Лемма Йонеды - Yoneda lemma

В математика, то Лемма Йонеды возможно, самый важный результат в теория категорий.^[1] Это абстрактный результат на функторы типа морфизмы в фиксированный объект. Это обширное обобщение Теорема Кэли из теория групп (рассмотрение группы как миниатюрной категории с одним объектом и только изоморфизмами). Это позволяет встраивание любой местно маленький категорию в категория функторов (контравариантные многозначные функторы), определенные в этой категории. Также разъясняется, как встроенная категория представимые функторы и их естественные преобразования, относится к другим объектам в более крупной категории функторов. Это важный инструмент, лежащий в основе нескольких современных разработок в алгебраическая геометрия и теория представлений. Он назван в честь Нобуо Йонеда.

Общие

Лемма Йонеды предполагает, что вместо изучения (местно маленький ) категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, следует изучить категорию всех функторов ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ (в категория наборов с функции в качестве морфизмы ). ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ - категория, которую, как нам кажется, мы хорошо понимаем, и функтор ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ можно рассматривать как "представление" ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ с точки зрения известных конструкций. Исходная категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ содержится в этой категории функторов, но в категории функторов появляются новые объекты, которые отсутствовали и были «скрыты» в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Отношение к этим новым объектам так же, как к старым, часто объединяет и упрощает теорию.

Этот подход сродни (и фактически обобщает) обычный метод изучения звенеть исследуя модули над кольцом. Кольцо занимает место категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, а категория модулей над кольцом - это категория функторов, определенных на ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Официальное заявление

Лемма Йонеды касается функторов фиксированной категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к категория наборов, ${\displaystyle \mathbf {Set} }$. Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ это местная малая категория (т.е. домашние наборы являются фактическими наборами, а не соответствующими классами), то каждый объект ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ порождает естественный функтор ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ называется hom-функтор. Этот функтор обозначается:

${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$.

(ковариантный ) hom-функтор ${\displaystyle h^{A}}$ отправляет ${\displaystyle X}$ к набору морфизмы ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ и отправляет морфизм ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ к морфизму ${\displaystyle f\circ -}$ (композиция с ${\displaystyle f}$ слева), который посылает морфизм ${\displaystyle g}$ в ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ к морфизму ${\displaystyle f\circ g}$ в ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,Y)}$. То есть,

${\displaystyle h^{A}(f)=\mathrm {Hom} (A,f){\mbox{, or}}}$

${\displaystyle h^{A}(f)(g)=f\circ g}$.

Позволять ${\displaystyle F}$ - произвольный функтор из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$. Тогда лемма Йонеды говорит, что:

Для каждого объекта ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, то естественные преобразования ${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},F)\equiv \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,-),F)}$ из ${\displaystyle h^{A}}$ к ${\displaystyle F}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами ${\displaystyle F(A)}$. То есть,

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,-),F)\cong F(A)}$.

Более того, этот изоморфизм естественен в ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle F}$ когда обе стороны рассматриваются как функторы от ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$.

Здесь обозначение ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ обозначает категорию функторов из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$.

Учитывая естественное преобразование ${\displaystyle \Phi }$ из ${\displaystyle h^{A}}$ к ${\displaystyle F}$, соответствующий элемент ${\displaystyle F(A)}$ является ${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$;^[а] и учитывая элемент ${\displaystyle u}$ из ${\displaystyle F(A)}$, соответствующее естественное преобразование дается выражением ${\displaystyle \Phi (f)=F(f)(u)}$.

Контравариантная версия

Существует контравариантная версия леммы Йонеды, которая касается контравариантные функторы из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$. В этой версии используется контравариантный гом-функтор

${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A),}$

который отправляет ${\displaystyle X}$ к хом-множеству ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$. Для произвольного контравариантного функтора ${\displaystyle G}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$, Лемма Йонеды утверждает, что

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A).}$

Соглашения об именах

Использование ${\displaystyle h^{A}}$ для ковариантного гом-функтора и ${\displaystyle h_{A}}$ для контравариантного гом-функтора не вполне стандартен. Во многих текстах и ​​статьях для этих двух функторов используются либо противоположные соглашения, либо совершенно не связанные символы. Однако большинство современных текстов по алгебраической геометрии, начиная с Александра Гротендика основополагающий EGA используйте соглашение в этой статье.^[b]

Мнемоника "падение во что-то" может помочь вспомнить, что ${\displaystyle h_{A}}$ - контравариантный гом-функтор. Когда письмо ${\displaystyle A}$ является падение (то есть нижний индекс), ${\displaystyle h_{A}}$ присваивает объекту ${\displaystyle X}$ морфизмы из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle A}$.

Доказательство

Доказательство леммы Йонеды обозначается следующим коммутативная диаграмма:

Эта диаграмма показывает, что естественное преобразование ${\displaystyle \Phi }$ полностью определяется ${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$ поскольку для каждого морфизма ${\displaystyle f\colon A\to X}$ надо

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u}$.

Более того, любой элемент ${\displaystyle u\in F(A)}$ таким образом определяет естественное преобразование. Доказательство в контравариантном случае полностью аналогично.

Вложение Йонеды

Важный частный случай леммы Йонеды - это когда функтор ${\displaystyle F}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ еще один хом-функтор ${\displaystyle h^{B}}$. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

То есть естественные преобразования между гом-функторами находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами (в обратном направлении) между ассоциированными объектами. Учитывая морфизм ${\displaystyle f\colon B\to A}$ соответствующее естественное преобразование обозначается ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$.

Отображение каждого объекта ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ с ассоциированным с ним гом-функтором ${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$ и каждый морфизм ${\displaystyle f\colon B\to A}$ к соответствующему естественному преобразованию ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$ определяет контравариантный функтор ${\displaystyle h^{-}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$, то категория функторов всех (ковариантных) функторов из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$. Можно интерпретировать ${\displaystyle h^{-}}$ как ковариантный функтор:

${\displaystyle h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

Смысл леммы Йонеды в этом случае состоит в том, что функтор ${\displaystyle h^{-}}$ является полностью верный, и поэтому дает вложение ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ в категории функторов к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$. Коллекция всех функторов ${\displaystyle \{h^{A}|A\in C\}}$ является подкатегорией ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$. Следовательно, из вложения Йонеды следует, что категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ изоморфна категории ${\displaystyle \{h^{A}|A\in C\}}$.

Контравариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

Следовательно, ${\displaystyle h_{-}}$ порождает ковариантный функтор из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в категорию контравариантных функторов к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$:

${\displaystyle h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

Лемма Йонеды утверждает, что любая локально малая категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ вкладывается в категорию контравариантных функторов из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ через ${\displaystyle h_{-}}$. Это называется Йонеда вложение.

Вложение Йонеды иногда обозначают символом よ, Хирагана Кана Эй.^[2]

Представимый функтор

Основная статья: Представимый функтор

Вложение Йонеды по существу утверждает, что для каждой (локально небольшой) категории объекты в этой категории могут быть представлен к предварительные пучки, полным и верным образом. То есть,

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},P)\cong P(A).}$

для предпучка п. Фактически, многие общие категории представляют собой предварительные пучки, и при ближайшем рассмотрении оказывается, что они снопы, и, поскольку такие примеры обычно носят топологический характер, их можно рассматривать как Topoi в целом. Лемма Йонеды предоставляет точку, с помощью которой можно изучать и понимать топологическую структуру категории.

С точки зрения (со) конечного исчисления

Основная статья: Конец (теория категорий)

Учитывая две категории ${\displaystyle \mathbf {C} }$ и ${\displaystyle \mathbf {D} }$ с двумя функторами ${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$, естественные преобразования между ними можно записать в виде конец.

${\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)}$

Для любых функторов ${\displaystyle K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Sets} }$ и ${\displaystyle H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Sets} }$ все следующие формулы являются формулировками леммы Йонеды. ^[3]

${\displaystyle K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},}$

${\displaystyle H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.}$

Преддитивные категории, кольца и модули

Основная статья: Преддитивная категория

А предаддитивная категория - категория, в которой множества морфизмов образуют абелевы группы а композиция морфизмов билинейный; примерами являются категории абелевых групп или модулей. В предаддитивной категории существует как «умножение», так и «добавление» морфизмов, поэтому предаддитивные категории рассматриваются как обобщения кольца. Кольца - это предаддитивные категории с одним объектом.

Лемма Йонеды останется верной для преаддитивных категорий, если мы выберем в качестве нашего расширения категорию добавка контравариантные функторы из исходной категории в категорию абелевых групп; это функторы, совместимые с добавлением морфизмов, и их следует рассматривать как образующие категория модуля над исходной категорией. Затем лемма Йонеды дает естественную процедуру расширения предаддитивной категории так, чтобы расширенная версия оставалась предаддитивной - фактически, расширенная версия является абелева категория, гораздо более мощное состояние. В случае кольца ${\displaystyle R}$, расширенная категория - это категория всех прав модули над ${\displaystyle R}$, и утверждение леммы Йонеды сводится к известному изоморфизму

${\displaystyle M\cong \mathrm {Hom} _{R}(R,M)}$ для всех правильных модулей ${\displaystyle M}$ над ${\displaystyle R}$.

Связь с теоремой Кэли

Как указано выше, лемму Йонеды можно рассматривать как обширное обобщение Теорема Кэли из теория групп. Чтобы увидеть это, позвольте ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ быть категорией с одним объектом ${\displaystyle *}$ такой, что каждый морфизм является изоморфизм (т.е. группоид с одним объектом). потом ${\displaystyle G=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$ образует группа при операции композиции, и любая группа может быть реализована таким образом как категория.

В этом контексте ковариантный функтор ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$ состоит из набора ${\displaystyle X}$ и групповой гомоморфизм ${\displaystyle G\to \mathrm {Perm} (X)}$, куда ${\displaystyle \mathrm {Perm} (X)}$ это группа перестановки из ${\displaystyle X}$; другими словами, ${\displaystyle X}$ это G-набор. Естественное преобразование между такими функторами - это то же самое, что и эквивариантное отображение между ${\displaystyle G}$-sets: функция набора ${\displaystyle \alpha \colon X\to Y}$ со свойством, что ${\displaystyle \alpha (g\cdot x)=g\cdot \alpha (x)}$ для всех ${\displaystyle g}$ в ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle X}$. (В левой части этого уравнения ${\displaystyle \cdot }$ обозначает действие ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle X}$, а справа - действие на ${\displaystyle Y}$.)

Теперь ковариантный гом-функтор ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$ соответствует действию ${\displaystyle G}$ на себя умножением слева (контравариантная версия соответствует умножению справа). Лемма Йонеды с ${\displaystyle F=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$ утверждает, что

${\displaystyle \mathrm {Nat} (\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-),\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-))\cong \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$,

то есть эквивариантные отображения из этого ${\displaystyle G}$-наборы находятся в взаимно однозначном соответствии с ${\displaystyle G}$. Но легко видеть, что (1) эти отображения образуют группу по композиции, которая является подгруппа из ${\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}$, и (2) функция, дающая биекцию, является гомоморфизмом групп. (В обратном направлении он ассоциируется с каждым ${\displaystyle g}$ в ${\displaystyle G}$ эквивариантное отображение правого умножения на ${\displaystyle g}$.) Таким образом ${\displaystyle G}$ изоморфна подгруппе ${\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}$, что является утверждением теоремы Кэли.

История

Йошики Киношита заявил в 1996 году, что термин «лемма Йонеды» был придуман Saunders Mac Lane после интервью, которое он дал Йонеде.^[4]

Смотрите также

• Теорема представления

Примечания

1. Напомним, что ${\displaystyle \Phi _{A}:\mathrm {Hom} (A,A)\to F(A)}$ поэтому последнее выражение четко определено и отправляет морфизм из ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle A}$, к элементу в ${\displaystyle F(A)}$.
2. Заметным исключением из современных текстов по алгебраической геометрии, следующих за соглашениями, изложенными в этой статье, является Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии / Дэвид Эйзенбуд (1995), который использует ${\displaystyle h_{A}}$ означать ковариантный гом-функтор. Однако более поздняя книга Геометрия схем / Дэвид Эйзенбуд, Джо Харрис (1998) меняют это положение и используют ${\displaystyle h_{A}}$ означать контравариантный гом-функтор.

Рекомендации

1. Риль, Эмили. «Теория категорий в контексте» (PDF).
2. "Вложение Йонеды". nLab. Получено 6 июля 2019.
3. Лорегиан, Фоско (2015). «Это (со) конец, мой единственный (со) друг». arXiv:1501.02503 [math.CT ].
4. Киношита, Йошики (23 апреля 1996 г.). «Проф. Нобуо Йонеда скончался». Получено 21 декабря 2013.

• Фрейд, Питер (1964), Абелевы категории, Серия Харпера по современной математике (переиздание, 2003 г.), Харпер и Роу, Zbl  0121.02103.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998), Категории для рабочего математика, Тексты для выпускников по математике, 5 (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-98403-8, Zbl  0906.18001
• Лорегиан, Фоско (2015). «Это (со) конец, мой единственный (со) друг». arXiv:1501.02503 [math.CT ].

• Лемма Йонеды в nLab

внешняя ссылка

• Система Мицар доказательство: http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf