Коллектор G2 - G2 manifold

В дифференциальная геометрия, а г₂ многообразие семимерный Риманово многообразие с участием группа голономии содержалась в г₂. В группа ${\displaystyle G_{2}}$ входит в пятерку исключительных простые группы Ли. Его можно охарактеризовать как группа автоморфизмов из октонионы, или, что то же самое, как собственная подгруппа специальная ортогональная группа SO (7), сохраняющий спинор в восьмимерном спинорное представление или, наконец, как подгруппа общая линейная группа GL (7), сохраняющий невырожденную 3-форму ${\displaystyle \phi }$, ассоциативная форма. В Ходж Дуал, ${\displaystyle \psi =*\phi }$ тогда является параллельной 4-формой, коассоциативной формой. Эти формы калибровки в смысле Риз Харви и Х. Блейн Лоусон,^[1] и тем самым определяют специальные классы 3- и 4-мерных подмногообразий.

Свойства

Любые ${\displaystyle G_{2}}$-многообразие:

• 7-мерный,
• Риччи-квартира,
• ориентируемый, и
• а спиновый коллектор.

Кроме того, любое компактное многообразие с голономией, равной ${\displaystyle G_{2}}$ имеет

• конечный фундаментальная группа,
• ненулевое первое Понтрягин класс, и
• ненулевые третьи и четвертые Бетти числа.

История

Дело в том, что ${\displaystyle G_{2}}$ возможно, группа голономии некоторых римановых 7-многообразий была впервые предложена классификационной теоремой 1955 г. Марсель Бергер, и это оставалось в соответствии с упрощенным доказательством, которое позже было дано Джим Саймонс в 1962 году. Хотя до сих пор не было обнаружено ни одного примера такого многообразия, Эдмонд Бонан тем не менее внесли полезный вклад, показав, что, если бы такое многообразие действительно существовало, оно несло бы как параллельную 3-форму, так и параллельную 4-форму, и что оно обязательно было бы Риччи-плоским.^[2]

Первые локальные примеры 7-многообразий с голономией ${\displaystyle G_{2}}$ были окончательно построены около 1984 г. Роберт Брайант, а его полное доказательство их существования появилось в Анналах в 1987 году.^[3] Далее, полные (но все же некомпактные) 7-многообразия с голономией ${\displaystyle G_{2}}$ были построены Брайантом и Саймоном Саламоном в 1989 году.^[4] Первые компактные 7-многообразия с голономией ${\displaystyle G_{2}}$ были построены Доминик Джойс в 1994 г. Компактный ${\displaystyle G_{2}}$ поэтому многообразия иногда называют «многообразиями Джойса», особенно в физической литературе.^[5]

В 2015 году новая конструкция компактного ${\displaystyle G_{2}}$ коллекторов, из-за Алессио Корти, Марк Хаскинс, Йоханнес Нордстрём и Томмазо Пачини объединили идею склеивания, предложенную Саймон Дональдсон с новыми алгебро-геометрическими и аналитическими методами построения Многообразия Калаби – Яу. с цилиндрическими концами, что приводит к появлению десятков тысяч типов диффеоморфизмов новых примеров.^[6]

Связь с физикой

Эти многообразия важны в теория струн. Они ломают оригинал суперсимметрия до 1/8 первоначальной суммы. Например, М-теория компактифицированный на ${\displaystyle G_{2}}$ многообразие приводит к реалистичной четырехмерной (11-7 = 4) теории с N = 1 суперсимметрией. В результате низкая энергоэффективность супергравитация содержит единственную супергравитацию супермультиплет, количество хиральные супермультиплеты равный третьему Бетти номер из ${\displaystyle G_{2}}$ многообразие и ряд U (1) векторные супермультиплеты равно второму числу Бетти.

Смотрите также

• Спиновое (7) -многообразие
• Многообразие Калаби – Яу

использованная литература

1. Харви, Риз; Лоусон, Х. Блейн (1982), «Калиброванные геометрии», Acta Mathematica, 148: 47–157, Дои:10.1007 / BF02392726, Г-Н  0666108.
2. Бонан, Эдмонд (1966), "Sur les varétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin (7)", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 262: 127–129.
3. Брайант, Роберт Л. (1987), «Метрики с исключительной голономией», Анналы математики, 126 (2): 525–576, Дои:10.2307/1971360, JSTOR  1971360.
4. Брайант, Роберт Л.; Саламон, Саймон М. (1989), "О построении некоторых полных метрик с исключительной голономией", Математический журнал герцога, 58: 829–850, Дои:10.1215 / s0012-7094-89-05839-0, Г-Н  1016448.
5. Джойс, Доминик Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией, Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN  0-19-850601-5.
6. Корти, Алессио; Хаскинс, Марк; Нордстрем, Йоханнес; Пачини, Томмазо (2015). «G2-многообразия и ассоциативные подмногообразия через трехмерные полуфано». Математический журнал герцога. 164: 1971–2092.

дальнейшее чтение

• Беккер, Катрин; Беккер, Мелани; Шварц, Джон Х. (2007), "Многообразия с G₂ и голономия Spin (7) ", Теория струн и M-теория: современное введение, Cambridge University Press, стр. 433–455, ISBN  978-0-521-86069-7.
• Fernandez, M .; Грей А. (1982), "Римановы многообразия со структурной группой G₂", Анна. Мат. Pura Appl., 32: 19–845, Дои:10.1007 / BF01760975.
• Каригианнис, Спиро (2011), "Что такое ... а г₂-Многообразие?" (PDF), Уведомления AMS, 58 (04): 580–581.