Категоризация - Categorification

В математика, категоризация идет процесс замены теоретико-множественный теоремы с участием теоретико-категориальный аналоги. Классификация, если она выполнена успешно, заменяет наборы с участием категории, функции с участием функторы, и уравнения с участием естественные изоморфизмы функторов, удовлетворяющих дополнительным свойствам. Термин был придуман Луи Крейн.

Обратной категоризацией является процесс декатегоризация. Декатегоризация - это систематический процесс, посредством которого изоморфный объекты в категории обозначаются как равный. В то время как декатегоризация - это простой процесс, категоризация обычно намного менее прямолинейна. в теория представлений из Алгебры Ли, модули над конкретными алгебрами являются основными объектами изучения, и есть несколько основ для определения того, какой должна быть категоризация такого модуля, например, так называемые (слабые) абелевы категоризации.^[1]

Категоризация и декатегоризация - это не точные математические процедуры, а скорее класс возможных аналогов. Они используются аналогично таким словам, как "обобщение ', а не как'связка '.^[2]

Примеры категоризации

Одна из форм категоризации принимает структуру, описываемую в терминах множеств, и интерпретирует множества как классы изоморфизма объектов в категории. Например, набор натуральные числа можно рассматривать как набор мощности конечных множеств (причем любые два множества с одинаковой мощностью изоморфны). В этом случае операции над множеством натуральных чисел, такие как сложение и умножение, можно рассматривать как перенос информации о продукты и побочные продукты из категория конечных множеств. Менее абстрактно идея заключается в том, что сначала было манипулирование наборами реальных объектов и взятие сопродуктов (объединение двух наборов в объединение) или продуктов (построение массивов вещей для отслеживания большого их количества). Позже конкретная структура множеств была абстрагирована - доведена «только до изоморфизма», чтобы создать абстрактную теорию арифметики. Это «декатегоризация» - категоризация меняет этот шаг.

Другие примеры включают теории гомологии в топология. Эмми Нётер дал современную формулировку гомологии как ранг определенных свободные абелевы группы путем категоризации понятия Бетти номер.^[3] Смотрите также Гомологии Хованова как инвариант узла в теория узлов.

Пример в теория конечных групп это то кольцо симметричных функций классифицируется категорией представлений симметричная группа. Карта декатегоризации отправляет Модуль Specht индексируется по разделам ${\displaystyle \lambda }$ к Функция Шура индексируется тем же разделом,

${\displaystyle S^{\lambda }{\stackrel {\varphi }{\to }}s_{\lambda },}$

по существу следуя характер карта из избранного базиса связанных Группа Гротендик к теоретико-репрезентативному излюбленному базису кольца симметричные функции. Эта карта отражает сходство структур; Например

${\displaystyle [\mathrm {Ind} _{S_{m}\otimes S_{n}}^{S_{n+m}}(S^{\mu }\otimes S^{\nu })]\qquad {\text{ and }}\qquad s_{\mu }s_{\nu }}$

имеют одинаковые числа разложения по их соответствующим базам, оба заданные формулой Коэффициенты Литтлвуда – Ричардсона.

Абелевы категории

Для категории ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, позволять ${\displaystyle K({\mathcal {B}})}$ быть Группа Гротендик из ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Позволять ${\displaystyle A}$ быть кольцо который свободна как абелева группа, и разреши ${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}}$ быть основой ${\displaystyle A}$ такой, что умножение положительно в ${\displaystyle \mathbf {a} }$, т.е.

${\displaystyle a_{i}a_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}a_{k},}$ с участием ${\displaystyle c_{ij}^{k}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}.}$

Позволять ${\displaystyle B}$ быть ${\displaystyle A}$-модуль. Тогда (слабая) абелева категоризация ${\displaystyle (A,\mathbf {a} ,B)}$ состоит из абелева категория ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, изоморфизм ${\displaystyle \phi :K({\mathcal {B}})\to B}$, и точные эндофункторы ${\displaystyle F_{i}:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}}$ такой, что

1. функтор ${\displaystyle F_{i}}$ снимает действие ${\displaystyle a_{i}}$ на модуле ${\displaystyle B}$, т.е. ${\displaystyle \phi [F_{i}]=a_{i}\phi }$, и
2. есть изоморфизмы ${\displaystyle F_{i}F_{j}\cong \bigoplus _{k}F_{k}^{c_{ij}^{k}},}$, т.е. состав ${\displaystyle F_{i}F_{j}}$ разлагается как прямая сумма функторов ${\displaystyle F_{k}}$ так же, как продукт ${\displaystyle a_{i}a_{j}}$ разлагается как линейная комбинация базисных элементов ${\displaystyle a_{k}}$.

Смотрите также

• Комбинаторное доказательство, процесс замены теоретико-числовой теоремы теоретико-множественными аналогами.
• Теория высших категорий
• Многомерная алгебра
• Категориальное кольцо

использованная литература

1. Хованов Михаил; Мазорчук, Владимир; Строппель, Катарина (2009), «Краткий обзор абелевых категорий», Теория Appl. Категория, 22 (19): 479–508, arXiv:math.RT / 0702746
2. Алекс Хоффнунг (10 ноября 2009 г.). «Что такое« категоризация »?».
3. Baez 1998. Ошибка sfn: нет цели: CITEREFBaez1998 (Помогите)

• Баэз, Джон; Долан, Джеймс (1998), «Категоризация», в Getzler, Ezra; Капранов, Михаил (ред.), Теория высшей категории, Contemp. Математика, 230, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 1–36, arXiv:math.QA/9802029
• Крейн, Луи; Йеттер, Дэвид Н. (1998), «Примеры категоризации», Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques, 39 (1): 3–25
• Мазорчук Владимир, Лекции по алгебраической категоризации, Серия мастер-классов QGM, Европейское математическое общество, arXiv:1011.0144, Bibcode:2010arXiv1011.0144M
• Дикарь, Алистер, Введение в категоризацию, arXiv:1401.6037, Bibcode:2014arXiv1401.6037S
• Хованов Михаил; Мазорчук, Владимир; Строппель, Катарина (2009), «Краткий обзор абелевых категорий», Теория Appl. Категория, 22 (19): 479–508, arXiv:math.RT / 0702746

дальнейшее чтение

• Сообщение в блоге одного из вышеперечисленных авторов (Баэз): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html.