Понтрягин класс - Pontryagin class

В математика, то Понтрягина классы, названный в честь Лев Понтрягин, уверены характеристические классы вещественных векторных расслоений. Классы Понтрягина лежат в группы когомологий со степенями, кратными четырем.

Определение

Учитывая реальное векторное расслоение E над M, это k-й класс Понтрягина ${\displaystyle p_{k}(E)}$ определяется как

${\displaystyle p_{k}(E)=p_{k}(E,\mathbb {Z} )=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Z} ),}$

куда:

• ${\displaystyle c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )}$ обозначает ${\displaystyle 2k}$-го Черн класс из комплексирование ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE}$ из E,
• ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Z} )}$ это ${\displaystyle 4k}$-когомология группа M с целое число коэффициенты.

Рациональный класс Понтрягина ${\displaystyle p_{k}(E,\mathbb {Q} )}$ определяется как изображение ${\displaystyle p_{k}(E)}$ в ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Q} )}$, то ${\displaystyle 4k}$-группа когомологий M с рациональный коэффициенты.

Характеристики

В общий класс Понтрягина

${\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ),}$

является (по модулю 2-кручения) мультипликативным относительно Сумма Уитни векторных расслоений, т.е.

${\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}$

для двух векторных расслоений E и F над M. В плане индивидуальных занятий Понтрягина п_k,

${\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}$

${\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}$

и так далее.

Исчезновение классов Понтрягина и Классы Штифеля – Уитни векторного расслоения не гарантирует, что векторное расслоение тривиально. Например, до изоморфизм векторных расслоений существует единственное нетривиальное векторное расслоение ранга 10 ${\displaystyle E_{10}}$ над 9-сфера. (The функция сцепления за ${\displaystyle E_{10}}$ возникает из гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.) Классы Понтрягина и классы Штифеля-Уитни все исчезают: классы Понтрягина не существуют в степени 9, а класс Штифеля-Уитни ш₉ из E₁₀ исчезает Формула Ву ш₉ = ш₁ш₈ + Кв.¹(ш₈). Более того, это векторное расслоение стабильно нетривиально, т.е. Сумма Уитни из E₁₀ с любым тривиальным расслоением остается нетривиальным. (Хэтчер 2009, п. 76)

Учитывая 2k-мерное векторное расслоение E у нас есть

${\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}$

куда е(E) обозначает Класс Эйлера из E, и ${\displaystyle \smile }$ обозначает чашка продукта классов когомологий.

Классы Понтрягина и кривизна

Как показал Шиинг-Шен Черн и Андре Вайль около 1948 г. рациональные классы Понтрягина

${\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

можно представить в виде дифференциальных форм, полиномиально зависящих от форма кривизны векторного расслоения. Этот Теория Черна – Вейля выявил важную связь между алгебраической топологией и глобальной дифференциальной геометрией.

Для векторный набор E через п-размерный дифференцируемое многообразие M оснащен связь, общий класс Понтрягина выражается как

${\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),}$

где Ω обозначает форма кривизны, и ЧАС*_dR(M) обозначает когомологии де Рама группы.^{[нужна цитата ]}

Классы Понтрягина многообразия

В Классы Понтрягина гладкого многообразия определяются как классы Понтрягина его касательный пучок.

Новиков в 1966 г. доказал, что если два компактных ориентированных гладких многообразия гомеоморфный то их рациональные классы Понтрягина п_k(M, Q) в ЧАС^4k(M, Q) одинаковые.

Если размерность не менее пяти, существует не более конечного числа различных гладких многообразий с заданными гомотопический тип и классы Понтрягина.

Классы Понтрягина из классов Черна

Классы Понтрягина комплексного векторного расслоения ${\displaystyle \pi :E\to X}$ полностью определяется своими классами Черна. Это следует из того, что ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}}$, формула суммы Уитни и свойства классов Черна ее комплексно сопряженного расслоения. То есть, ${\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$ и ${\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}$. Тогда с учетом соотношения

${\displaystyle {\begin{aligned}1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=\\(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot \\(1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))\end{aligned}}}$^[1]

например, мы можем применить эту формулу, чтобы найти классы Понтрягина векторного расслоения на кривой и поверхности. Для кривой имеем

${\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}}$

поэтому все классы Понтрягина комплексных векторных расслоений тривиальны. На поверхности мы имеем

${\displaystyle (1-c_{1}(E)+c_{2}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)}$

показывая ${\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)}$. В линейных пакетах это еще больше упрощается, поскольку ${\displaystyle c_{2}(L)=0}$ по габаритным причинам.

Классы Понтрягина на поверхности квартики K3

Напомним, что многочлен четвертой степени, множество нулей которого в ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ гладкое подмногообразие является поверхностью типа K3. Если мы воспользуемся нормальной последовательностью

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0}$

мы можем найти

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot (1-4[H]+16[H]^{2})\\&=1+6[H]^{2}\end{aligned}}}$

показывая ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ и ${\displaystyle c_{2}(X)=6[H]^{2}}$. С ${\displaystyle [H]^{2}}$ соответствует четырем точкам, по лемме Безу второе число Черна имеет вид ${\displaystyle 24}$. С ${\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}$ в этом случае мы имеем

${\displaystyle p_{1}(X)=-48}$. Это число можно использовать для вычисления третьей стабильной гомотопической группы сфер.^[2]

Понтрягина числа

Понтрягина числа уверены топологические инварианты гладкой многообразие. Каждое число Понтрягина многообразия M исчезает, если размерность M не делится на 4. Он определяется в терминах классов Понтрягина многообразие M следующее:

Учитывая гладкую ${\displaystyle 4n}$-мерное многообразие M и набор натуральных чисел

${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$ такой, что ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}$,

число Понтрягина ${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}$ определяется

${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])}$

куда ${\displaystyle p_{k}}$ обозначает k-й класс Понтрягина и [M] фундаментальный класс из M.

Характеристики

1. Числа Понтрягина ориентированы кобордизм инвариантный; и вместе с Числа Штифеля-Уитни они определяют класс ориентированных кобордизмов ориентированного многообразия.
2. Числа Понтрягина замкнутых римановых многообразий (а также классы Понтрягина) могут быть вычислены как интегралы некоторых полиномов от тензора кривизны риманова многообразия.
3. Такие инварианты как подпись и ${\displaystyle {\hat {A}}}$-род можно выразить через числа Понтрягина. По поводу теоремы, описывающей линейную комбинацию чисел Понтрягина, дающую сигнатуру, см. Теорема Хирцебруха о сигнатуре.

Обобщения

Также есть кватернионный Понтрягина для векторных расслоений с кватернион структура.

Смотрите также

• Форма Черна – Саймонса
• Теорема Хирцебруха о сигнатуре

Рекомендации

1. Маклин, Марк. "Классы Понтрягина" (PDF). В архиве (PDF) из оригинала от 08.11.2016.
2. «Обзор вычислений гомотопических групп сфер и кобордизмов» (PDF). п. 16. В архиве (PDF) из оригинала от 22 января 2016 г.

• Милнор Джон В.; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы. Анналы математических исследований. Принстон, Нью-Джерси; Токио: Princeton University Press / University of Tokyo Press. ISBN  0-691-08122-0.
• Хэтчер, Аллен (2009). "Векторные пучки и K-теория" (2,1 изд.).

внешняя ссылка

• «Понтрягин класс», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]