Продукт чашки - Cup product

В математика особенно в алгебраическая топология, то чашка продукта метод соединения двух коциклы степени п и q образовать составной коцикл степени п + q. Это определяет ассоциативную (и дистрибутивную) операцию градуированного коммутативного произведения в когомологиях, превращая когомологии пространства Икс в градуированное кольцо, ЧАС^∗(Икс), называется кольцо когомологий. Чашечное изделие внедрено в работу Дж. В. Александер, Эдуард Чех и Хасслер Уитни с 1935 по 1938 год, и, в общем, Сэмюэл Эйленберг в 1944 г.

Определение

В особые когомологии, то чашка продукта это конструкция, дающая продукт на оцененный кольцо когомологий ЧАС^∗(Икс) из топологическое пространство Икс.

Строительство начинается с продукта коцепи: если c^п это п-cochain и d^q это q-cochain, тогда

{ Displaystyle (c ^ {p} улыбка d ^ {q}) ( sigma) = c ^ {p} ( sigma circ iota _ {0,1, ... p}) cdot d ^ {q} ( sigma circ iota _ {p, p + 1, ..., p + q})}

где σ - единственное число (п + q) -симплекс и ${ displaystyle iota _ {S}, S subset {0,1, ..., p + q }}$ канонический встраивание симплекса, натянутого на S в ${ Displaystyle (п + д)}$ -симплекс, вершины которого индексируются ${ displaystyle {0, ..., p + q }}$ .

Неофициально ${ Displaystyle sigma circ iota _ {0,1, ..., p}}$ это п-го лицевая сторона и ${ displaystyle sigma circ iota _ {p, p + 1, ..., p + q}}$ это q-го задняя сторона σ соответственно.

В кограница чашки продукта коцепей c^п и г^q дан кем-то

{ displaystyle delta (c ^ {p} smile d ^ {q}) = delta {c ^ {p}} smile d ^ {q} + (- 1) ^ {p} (c ^ {p } smile delta {d ^ {q}}).}

Чашечное произведение двух коциклов снова является коциклом, а произведение кограницы на коцикл (в любом порядке) является кограницей. Операция произведения чашки индуцирует билинейную операцию над когомологиями:

{ Displaystyle H ^ {p} (X) times H ^ {q} (X) to H ^ {p + q} (X).}

Характеристики

Операция произведения чашки в когомологиях удовлетворяет тождеству

{ displaystyle alpha ^ {p} smile beta ^ {q} = (- 1) ^ {pq} ( beta ^ {q} smile alpha ^ {p})}

так что соответствующее умножение градуированный коммутативный.

Чашечное изделие функториальный, в следующем смысле: если

{ displaystyle f двоеточие от X до Y}

- непрерывная функция, а

{ displaystyle f ^ {*} двоеточие H ^ {*} (Y) to H ^ {*} (X)}

индуцированный гомоморфизм в когомологиях, то

{ Displaystyle е ^ {*} ( альфа улыбка бета) = е ^ {*} ( альфа) улыбка е ^ {*} ( бета),}

для всех классов α, β в ЧАС ^*(Y). Другими словами, ж ^* является (оцененным) кольцевой гомоморфизм.

Интерпретация

Можно просмотреть стаканчик ${ Displaystyle улыбка двоеточие H ^ {p} (X) times H ^ {q} (X) to H ^ {p + q} (X)}$ как индуцировано из следующей композиции:

${ displaystyle displaystyle C ^ { bullet} (X) times C ^ { bullet} (X) to C ^ { bullet} (X times X) { overset { Delta ^ {*}} { to}} C ^ { bullet} (X)}$

с точки зрения цепные комплексы из ${ displaystyle X}$ и ${ Displaystyle X раз X}$ , где первая карта - это Карта Кюннета а второй - отображение, индуцированное диагональ ${ Displaystyle Delta двоеточие X в X раз X}$ .

Эта композиция переходит в частное, чтобы получить четко определенную карту с точки зрения когомологий, это произведение чашки. Этот подход объясняет существование чашечного продукта для когомологий, но не для гомологии: ${ Displaystyle Дельта двоеточие X в X раз X}$ индуцирует карту ${ Displaystyle Delta ^ {*} двоеточие H ^ { bullet} (X times X) to H ^ { bullet} (X)}$ но также вызовет отображение ${ displaystyle Delta _ {*} двоеточие H _ { bullet} (X) to H _ { bullet} (X times X)}$ , что не позволяет нам дать определение продукту. Однако это полезно при определении крышка продукта.

Билинейность следует из этого представления чашечного продукта, т.е. ${ displaystyle (u_ {1} + u_ {2}) smile v = u_ {1} smile v + u_ {2} smile v}$ и ${ displaystyle u smile (v_ {1} + v_ {2}) = u smile v_ {1} + u smile v_ {2}.}$

Примеры

Чашечные произведения можно использовать, чтобы отличать многообразия от клиньев пространств с одинаковыми группами когомологий. Космос ${ Displaystyle X: = S ^ {2} vee S ^ {1} vee S ^ {1}}$ имеет те же группы когомологий, что и тор Т, но с другим продуктом чашки. В случае Икс умножение коцепи связаны с копиями ${ Displaystyle S ^ {1}}$ вырожден, тогда как в Т умножение в первой группе когомологий может быть использовано для разложения тора на двухклеточную диаграмму, таким образом получив произведение, равное Z (в более общем смысле M где это базовый модуль).

Другие определения

Чашечное изделие и дифференциальные формы

В когомологии де Рама, чашка продукта дифференциальные формы индуцируется клин. Другими словами, произведение двух замкнутых дифференциальных форм принадлежит классу де Рама чашечного произведения двух исходных классов де Рама.

Изделие чашки и геометрические пересечения

В номер ссылки можно определить в терминах неисчезающего чашечного продукта в дополнении ссылки. Дополнение этих двух связанных окружностей деформация втягивается в тор, который имеет неисчезающую чашечку.

Для ориентированных многообразий существует геометрическая эвристика, согласно которой «чашеобразное произведение двойственно пересечениям».^[1]^[2]

Действительно, пусть ${ displaystyle M}$ быть ориентированным гладкое многообразие измерения ${ displaystyle n}$ . Если два подмногообразия ${ displaystyle A, B}$ коразмерности ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ пересекаться поперечно, то их пересечение ${ displaystyle A cap B}$ снова является подмногообразием коразмерности ${ displaystyle i + j}$ . Взяв образы фундаментальных классов гомологии этих многообразий при включении, можно получить билинейное произведение на гомологиях. Этот продукт Пуанкаре двойственный к произведению чашки в том смысле, что взяв пары Пуанкаре ${ displaystyle [A] ^ {*}, [B] ^ {*} in H ^ {i}, H ^ {j}}$ то имеет место следующее равенство:

${ displaystyle [A] ^ {*} smile [B] ^ {*} = [A cap B] ^ {*} in H ^ {i + j} (X, mathbb {Z})}$ .^[1]

Точно так же номер ссылки может быть определен в терминах пересечений, сдвига размеров на 1 или, альтернативно, в терминах неисчезающего продукта чашки на дополнении ссылки.

Продукция Massey

Продукция Massey обобщить чашечный продукт, позволяя определять «номера связи более высокого порядка», Инварианты Милнора.

Чашечное произведение представляет собой бинарную (2-арную) операцию; можно определить тернарную (3-арную) операцию и операцию более высокого порядка, называемую Продукция Massey, который обобщает чашечное произведение. Это более высокий порядок операция когомологии, который определен только частично (определен только для некоторых троек).