Яу, которые порождают одну и ту же физику.^[22]

Изучая связь между многообразиями Калаби – Яу и некоторыми конформные теории поля под названием модели Gepner, Брайан Грин и Ронен Плессер нашли нетривиальные примеры зеркальных отношений.^[23] Дальнейшие доказательства этой взаимосвязи были получены в работах Филипа Канделаса, Моники Линкер и Рольфа Шиммригка, которые обследовали большое количество многообразий Калаби – Яу с помощью компьютера и обнаружили, что они образуются в виде зеркальных пар.^[24]

Математики заинтересовались зеркальной симметрией примерно в 1990 году, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для решения задач перечислительной геометрии.^[25] которые сопротивлялись решению в течение десятилетий или больше.^[26] Эти результаты были представлены математикам на конференции в Институт математических наук (ИИГС) в Беркли, Калифорния в мае 1991 года. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел, вычисленных Канделасом для подсчета рациональных кривых, не согласуется с числом, полученным Норвежский математики Гейр Эллингсруд и Stein Arild Strømme, использующие якобы более строгие методы.^[27] Многие математики на конференции предположили, что работа Канделаса содержит ошибку, поскольку она не основана на строгих математических аргументах. Однако, изучив свое решение, Эллингсруд и Стрёмме обнаружили ошибку в своем компьютерном коде и, исправив код, получили ответ, совпадающий с ответом, полученным Канделасом и его сотрудниками.^[28]

В 1990 году Эдвард Виттен представил топологическую теорию струн,^[15] это упрощенная версия теории струн, и физики показали, что существует версия зеркальной симметрии для топологической теории струн.^[29] Это утверждение о топологической теории струн обычно принимается в математической литературе как определение зеркальной симметрии.^[30] В адресе Международный конгресс математиков в 1994 году математик Максим Концевич представил новую математическую гипотезу, основанную на физической идее зеркальной симметрии в топологической теории струн. Известный как гомологическая зеркальная симметрия, эта гипотеза формализует зеркальную симметрию как эквивалентность двух математических структур: производная категория из когерентные пучки на многообразии Калаби – Яу и Категория Фукая своего зеркала.^[31]

Примерно также в 1995 г. Концевич проанализировал результаты Канделаса, который дал общую формулу задачи о подсчете рациональных кривых на квинтик тройной, и он переформулировал эти результаты как точную математическую гипотезу.^[32] В 1996 г. Александр Гивенталь разместил статью, в которой утверждалось, что эта гипотеза Концевича доказана.^[33] Изначально многим математикам было трудно понять эту статью, поэтому возникли сомнения в ее правильности. Впоследствии Бонг Лянь, Кефенг Лю, а Шинг-Тунг Яу опубликовал независимое доказательство в серии статей.^[34] Несмотря на разногласия по поводу того, кто опубликовал первое доказательство, теперь все эти статьи рассматриваются как математическое доказательство результатов, первоначально полученных физиками с использованием зеркальной симметрии.^[35] В 2000 году Кентаро Хори и Кумрун Вафа дали еще одно физическое доказательство зеркальной симметрии, основанное на T-дуальности.^[14]

Работа над зеркальной симметрией продолжается и сегодня, в связи с большими разработками струнных инструментов. поверхности с границами.^[18] Кроме того, зеркальная симметрия была связана со многими активными областями математических исследований, такими как Переписка Маккея, топологическая квантовая теория поля, и теория условия устойчивости.^[36] В то же время продолжают вызывать беспокойство основные вопросы. Например, математикам до сих пор не хватает понимания того, как построить примеры зеркальных пар Калаби – Яу, хотя в понимании этого вопроса был достигнут прогресс.^[37]

Приложения

Перечислительная геометрия

Основная статья: Перечислительная геометрия

Круги Аполлония: Восемь цветных кругов касаются трех черных кругов.

Многие важные математические приложения зеркальной симметрии относятся к разделу математики, называемому перечислительной геометрией. В перечислительной геометрии каждый заинтересован в подсчете количества решений геометрических вопросов, обычно с использованием техники алгебраическая геометрия. Одна из первых задач перечислительной геометрии была поставлена ​​около 200 г. До н.э. древнегреческим математиком Аполлоний, который спросил, сколько кругов на плоскости касается трех заданных окружностей. В общем, решение проблемы проблема Аполлония состоит в том, что таких кругов восемь.^[38]

В Клебша кубический

Задачи перечисления в математике часто касаются класса геометрических объектов, называемых алгебраические многообразия которые определяются обращением в нуль многочлены. Например, Клебша кубический (см. иллюстрацию) определяется с помощью некоторого полинома от степень три из четырех переменных. Знаменитый результат математиков девятнадцатого века Артур Кейли и Джордж Сэлмон утверждает, что существует ровно 27 прямых линий, целиком лежащих на такой поверхности.^[39]

Обобщая эту проблему, можно спросить, сколько линий можно нарисовать на пятом многообразии Калаби – Яу, таком как показанное выше, которое определяется полиномом пятой степени. Эта проблема была решена немецким математиком XIX века. Герман Шуберт, который обнаружил, что таких строк ровно 2875. В 1986 году геометр Шелдон Кац доказал, что количество кривых, таких как окружности, которые определяются полиномами второй степени и целиком лежат в квинтике, составляет 609 250.^[38]

К 1991 году большинство классических задач перечислительной геометрии было решено, и интерес к перечислительной геометрии начал уменьшаться. По словам математика Марка Гросса, «когда старые проблемы были решены, люди вернулись, чтобы проверить числа Шуберта с помощью современных методов, но это уже устарело».^[40] Эта область была активизирована в мае 1991 года, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета числа кривых третьей степени на пятой степени Калаби-Яу. Канделас и его сотрудники обнаружили, что эти шестимерные многообразия Калаби – Яу могут содержать ровно 317 206 375 кривых третьей степени.^[40]

В дополнение к подсчету кривых третьей степени на тройной квинтике, Канделас и его сотрудники получили ряд более общих результатов для подсчета рациональных кривых, которые выходят далеко за рамки результатов, полученных математиками.^[41] Хотя методы, использованные в этой работе, были основаны на физической интуиции, математики пошли дальше. строго доказать некоторые предсказания зеркальной симметрии. В частности, числовые предсказания зеркальной симметрии теперь строго доказаны.^[35]

Теоретическая физика

Помимо приложений в перечислительной геометрии, зеркальная симметрия является фундаментальным инструментом для проведения вычислений в теории струн. В A-модели топологической теории струн физически интересные величины выражаются через бесконечное число чисел, называемых Инварианты Громова – Виттена., которые чрезвычайно сложно вычислить. В B-модели расчеты сводятся к классическим интегралы и намного проще.^[42] Применяя зеркальную симметрию, теоретики могут перевести сложные вычисления в A-модели в эквивалентные, но технически более простые вычисления в B-модели. Эти вычисления затем используются для определения вероятностей различных физических процессов в теории струн. Зеркальную симметрию можно комбинировать с другими двойственностями, чтобы преобразовать вычисления в одной теории в эквивалентные вычисления в другой теории. Путем аутсорсинга вычислений по различным теориям теоретики могут вычислять количества, которые невозможно вычислить без использования двойственности.^[43]

Вне теории струн зеркальная симметрия используется для понимания аспектов квантовая теория поля, формализм, который физики используют для описания элементарные частицы. Например, калибровочные теории представляют собой класс высокосимметричных физических теорий, появляющихся в стандартной модели физики элементарных частиц и других разделах теоретической физики. Некоторые калибровочные теории, которые не являются частью стандартной модели, но, тем не менее, важны по теоретическим причинам, возникают из-за распространения струн на почти сингулярном фоне. Для таких теорий зеркальная симметрия является полезным вычислительным инструментом.^[44] В самом деле, зеркальная симметрия может использоваться для выполнения вычислений в важной калибровочной теории в четырех измерениях пространства-времени, которая была изучена Натан Зайберг и Эдвард Виттен, а также знаком с математикой в ​​контексте Инварианты Дональдсона.^[45] Существует также обобщение зеркальной симметрии, называемое 3D зеркальная симметрия который связывает пары квантовых теорий поля в трех измерениях пространства-времени.^[46]

Подходы

Гомологическая зеркальная симметрия

Основная статья: Гомологическая зеркальная симметрия

Открытые струны прикреплены к паре D-браны

В теории струн и связанных с ней теориях физики брана физический объект, который обобщает понятие точечной частицы на более высокие измерения. Например, точечная частица может рассматриваться как брана нулевого измерения, а струна может рассматриваться как брана размерности один. Также можно рассматривать браны более высокой размерности. Слово «брана» происходит от слова «мембрана», которое относится к двумерной бране.^[47]

В теории струн струна может быть открытой (образуя сегмент с двумя концами) или замкнутой (образуя замкнутый контур). D-браны являются важным классом бран, возникающих при рассмотрении открытых струн. Поскольку открытая струна распространяется в пространстве-времени, ее конечные точки должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к условию, которому она удовлетворяет, Граничное условие Дирихле.^[48]

Математически браны можно описать с помощью понятия категория.^[49] Это математическая структура, состоящая из объекты, а для любой пары объектов набор морфизмы между ними. В большинстве примеров объекты представляют собой математические структуры (например, наборы, векторные пространства, или топологические пространства ) и морфизмы функции между этими структурами.^[50] Можно также рассмотреть категории, в которых объекты являются D-бранами, а морфизмы между двумя бранами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ находятся состояния открытых струн, натянутых между ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$.^[51]

В B-модели топологической теории струн D-браны комплексные подмногообразия Калаби-Яу вместе с дополнительными данными, которые физически возникают из-за наличия зарядов на концах цепочек.^[51] Интуитивно можно представить себе подмногообразие как поверхность, вложенную внутрь Калаби – Яу, хотя подмногообразия также могут существовать в размерностях, отличных от двух.^[26] На математическом языке категория, имеющая эти браны в качестве объектов, известна как производная категория когерентных пучков на Калаби – Яу.^[52] В A-модели D-браны снова можно рассматривать как подмногообразия многообразия Калаби – Яу. Грубо говоря, это то, что математики называют специальные лагранжевы подмногообразия.^[52] Это означает, среди прочего, что они имеют половину размера пространства, в котором они сидят, и минимизируют длину, площадь или объем.^[53] Категория, объектами которой являются эти браны, называется категорией Фукая.^[52]

Производная категория когерентных пучков строится с использованием инструментов из сложная геометрия, раздел математики, который описывает геометрические кривые в алгебраических терминах и решает геометрические задачи, используя алгебраические уравнения.^[54] С другой стороны, категория Фукая строится с использованием симплектическая геометрия, раздел математики, возникший в результате изучения классическая физика. Симплектическая геометрия изучает пространства, оснащенные симплектическая форма, математический инструмент, который можно использовать для вычисления площадь в двумерных примерах.^[17]

Гипотеза о гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича утверждает, что производная категория когерентных пучков на одном многообразии Калаби – Яу в определенном смысле эквивалентна категории Фукая его зеркала.^[55] Эта эквивалентность обеспечивает точную математическую формулировку зеркальной симметрии в топологической теории струн. Кроме того, он обеспечивает неожиданный мост между двумя ветвями геометрии, а именно сложной и симплектической геометрией.^[56]

Гипотеза Строминджера – Яу – Заслоу

Основная статья: Гипотеза SYZ

А тор можно рассматривать как союз бесконечно много кругов, таких как красный на картинке. На каждую точку розового круга приходится по одному кругу.

Другой подход к пониманию зеркальной симметрии был предложен Эндрю Строминджером, Шинг-Тунг Яу и Эрик Заслоу в 1996 г.^[20] Согласно их гипотезе, теперь известной как гипотеза SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив многообразие Калаби – Яу на более простые части, а затем преобразовав их, чтобы получить зеркальное отображение Калаби – Яу.^[57]

Простейшим примером многообразия Калаби – Яу является двумерное тор или в форме пончика.^[58] Представьте себе круг на этой поверхности, который проходит через отверстие пончика. Примером может служить красный кружок на рисунке. Таких кругов на торе бесконечно много; фактически вся поверхность представляет собой союз таких кружков.^[59]

Можно выбрать вспомогательный круг ${\displaystyle B}$ (розовый кружок на рисунке) такая, что каждая из бесконечного числа окружностей, разлагающих тор, проходит через точку ${\displaystyle B}$. Этот вспомогательный круг называется параметризовать окружности разложения, то есть существует соответствие между ними и точками ${\displaystyle B}$. Круг ${\displaystyle B}$ это больше, чем просто список, потому что он также определяет, как эти круги расположены на торе. Это вспомогательное пространство играет важную роль в гипотезе SYZ.^[53]

Идею разбиения тора на части, параметризованные вспомогательным пространством, можно обобщить. Увеличивая размерность с двух до четырех реальных измерений, Калаби – Яу становится K3 поверхность. Так же, как тор был разложен на окружности, четырехмерная поверхность K3 может быть разложена на двумерные торы. В этом случае пространство ${\displaystyle B}$ это обычный сфера. Каждая точка на сфере соответствует одному из двумерных торов, за исключением двадцати четырех «плохих» точек, соответствующих «защемлению» или единственное число тори.^[53]

Многообразия Калаби – Яу, представляющие наибольший интерес для теории струн, имеют шесть измерений. Такое многообразие можно разделить на 3-торы (трехмерные объекты, обобщающие понятие тора), параметризованные 3-сфера ${\displaystyle B}$ (трехмерное обобщение сферы). Каждая точка ${\displaystyle B}$ соответствует 3-тору, за исключением бесконечного множества «плохих» точек, которые образуют сетку из отрезков на Калаби – Яу и соответствуют сингулярным торам.^[60]

После того, как многообразие Калаби – Яу было разложено на более простые части, зеркальную симметрию можно понять интуитивно геометрическим способом. В качестве примера рассмотрим описанный выше тор. Представьте, что этот тор представляет собой «пространство-время» для физическая теория. Фундаментальными объектами этой теории будут струны, распространяющиеся в пространстве-времени по правилам квантовая механика. Одной из основных двойственностей теории струн является Т-дуальность, которая утверждает, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса ${\displaystyle R}$ эквивалентно струне, распространяющейся по кругу радиуса ${\displaystyle 1/R}$ в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойном описании.^[61] Например, строка имеет импульс поскольку он распространяется по кругу, а также может обернуться вокруг него один или несколько раз. Количество витков струны по кругу называется номер намотки. Если строка имеет импульс ${\displaystyle p}$ и номер намотки ${\displaystyle n}$ в одном описании он будет иметь импульс ${\displaystyle n}$ и номер намотки ${\displaystyle p}$ в двойном описании.^[61] Применяя Т-дуальность одновременно ко всем окружностям, которые разлагают тор, радиусы этих окружностей становятся инвертированными, и остается новый тор, который «толще» или «тоньше», чем исходный. Этот тор является зеркалом оригинального Калаби – Яу.^[62]

T-дуальность может быть расширена с окружностей на двумерные торы, возникающие при разложении поверхности K3, или на трехмерные торы, возникающие при разложении шестимерного многообразия Калаби – Яу. В общем, гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению T-двойственности к этим торам. В каждом случае пространство ${\displaystyle B}$ представляет собой своего рода схему, описывающую, как эти торы собираются в многообразие Калаби – Яу.^[63]

Смотрите также

• Теория Дональдсона – Томаса
• Переход через стену

Заметки

1. Доступное введение в теорию струн см. В Greene 2000.
2. Wald 1984, стр. 4
3. Цвибах 2009, стр. 8
4. Яу и Надис 2010, гл. 6
5. Эта аналогия используется, например, в Greene 2000, p. 186
6. Яу и Надис 2010, стр. ix
7. Dixon 1988; Лерче, Вафа и Уорнер, 1989 г.
8. Форма многообразия Калаби – Яу описывается математически с помощью массива чисел, называемого Числа Ходжа. Массивы, соответствующие зеркальным многообразиям Калаби – Яу, в общем случае различаются, отражая разные формы многообразий, но они связаны определенной симметрией. Для получения дополнительной информации см. Yau and Nadis 2010, p. 160–3.
9. Aspinwall et al. 2009, стр. 13
10. Hori et al. 2003, стр. xvi
11. Другие двойственности, возникающие в теории струн: S-дуальность, Т-дуальность, а AdS / CFT корреспонденция.
12. Заслов 2008, с. 523
13. Яу и Надис 2010, стр. 168
14. Хори и Вафа 2000
15. Виттен 1990
16. Гивенталь 1996, 1998; Лиан, Лю, Яу 1997, 1999, 2000
17. Заслов 2008, с. 531
18. Hori et al. 2003, стр. xix
19. Впервые это наблюдалось у Киккавы и Ямасаки 1984 и Сакаи и Сенда 1986.
20. Строминджер, Яу и Заслоу, 1996 г.
21. Candelas et al. 1985 г.
22. Это наблюдалось у Диксона в 1988 г. и у Лерша, Вафа и Уорнера в 1989 г.
23. Грин и Плессер 1990; Яу и Надис 2010, стр. 158
24. Канделас, Линкер и Шиммригк, 1990; Яу и Надис 2010, стр. 163
25. Candelas et al. 1991 г.
26. Яу и Надис 2010, стр. 165
27. Яу и Надис, 2010, стр. 169–170.
28. Яу и Надис 2010, стр. 170
29. Вафа 1992; Виттен 1992
30. Hori et al. 2003, стр. xviii
31. Концевич 1995а
32. Концевич 1995б
33. Гивенталь 1996, 1998
34. Лиан, Лю, Яу 1997, 1999a, 1999b, 2000
35. Яу и Надис 2010, стр. 172
36. Aspinwall et al. 2009, стр. vii
37. Заслов 2008, с. 537
38. Яу и Надис 2010, стр. 166
39. Яу и Надис 2010, стр. 167
40. Яу и Надис 2010, стр. 169
41. Яу и Надис 2010, стр. 171
42. Заслоу 2008, стр. 533–4
43. Заслов 2008, сек. 10
44. Hori et al. 2003, стр. 677
45. Hori et al. 2003, стр. 679
46. Intriligator и Seiberg 1996 г.
47. Мур 2005, стр. 214
48. Мур 2005, стр. 215
49. Aspinwall et al. 2009 г.
50. Базовый справочник по теории категорий - Mac Lane 1998.
51. Заслов 2008, с. 536
52. Aspinwal et al. 2009, стр. 575
53. Яу и Надис 2010, стр. 175
54. Яу и Надис, 2010, стр. 180–1.
55. Aspinwall et al. 2009, стр. 616
56. Яу и Надис 2010, стр. 181
57. Яу и Надис 2010, стр. 174
58. Заслов 2008, с. 533
59. Яу и Надис 2010, стр. 175–6
60. Яу и Надис 2010, стр. 175–7.
61. Заслов 2008, с. 532
62. Яу и Надис 2010, стр. 178
63. Яу и Надис 2010, стр. 178–9

использованная литература

• Аспинуолл, Пол; Бриджеланд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Валовой, Марк; Капустин, Антон; Мур, Грегори; Сегал, Грэм; Сендрой, Балаж; Уилсон, P.M.H., ред. (2009). Дирихле Бран и зеркальная симметрия. Монографии по математике из глины. 4. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3848-8.
• Канделас, Филипп; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Паркс, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби – Яу как точно решаемая суперконформная теория поля». Ядерная физика B. 359 (1): 21–74. Bibcode:1991НуФБ.359 ... 21С. Дои:10.1016/0550-3213(91)90292-6.
• Канделас, Филипп; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика B. 258: 46–74. Bibcode:1985НуФБ.258 ... 46С. Дои:10.1016/0550-3213(85)90602-9.
• Канделас, Филипп; Линкер, Моника; Шиммригк, Рольф (1990). "Многообразия Калаби – Яу в взвешенных ${\displaystyle \mathbb {P} _{4}}$". Ядерная физика B. 341 (1): 383–402. Bibcode:1990НуФБ.341..383С. Дои:10.1016 / 0550-3213 (90) 90185-Г.
• Диксон, Лэнс (1988). «Некоторые мировые свойства компактификаций суперструн на орбифолдах и т. Д.». ICTP Ser. Теорет. Phys. 4: 67–126. ISBN  978-9971-5-0452-6.
• Гивенталь, Александр (1996). «Эквивариантные инварианты Громова-Виттена». Уведомления о международных математических исследованиях. 1996 (13): 613–663. Дои:10.1155 / S1073792896000414.
• Гивенталь, Александр (1998). «Зеркальная теорема для торических полных пересечений». Топологическая теория поля, примитивные формы и смежные темы: 141–175. arXiv:alg-geom / 9701016. Дои:10.1007/978-1-4612-0705-4_5. ISBN  978-1-4612-6874-1.
• Грин, Брайан (2000). Элегантная вселенная: суперструны, скрытые измерения и поиски окончательной теории. Случайный дом. ISBN  978-0-9650888-0-0.
• Грин, Брайан; Плессер, Ронен (1990). «Двойственность в пространстве модулей Калаби – Яу». Ядерная физика B. 338 (1): 15–37. Bibcode:1990НуФБ.338 ... 15Г. Дои:10.1016 / 0550-3213 (90) 90622-К.
• Хори, Кентаро; Кац, Шелдон; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул; Томас, Ричард; Вафа, Джумрун; Вакил, Рави; Заслоу, Эрик, ред. (2003). Зеркальная симметрия (PDF). Монографии по математике из глины. 1. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2955-6. Архивировано 19 сентября 2006 года.
• Хори, Кентаро; Вафа, Джумран (2000). «Зеркальная симметрия». arXiv:hep-th / 0002222.
• Intriligator, Кеннет; Зайберг, Натан (1996). «Зеркальная симметрия в трехмерных калибровочных теориях». Письма по физике B. 387 (3): 513–519. arXiv:hep-th / 9607207. Bibcode:1996ФЛБ..387..513И. Дои:10.1016 / 0370-2693 (96) 01088-X.
• Киккава, Кейджи; Ямасаки, Масами (1984). «Эффекты Казимира в теориях суперструн». Письма по физике B. 149 (4): 357–360. Bibcode:1984ФЛБ..149..357К. Дои:10.1016/0370-2693(84)90423-4.
• Концевич, Максим (1995a), "Перечисление рациональных кривых с помощью действий тора", Пространство модулей кривых, Биркхойзер, стр. 335, arXiv:hep-th / 9405035, Дои:10.1007/978-1-4612-4264-2_12, ISBN  978-1-4612-8714-8
• Концевич, Максим (1995b). «Гомологическая алгебра зеркальной симметрии». Материалы Международного конгресса математиков.: 120–139. arXiv:alg-geom / 9411018. Bibcode:1994alg.geom.11018K.
• Лерче, Вольфганг; Вафа, Джумрун; Уорнер, Николас (1989). "Хиральные кольца в ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ суперконформные теории » (PDF). Ядерная физика B. 324 (2): 427–474. Bibcode:1989НуФБ.324..427Л. Дои:10.1016/0550-3213(89)90474-4.
• Лиан, Бонг; Лю, Кефэн; Яу, Шинг-Тунг (1997). «Зеркальный принцип, я». Азиатский математический журнал. 1 (4): 729–763. arXiv:alg-geom / 9712011. Bibcode:1997alg.geom.12011L. Дои:10.4310 / ajm.1997.v1.n4.a5.
• Лиан, Бонг; Лю, Кефэн; Яу, Шинг-Тунг (1999a). «Зеркальный принцип, II». Азиатский математический журнал. 3: 109–146. arXiv:математика / 9905006. Bibcode:1999математика ...... 5006Л. Дои:10.4310 / ajm.1999.v3.n1.a6.
• Лиан, Бонг; Лю, Кефэн; Яу, Шинг-Тунг (1999b). «Зеркальный принцип, III». Азиатский математический журнал. 3 (4): 771–800. arXiv:математика / 9912038. Bibcode:1999математика ..... 12038Л. Дои:10.4310 / ajm.1999.v3.n4.a4.
• Лиан, Бонг; Лю, Кефэн; Яу, Шинг-Тунг (2000). «Зеркальный принцип, IV». Обзоры в дифференциальной геометрии. 7: 475–496. arXiv:математика / 0007104. Bibcode:2000математика ...... 7104L. Дои:10.4310 / sdg.2002.v7.n1.a15.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. ISBN  978-0-387-98403-2.
• Мур, Грегори (2005). "Что такое ... Брана?" (PDF). Уведомления AMS. 52: 214. Получено 6 августа 2016.
• Сакаи, Норисуке; Сенда, Икуо (1986). «Вакуумные энергии струны, компактифицированной на торе». Успехи теоретической физики. 75 (3): 692–705. Bibcode:1986PThPh..75..692S. Дои:10.1143 / PTP.75.692.
• Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996). «Зеркальная симметрия - это Т-двойственность». Ядерная физика B. 479 (1): 243–259. arXiv:hep-th / 9606040. Bibcode:1996НуФБ.479..243С. Дои:10.1016/0550-3213(96)00434-8.
• Вафа, Джумрун (1992). «Топологические зеркала и квантовые кольца». Очерки зеркальных многообразий: 96–119. arXiv:hep-th / 9111017. Bibcode:1991hep.th ... 11017V. ISBN  978-962-7670-01-8.
• Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-87033-5.
• Виттен, Эдвард (1990). «О структуре топологической фазы двумерной гравитации». Ядерная физика B. 340 (2–3): 281–332. Bibcode:1990НуФБ.340..281Вт. Дои:10.1016 / 0550-3213 (90) 90449-Н.
• Виттен, Эдвард (1992). «Зеркальные многообразия и топологическая теория поля». Очерки зеркальных многообразий: 121–160. ISBN  978-962-7670-01-8.
• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной. Основные книги. ISBN  978-0-465-02023-2.
• Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский компаньон математики. ISBN  978-0-691-11880-2.
• Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88032-9.

дальнейшее чтение

Популяризации

• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной. Основные книги. ISBN  978-0-465-02023-2.
• Заслоу, Эрик (2005). «Физматика». arXiv:физика / 0506153.
• Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский компаньон математики. ISBN  978-0-691-11880-2.

Учебники

• Аспинуолл, Пол; Бриджеланд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Валовой, Марк; Капустин, Антон; Мур, Грегори; Сегал, Грэм; Сендрой, Балаж; Уилсон, P.M.H., ред. (2009). Дирихле Бран и зеркальная симметрия. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3848-8.
• Кокс, Дэвид; Кац, Шелдон (1999). Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2127-5.
• Хори, Кентаро; Кац, Шелдон; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул; Томас, Ричард; Вафа, Джумрун; Вакил, Рави; Заслоу, Эрик, ред. (2003). Зеркальная симметрия (PDF). Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2955-6. Архивировано 19 сентября 2006 года.