Не путать с использованием
Конец представлять (категории)
эндоморфизмы.
В теория категорий, конец функтора
универсальный сверхъестественное преобразование от объекта е из Икс к S.[1]
Более точно, это пара
, куда е является объектом Икс и
это сверхъестественное преобразование, такое что для каждого сверхъестественного преобразования
существует уникальный морфизм
из Икс с
для каждого объекта а из C.
Из-за злоупотребления языком объект е часто называют конец функтора S (забывая
) и написано

Характеристика как предел: Если Икс является полный и C маленький, конец можно описать как эквалайзер на диаграмме

где первый выравниваемый морфизм индуцирован
а второй индуцирован
.
Coend
Определение коенд функтора
является двойственным определению конца.
Таким образом, коэффициент S состоит из пары
, куда d является объектом Икс и
это сверхъестественное преобразование, такое, что для каждого сверхъестественного преобразования
существует уникальный морфизм
из Икс с
для каждого объекта а из C.
В коенд d функтора S написано

Характеристика как копредел: Двойно, если Икс является завершенным и C мала, то коэффициент можно описать как коэквалайзер на диаграмме

Примеры
- Природные преобразования:
Предположим, у нас есть функторы
тогда
.
В этом случае категория множеств полная, поэтому нам нужно только сформировать эквалайзер и в этом случае

естественные преобразования из
к
. Интуитивно естественное преобразование из
к
это морфизм из
к
для каждого
в категории с условиями совместимости. Глядя на диаграмму эквалайзера, определяющую конец, становится очевидным эквивалентность.
Позволять
быть симплициальный набор. То есть,
является функтором
. В дискретная топология дает функтор
, куда
категория топологических пространств. Кроме того, есть карта
отправка объекта
из
к стандарту
-симплекс внутри
. Наконец, есть функтор
который берет произведение двух топологических пространств.
Определять
быть композицией этого функтора продукта с
. В коенд из
является геометрической реализацией
.
Рекомендации
- ^ Мак-Лейн, Сондерс (2013). Категории для работающего математика. Springer Science & Business Media. С. 222–226.