Суперпространство - Superspace

Суперпространство является координатным пространством теории, показывающей суперсимметрия. В такой постановке наряду с обычными космическими габаритами Икс, у, z, ..., существуют также "антикоммутирующие" измерения, координаты которых обозначены Числа Грассмана а не реальные числа. Обычные размеры пространства соответствуют бозонный степеней свободы, антикоммутирующие измерения к фермионный степени свободы.

Слово «суперпространство» впервые было использовано Джон Уиллер в несвязанном смысле, чтобы описать конфигурационное пространство из общая теория относительности; например, это употребление можно увидеть в его учебнике 1973 г. Гравитация.

Неформальное обсуждение

Есть несколько похожих, но не эквивалентных определений суперпространства, которые использовались и продолжают использоваться в математической и физической литературе. Одно из таких употреблений - как синоним слова супер пространство Минковского.^[1] В этом случае берется обычный Пространство Минковского, и расширяет его с помощью антикоммутирующих фермионных степеней свободы, которые считаются антикоммутирующими. Спиноры Вейля от Алгебра Клиффорда связаны с Группа Лоренца. Эквивалентно суперпространство Минковского можно понимать как фактор супер алгебра Пуанкаре по модулю алгебры группы Лоренца. Типичное обозначение координат на таком пространстве: ${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ причем верхняя черта является признаком того, что пространство супер Минковски является предполагаемым пространством.

Суперпространство также часто используется как синоним супер векторное пространство. Это считается обычным векторное пространство вместе с дополнительными координатами, взятыми из Алгебра грассмана, т.е. координатные направления, которые Числа Грассмана. Существует несколько соглашений по построению используемого супервекторного пространства; два из них описаны Роджерсом^[2] и ДеВитт.^[3]

Третий вариант использования термина «суперпространство» - это синоним супермногообразие: суперсимметричное обобщение многообразие. Обратите внимание, что как супер-пространства Минковского, так и супер-векторные пространства можно рассматривать как частные случаи супермногообразий.

Четвертое и совершенно не связанное с этим значение кратко использовалось в общая теория относительности; это обсуждается более подробно внизу.

Примеры

Ниже приведены несколько примеров. Первые несколько предполагают определение суперпространства как супер векторное пространство. Это обозначается как р^м|п, то Z₂-градуированное векторное пространство с р^м как четное подпространство и р^п как нечетное подпространство. То же определение применяется к C^{м | п}.

В четырехмерных примерах суперпространство считается супер пространство Минковского. Хотя оно похоже на векторное пространство, оно имеет много важных отличий. Прежде всего, это аффинное пространство, не имеющий специальной точки, обозначающей начало координат. Далее фермионные координаты считаются антикоммутирующими. Спиноры Вейля от Алгебра Клиффорда, а не быть Числа Грассмана. Разница здесь в том, что алгебра Клиффорда имеет значительно более богатую и тонкую структуру, чем числа Грассмана. Итак, числа Грассмана являются элементами внешняя алгебра, а алгебра Клиффорда имеет изоморфизм внешней алгебре, но ее связь с ортогональная группа и вращательная группа, используется для построения спиновые представления, придайте ему глубокое геометрическое значение. (Например, спиновые группы составляют нормальную часть изучения Риманова геометрия,^[4] совершенно за пределами обычных границ и интересов физики.)

Тривиальные примеры

Наименьшее суперпространство - это точка, не содержащая ни бозонных, ни фермионных направлений. Другие тривиальные примеры включают п-мерный реальный самолет р^п, который является векторное пространство расширение в п действительные, бозонные направления и отсутствие фермионных направлений. Векторное пространство р^{0 | п}, какой п-размерный реальный Алгебра грассмана. Космос р^1|1 одного четного и одного нечетного направления известно как пространство двойные числа, представлен Уильям Клиффорд в 1873 г.

Суперпространство суперсимметричной квантовой механики

Суперсимметричная квантовая механика с N наддув часто формулируется в суперпространстве р^1|2N, который содержит одно реальное направление т отождествляется с время и N сложный Направления Грассмана которые натянуты на Θ_я и Θ^*_я, куда я работает от 1 до N.

Рассмотрим частный случай N = 1. Суперпространство р^1|2 представляет собой трехмерное векторное пространство. Следовательно, данная координата может быть записана как тройка (т, Θ, Θ^*). Координаты образуют Супералгебра Ли, в котором степень градации т четное, а у и Θ^* странно. Это означает, что скобка может быть определена между любыми двумя элементами этого векторного пространства, и что эта скобка сводится к коммутатор по двум четным координатам и по одной четной и одной нечетной координате, пока это антикоммутатор по двум нечетным координатам. Это суперпространство является абелевой супералгеброй Ли, что означает, что все вышеупомянутые скобки обращаются в нуль.

${\displaystyle \left[t,t\right]=\left[t,\theta \right]=\left[t,\theta ^{*}\right]=\left\{\theta ,\theta \right\}=\left\{\theta ,\theta ^{*}\right\}=\left\{\theta ^{*},\theta ^{*}\right\}=0}$

куда ${\displaystyle [a,b]}$ является коммутатором а и б и ${\displaystyle \{a,b\}}$ является антикоммутатором а и б.

Можно определить функции из этого векторного пространства самому себе, которые называются суперполя. Из приведенных выше алгебраических соотношений следует, что если мы расширим наше суперполе как степенной ряд в Θ и Θ^*, то мы найдем слагаемые только в нулевом и первом порядках, поскольку Θ² = Θ^*2 = 0. Следовательно, суперполя можно записать как произвольные функции от т умноженный на члены нулевого и первого порядка в двух координатах Грассмана

${\displaystyle \Phi \left(t,\Theta ,\Theta ^{*}\right)=\phi (t)+\Theta \Psi (t)-\Theta ^{*}\Phi ^{*}(t)+\Theta \Theta ^{*}F(t)}$

Суперполя, представляющие собой суперсимметрия суперпространства, обобщить понятие тензоры, которые являются представлениями группы вращений бозонного пространства.

Затем можно определить производные в направлениях Грассмана, которые переводят член первого порядка в расширении суперполя до члена нулевого порядка и аннулируют член нулевого порядка. Можно выбрать соглашения о знаках так, чтобы производные удовлетворяли антикоммутационным соотношениям

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}\,,\Theta \right\}=\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}\,,\Theta ^{*}\right\}=1}$

Эти производные могут быть собраны в наддув

${\displaystyle Q={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\Theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad Q^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}+i\Theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

антикоммутаторы отождествляют их с фермионными генераторами суперсимметрия алгебра

${\displaystyle \left\{Q,Q^{\dagger }\,\right\}=2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$

куда я умноженная на производную по времени Гамильтониан оператор в квантовая механика. Обе Q и прилегающие к нему антикоммутируют сами с собой. Вариация суперсимметрии с параметром суперсимметрии ε суперполя Φ определяется как

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Phi =(\epsilon ^{*}Q+\epsilon Q^{\dagger })\Phi .}$

Мы можем оценить эту вариацию, используя действие Q на суперполях

${\displaystyle \left[Q,\Phi \right]=\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\,-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\Phi =\psi +\theta ^{*}\left(F-i{\dot {\phi }}\right)+i\theta \theta ^{*}{\dot {\psi }}.}$

Аналогично можно определить ковариантные производные на суперпространстве

${\displaystyle D={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad D^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

которые антикоммутируют с суперзарядами и удовлетворяют неверной знаковой алгебре суперсимметрии

${\displaystyle \left\{D,D^{\dagger }\right\}=-2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$.

Тот факт, что ковариантные производные антикоммутируют с суперзарядами, означает, что преобразование суперсимметрии ковариантной производной суперполя равно ковариантной производной того же преобразования суперсимметрии того же суперполя. Таким образом, обобщая ковариантную производную в бозонной геометрии, которая строит тензоры из тензоров, суперпространственная ковариантная производная строит суперполя из суперполей.

Четырехмерный N = 1 суперпространство

Пожалуй, самый популярный суперпространство в физика является d=4 N=1 супер пространство Минковского р^4|4, какой прямая сумма из четырех реальных бозонные измерения и четыре настоящих Размеры Грассмана (также известен как фермионные размеры).^[5] В суперсимметричный квантовые теории поля кто-то интересуется суперпространствами, которые создают представления из Супералгебра Ли называется алгебра суперсимметрии. Бозонная часть алгебры суперсимметрии - это Алгебра Пуанкаре, а фермионная часть строится с использованием спиноры чисел Грассмана.

По этой причине в физических приложениях рассматривается действие алгебры суперсимметрии на четыре фермионных направления р^4|4 так что они трансформируются как спинор под подалгеброй Пуанкаре. В четырех измерениях есть три различных неприводимых 4-компонентных спинора. Здесь Майорана спинор, левша Спинор Вейля и правый спинор Вейля. В CPT теорема означает, что в унитарный, Теория инвариантов Пуанкаре, которая представляет собой теорию, в которой S-матрица это унитарная матрица и те же генераторы Пуанкаре действуют на асимптотические in-состояния, что и на асимптотические out-состояния, алгебра суперсимметрии должна содержать равное количество левосторонних и правых спиноров Вейля. Однако, поскольку каждый спинор Вейля состоит из четырех компонентов, это означает, что если один включает какие-либо спиноры Вейля, он должен иметь 8 фермионных направлений. Такая теория, как говорят, имеет расширенная суперсимметрия, и таким моделям уделялось много внимания. Например, суперсимметричные калибровочные теории с восемью суперзарядами и фундаментальной материей были решены Натан Зайберг и Эдвард Виттен, видеть Калибровочная теория Зайберга – Виттена. Однако в этом пункте мы рассматриваем суперпространство с четырьмя фермионными компонентами, поэтому спиноры Вейля не согласуются с теоремой CPT.

Примечание: Есть много подписывать соглашения в использовании, и это только один из них.

Это оставляет нам одну возможность: четыре фермионных направления преобразуются как майорановский спинор θ_α. Мы также можем образовать сопряженный спинор

${\displaystyle {\overline {\theta }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ i\theta ^{\dagger }\gamma ^{0}=-\theta ^{\perp }C}$

куда C матрица зарядового сопряжения, которая определяется тем свойством, что когда она сопрягает гамма-матрица, гамма-матрица инвертируется и транспонируется. Первое равенство - это определение θ а второй - следствие спинорного условия Майорана θ^* = iγ₀Cθ. Сопряженный спинор играет роль, аналогичную роли θ^* в суперпространстве р^1|2, за исключением того, что условие Майорана, как показано в приведенном выше уравнении, требует, чтобы θ и θ^* не независимы.

В частности, мы можем построить наддувы

${\displaystyle Q=-{\frac {\partial }{\partial {\overline {\theta }}}}+\gamma ^{\mu }\theta \partial _{\mu }}$

удовлетворяющие алгебре суперсимметрии

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},Q\right\}C=2\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }C=-2i\gamma ^{\mu }P_{\mu }C}$

куда ${\displaystyle P=i\partial _{\mu }}$ это 4-импульс оператор. Снова ковариантная производная определяется как суперзаряд, но с отрицанием второго члена и антикоммутируется с суперзарядом. Таким образом, ковариантная производная супермультиплета - это еще один супермультиплет.

В общей теории относительности

Слово «суперпространство» также используется в книге в совершенно ином и несвязанном смысле. Гравитация Мизнера, Торна и Уиллера. Там это относится к конфигурационное пространство из общая теория относительности, и, в частности, взгляд на гравитацию как геометродинамика, интерпретация общей теории относительности как формы динамической геометрии. Говоря современным языком, эта конкретная идея «суперпространства» отражена в одном из нескольких различных формализмов, используемых при решении уравнений Эйнштейна в различных условиях, как теоретических, так и практических, таких как численное моделирование. Это в первую очередь Формализм ADM, а также идеи, связанные с Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна. и Уравнение Уиллера – ДеВитта.

Смотрите также

• Хиральное суперпространство
• Гармоническое суперпространство
• Проективное суперпространство
• Супергруппа

Примечания

1. С. Дж. Гейтс, мл., М. Т. Грисару, М. Рочек, В. Сигель, Суперпространство или Тысяча и один урок суперсимметрии, Издательство Бенджаминов Камминг (1983) ISBN  0-8053 3161-1.
2. Элис Роджерс, Супермногообразия: теория и приложения., World Scientific (2007) ISBN  978-981-3203-21-1.
3. Брайс ДеВитт, Супермногообразия, Издательство Кембриджского университета (1984) ISBN  0521 42377 5.
4. Юрген Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ, Springer-Verlag (2002) ISBN  3-540-63654-4.
5. Юваль Нееман, Елена Айзенберг, Мембраны и другие удлинители (п-браны), World Scientific, 1995, стр. 5.

Рекомендации

• Дуплий, Стивен; Сигель, Уоррен; Баггер, Джонатан, ред. (2005), Краткая энциклопедия суперсимметрии и некоммутативных структур в математике и физике, Берлин, Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-1-4020-1338-6 (Вторая печать)