Характеристический класс - Characteristic class

В математика, а характеристический класс способ ассоциировать с каждым основной пакет из Икс а когомология класс Икс. Класс когомологий измеряет степень "скрученности" расслоения и наличие у него разделы. Классы характеристик глобальны инварианты которые измеряют отклонение местный структура продукта из глобальной структуры продукта. Они являются одной из объединяющих геометрических концепций в алгебраическая топология, дифференциальная геометрия, и алгебраическая геометрия.

Понятие характеристического класса возникло в 1935 г. Эдуард Штифель и Хасслер Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Позволять грамм быть топологическая группа, а для топологического пространства ${ displaystyle X}$ , записывать ${ displaystyle b_ {G} (X)}$ для набора классы изоморфизма из главный грамм-бандлы над ${ displaystyle X}$ . Этот ${ displaystyle b_ {G}}$ это контравариантный функтор из Вершина (в категория топологических пространств и непрерывные функции ) к Набор (категория наборы и функции ), отправив карту ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ к откат операция ${ displaystyle f ^ {*} двоеточие b_ {G} (Y) to b_ {G} (X)}$ .

А характеристический класс c основных грамм-bundles тогда естественная трансформация из ${ displaystyle b_ {G}}$ к функтору когомологий ${ displaystyle H ^ {*}}$ , рассматриваемый также как функтор Набор.

Другими словами, каждому принципалу присваивается характеристический класс. грамм-пучок ${ displaystyle P to X}$ в ${ displaystyle b_ {G} (X)}$ элемент c(п) в ЧАС*(Икс) такой, что если ж : Y → Икс - непрерывное отображение, то c(ж*п) = ж*c(п). Слева - класс отката п к Y; справа - изображение класса п при индуцированном отображении в когомологиях.

Характерные числа

Характеристические классы - это элементы групп когомологий;^[1] можно получить целые числа из характеристических классов, называемых характеристические числа. Некоторые важные примеры характеристических чисел: Числа Штифеля – Уитни, Числа Черна, Понтрягина числа, а Эйлерова характеристика.

Для ориентированного многообразия M измерения п с фундаментальный класс ${ Displaystyle [М] в Н_ {п} (М)}$ , а грамм-связь с характеристическими классами ${ displaystyle c_ {1}, dots, c_ {k}}$ , можно объединить в пары произведение характеристических классов общей степени п с фундаментальным классом. Количество различных характеристических чисел - это количество мономы степени п в характеристических классах или, что то же самое, в разбиениях п в ${ displaystyle { mbox {deg}} , c_ {i}}$ .

Формально, учитывая ${ displaystyle i_ {1}, dots, i_ {l}}$ такой, что ${ displaystyle sum { mbox {deg}} , c_ {i_ {j}} = n}$ , соответствующее характеристическое число:

{ displaystyle c_ {i_ {1}} smile c_ {i_ {2}} smile dots smile c_ {i_ {l}} ([M])}

куда ${ displaystyle smile}$ обозначает чашка продукта классов когомологий, которые обозначаются различными как произведения характеристических классов, таких как ${ displaystyle c_ {1} ^ {2}}$ или с помощью альтернативных обозначений, например ${ displaystyle P_ {1,1}}$ для Число Понтрягина соответствующий ${ displaystyle p_ {1} ^ {2}}$ , или же ${ displaystyle chi}$ для эйлеровой характеристики.

С точки зрения когомологии де Рама, можно взять дифференциальные формы представляющие характеристические классы,^[2] возьмите произведение клина так, чтобы получить форму высшей размерности, затем интегрируйте по многообразию; это аналогично взятию произведения в когомологии и спариванию с фундаментальным классом.

Это также работает для неориентируемых многообразий, которые имеют ${ Displaystyle mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}}$ -ориентация, и в этом случае получаем ${ Displaystyle mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}}$ -значные характеристические числа, такие как числа Штифеля-Уитни.

Характеристические числа решают ориентированные и неориентированные вопросы о бордизме: два многообразия являются (соответственно ориентированными или неориентированными) кобордантными тогда и только тогда, когда их характеристические числа равны.

Мотивация

Характерные классы - это явления теория когомологий по существу - они контравариантный конструкции, таким образом, что раздел это своего рода функция на пространство, и чтобы привести к противоречию из-за существования секции, нам действительно нужна эта дисперсия. На самом деле теория когомологий выросла после гомология и теория гомотопии, которые оба ковариантный теории, основанные на картографии в пространство; и теория характеристических классов в зачаточном состоянии в 1930-х годах (как часть теория препятствий ) была одной из основных причин, по которой искали «двойственную» теорию гомологии. Характерно-классовый подход к кривизна инвариантов был особой причиной для создания теории, для доказательства общего Теорема Гаусса – Бонне.

Когда теория была построена на организованной основе примерно в 1950 году (с определениями, сведенными к теории гомотопии), стало ясно, что наиболее фундаментальные характеристические классы, известные в то время ( Класс Штифеля – Уитни, то Черн класс, а Понтрягина классы ) были отражениями классических линейных групп и их максимальный тор структура. Более того, сам класс Черна был не таким уж новым, поскольку нашел отражение в Исчисление Шуберта на Грассманианы, и работа Итальянская школа алгебраической геометрии. С другой стороны, теперь существовала структура, которая производила семейства классов всякий раз, когда существовала векторный набор участвует.

Первичный механизм тогда выглядел так: учитывая пространство Икс несущее векторное расслоение, что подразумевается в гомотопическая категория отображение из Икс к классификация пространства BG, для соответствующей линейной группы грамм. Для теории гомотопии релевантная информация переносится компактными подгруппами, такими как ортогональные группы и унитарные группы из грамм. Когда-то когомологии ${ displaystyle H ^ {*} (BG)}$ был вычислен раз и навсегда, свойство контравариантности когомологий означало, что характеристические классы для пучка будут определены в ${ displaystyle H ^ {*} (X)}$ в тех же размерах. Например, Черн класс это действительно один класс с градуированными компонентами в каждом четном измерении.

Это все еще классическое объяснение, хотя в данной геометрической теории полезно учитывать дополнительную структуру. Когда когомология стала «необычной» с появлением K-теория и теория кобордизма с 1955 года действительно нужно было изменить только букву ЧАС везде, чтобы сказать, какие были характерные классы.

Позже были найдены характерные классы для слоения из коллекторы; они имеют (в модифицированном смысле для слоений с некоторыми разрешенными особенностями) классифицирующую теорию пространств в гомотопия теория.

В более поздних работах после сближение математики и физика, новые характеристические классы были найдены Саймон Дональдсон и Дитер Кочик в Немедленное включение теория. Работа и точка зрения Черн также оказались важными: см. Теория Черна – Саймонса.

Стабильность

На языке теория стабильной гомотопии, то Черн класс, Класс Штифеля – Уитни, и Понтрягин класс находятся стабильный, в то время как Класс Эйлера является неустойчивый.

Конкретно, стабильный класс - это класс, который не меняется при добавлении тривиального пакета: ${ Displaystyle с (V oplus 1) = с (V)}$ . Более абстрактно это означает, что класс когомологий в классификация пространства за ${ Displaystyle BG (п)}$ отступает от класса когомологий в ${ Displaystyle BG (п + 1)}$ при включении ${ Displaystyle BG (п) в BG (п + 1)}$ (что соответствует включению ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n} to mathbf {R} ^ {n + 1}}$ и аналогичные). Эквивалентно, все конечные характеристические классы отходят от стабильного класса в ${ displaystyle BG}$ .

Это не относится к классу Эйлера, как подробно описано там, не в последнюю очередь потому, что класс Эйлера k-мерный пучок живет в ${ Displaystyle Н ^ {к} (Х)}$ (следовательно, отступает от ${ Displaystyle H ^ {k} (BO (k))}$ , поэтому он не может отказаться от занятий в ${ displaystyle H ^ {k + 1}}$ , так как размеры отличаются.

Смотрите также

Примечания

^ Неформально характеристические классы «живут» в когомологиях.
^ К Теория Черна – Вейля, это полиномы по кривизне; к Теория Ходжа, можно принять гармоническую форму.