Операция когомологии - Cohomology operation

В математике операция когомологии концепция стала центральной для алгебраическая топология, особенно теория гомотопии, начиная с 1950-х годов, в форме простого определения, что если F это функтор определение теория когомологий, то операция когомологии должна быть естественная трансформация из F себе. Во всем было два основных момента:

1. операции можно изучать комбинаторными средствами; и
2. эффект от операций состоит в том, чтобы получить интересный бикоммутант теория.

Источником этих исследований были работы Понтрягина, Постникова и Норман Стинрод, который первым определил Понтрягина площадь, Площадь Постникова, и Площадь Стинрода операции для особые когомологии, в случае коэффициентов mod 2. Комбинаторный аспект здесь возникает как формулировка несостоятельности естественного диагонального отображения при коцепь уровень. Общая теория Алгебра Стинрода операций была приведена в тесную связь с симметричная группа.

в Спектральная последовательность Адамса то бикоммутант аспект подразумевается при использовании Функторы Ext, то производные функторы Hom-функторов; если есть бикоммутантный аспект, взятый над действующей алгеброй Стинрода, он находится только в полученный уровень. Сходимость к группам из теория стабильной гомотопии, информацию о котором трудно найти. Эта связь установила глубокий интерес к операциям когомологий для теория гомотопии, и с тех пор является предметом исследований. An необычная теория когомологий имеет свои собственные операции когомологий, и они могут иметь более богатый набор ограничений.

Формальное определение

А операция когомологии ${\displaystyle \theta }$ типа

${\displaystyle (n,q,\pi ,G)\,}$

это естественная трансформация функторов

${\displaystyle \theta :H^{n}(-,\pi )\to H^{q}(-,G)\,}$

определено на Комплексы CW.

Связь с пространствами Эйленберга – Маклейна.

Когомологии комплексов CW есть представимый по Пространство Эйленберга – Маклейна, так что Лемма Йонеды когомологическая операция типа ${\displaystyle (n,q,\pi ,G)}$ дается гомотопия класс карт ${\displaystyle K(\pi ,n)\to K(G,q)}$. С помощью представимость еще раз, операция когомологий задается элементом ${\displaystyle H^{q}(K(\pi ,n),G)}$.

Символично, позволяя ${\displaystyle [A,B]}$ обозначим множество гомотопических классов отображений из ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle \mathrm {Nat} (H^{n}(-,\pi ),H^{q}(-,G))&=\mathrm {Nat} ([-,K(\pi ,n)],[-,K(G,q)])\\&=[K(\pi ,n),K(G,q)]\\&=H^{q}(K(\pi ,n);G).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Вторичная операция когомологии

Рекомендации

• Мошер, Роберт Э .; Тангора, Мартин К. (2008) [1968], Когомологические операции и приложения в теории гомотопий, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-46664-4, МИСТЕР  0226634
• Стинрод, Н. Э. (1962), Эпштейн, Д. Б. А. (ред.), Когомологические операции, Анналы математических исследований, 50, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-07924-0, МИСТЕР  0145525