Категория колец - Category of rings

В математика, то категория колец, обозначаемый Звенеть, это категория чьи объекты кольца (с личностью) и чей морфизмы находятся гомоморфизмы колец (которые сохраняют идентичность). Как и многие категории в математике, категория колец большой, что означает, что учебный класс всех колец правильный.

Как конкретная категория

Категория Звенеть это конкретная категория означает, что объекты наборы с дополнительной структурой (сложение и умножение) и морфизмы функции которые сохраняют эту структуру. Есть естественный забывчивый функтор

U : Звенеть → Набор

для категории колец в категория наборов который отправляет каждое кольцо в его базовый набор (таким образом «забывая» операции сложения и умножения). Этот функтор имеет левый смежный

F : Набор → Звенеть

который присваивает каждому набору Икс то бесплатное кольцо создано Икс.

Можно также рассматривать категорию колец как конкретную категорию над Ab (в категория абелевых групп ) или над Пн (в категория моноидов ). В частности, есть забывчивые функторы

А : Звенеть → Ab

M : Звенеть → Пн

которые «забывают» умножение и сложение соответственно. Оба этих функтора имеют сопряженные слева. Левый примыкающий к А является функтором, который присваивает каждому абелева группа Икс (задуманный как Z-модуль ) тензорное кольцо Т(Икс). Левый примыкающий к M является функтором, который присваивает каждому моноид Икс интеграл моноидное кольцо Z[Икс].

Характеристики

Пределы и коллимиты

Категория Звенеть оба полный и неполный, что означает, что все маленькие пределы и копределы существовать в Звенеть. Как и многие другие алгебраические категории, забывчивый функтор U : Звенеть → Набор создает (и сохраняет) пределы и отфильтрованные копределы, но не сохраняет ни побочные продукты или же соэквалайзеры. Забывчивые функторы к Ab и Пн также создавать и сохранять ограничения.

Примеры пределов и копределов в Звенеть включают:

• Кольцо целые числа Z является исходный объект в Звенеть.
• В нулевое кольцо это конечный объект в Звенеть.
• В товар в Звенеть дается прямое произведение колец. Это просто декартово произведение базовых наборов со сложением и умножением, определяемым покомпонентно.
• В копроизведение семейства колец существует и задается конструкцией, аналогичной конструкции бесплатный продукт групп. Копроизведение ненулевых колец может быть нулевым кольцом; в частности, это происходит, когда факторы относительно простой характеристика (так как характеристика копроизведения (р_я)_я∈я необходимо разделить характеристики каждого из колец р_я).
• В эквалайзер в Звенеть является просто теоретико-множественным уравнителем (уравнитель двух кольцевых гомоморфизмов всегда подкольцо ).
• В коэквалайзер двух кольцевых гомоморфизмов ж и грамм из р к S это частное из S посредством идеальный генерируется всеми элементами формы ж(р) − грамм(р) за р ∈ р.
• Для гомоморфизма колец ж : р → S то пара ядер из ж (это просто откат из ж с собой) является отношение конгруэнтности на р. Идеал, определяемый этим соотношением конгруэнтности, и есть (теоретико-кольцевой) ядро из ж. Обратите внимание, что теоретико-категориальные ядра не имеет смысла в Звенеть поскольку нет нулевые морфизмы (Смотри ниже).

Морфизмы

Основная статья: кольцевой гомоморфизм

В отличие от многих категорий, изучаемых в математике, не всегда существуют морфизмы между парами объектов в Звенеть. Это следствие того факта, что гомоморфизмы колец должны сохранять тождество. Например, нет морфизмов из нулевое кольцо 0 в любое ненулевое кольцо. Необходимое условие наличия морфизмов из р к S это то характеристика из S разделить это р.

Обратите внимание, что даже несмотря на то, что некоторые из hom-множеств пусты, категория Звенеть все еще связаны поскольку у него есть начальный объект.

Некоторые специальные классы морфизмов в Звенеть включают:

• Изоморфизмы в Звенеть являются биективный кольцевые гомоморфизмы.
• Мономорфизмы в Звенеть являются инъективный гомоморфизмы. Не всякий мономорфизм обычный тем не мение.
• Каждый сюръективный гомоморфизм является эпиморфизм в Звенеть, но обратное неверно. Включение Z → Q несюръективный эпиморфизм. Естественный гомоморфизм колец из любого коммутативного кольца р к любому из его локализации является эпиморфизмом, который не обязательно сюръективен.
• Сюръективные гомоморфизмы можно охарактеризовать как обычный или же экстремальные эпиморфизмы в Звенеть (эти два класса совпадают).
• Биморфизмы в Звенеть - инъективные эпиморфизмы. Включение Z → Q является примером биморфизма, который не является изоморфизмом.

Другие свойства

• Единственный инъективный объект в Звенеть с точностью до изоморфизма нулевое кольцо (т.е. конечный объект).
• Не хватает нулевые морфизмы, категория колец не может быть предаддитивная категория. (Однако каждое кольцо, рассматриваемое как небольшая категория с одним объектом, является предаддитивной категорией).
• Категория колец - это симметричная моноидальная категория с тензорное произведение колец ⊗_Z как моноидальное произведение и кольцо целых чисел Z как единичный объект. Это следует из Теорема Экмана – Хилтона, который моноид в Звенеть это просто коммутативное кольцо. Действие моноида (= коммутативного кольца) р на объекте (= кольцо) А из Звенеть это просто р-алгебра.

Подкатегории

Категория колец имеет ряд важных подкатегории. К ним относятся полные подкатегории из коммутативные кольца, целостные области, области главных идеалов, и поля.

Категория коммутативных колец

В категория коммутативных колец, обозначенный CRing, является полной подкатегорией Звенеть чьи объекты все коммутативные кольца. Эта категория является одним из центральных объектов изучения предмета коммутативная алгебра.

Любое кольцо можно сделать коммутативным, взяв частное посредством идеальный генерируется всеми элементами формы (ху − yx). Это определяет функтор Звенеть → CRing которое сопряжено слева с функтором включения, так что CRing это отражающая подкатегория из Звенеть. В свободное коммутативное кольцо на комплекте генераторов E это кольцо многочленов Z[E], переменные которого взяты из E. Это дает левый сопряженный функтор забывчивому функтору из CRing к Набор.

CRing закрыто по лимиту в Звенеть, что означает, что пределы в CRing такие же, как и в Звенеть. Однако коллимиты обычно разные. Их можно сформировать, взяв коммутативное отношение копределов в Звенеть. Копроизведение двух коммутативных колец дается тензорное произведение колец. Опять же, копроизведение двух ненулевых коммутативных колец может быть нулевым.

В противоположная категория из CRing является эквивалент к категория аффинных схем. Эквивалентность дается контравариантный функтор Spec, который отправляет коммутативное кольцо в его спектр, аффинное схема.

Категория полей

В категория полей, обозначенный Поле, является полной подкатегорией CRing чьи объекты поля. Категория полей не так хорошо развита, как другие алгебраические категории. В частности, свободных полей не существует (т.е. нет сопряженного слева функтора забывания Поле → Набор). Следует, что Поле является нет отражающая подкатегория CRing.

Категория полей не является ни конечно полный ни конечно не неполно. Особенно, Поле не имеет ни продуктов, ни побочных продуктов.

Еще один любопытный аспект категории полей состоит в том, что каждый морфизм является мономорфизм. Это следует из того факта, что единственные идеалы в поле F являются нулевой идеал и F сам. Затем можно просматривать морфизмы в Поле в качестве расширения полей.

Категория полей не связаны. Нет морфизмов между полями разных характеристика. Связные компоненты Поле являются полными подкатегориями характеристики п, куда п = 0 или является простое число. Каждая такая подкатегория имеет исходный объект: the основное поле характерных п (который Q если п = 0, иначе конечное поле F_п).

Связанные категории и функторы

Категория групп

Существует естественный функтор из Звенеть к категория групп, Grp, который отправляет каждое кольцо р к его группа единиц U(р) и каждый гомоморфизм колец на ограничение на U(р). Этот функтор имеет левый смежный который отправляет каждый группа грамм к целое групповое кольцо Z[грамм].

Другой функтор между этими категориями отправляет каждое кольцо р в группу подразделений матричное кольцо M₂(р), который действует на проективная прямая над кольцом П(р).

р-алгебры

Учитывая коммутативное кольцо р можно определить категорию р-Alg чьи объекты все р-алгебры и чьи морфизмы ргомоморфизмы -алгебр.

Категорию колец можно считать частным случаем. Каждое кольцо можно считать Z-алгебра - это уникальный способ. Гомоморфизмы колец - это в точности Zгомоморфизмы -алгебр. Таким образом, категория колец изоморфный в категорию Z-Alg.^[1] Многие утверждения о категории колец можно обобщить до утверждений о категории колец. р-алгебры.

Для каждого коммутативного кольца р есть функтор р-Alg → Звенеть который забывает р-модульная структура. У этого функтора есть левый сопряженный элемент, переводящий каждое кольцо А к тензорное произведение р⊗_ZА, задуманный как р-алгебра, установив р·(s⊗а) = RS⊗а.

Кольца без личности

Многие авторы не требуют, чтобы кольца имели мультипликативный тождественный элемент и, соответственно, не требуют гомоморфизма колец для сохранения тождества (если он существует). Это приводит к совершенно другой категории. Для различия мы называем такие алгебраические структуры rngs и их морфизмы rng гомоморфизмы. Категория всех рангов обозначим через Rng.

Категория колец, Звенеть, это неполный подкатегория из Rng. Оно неполное, потому что между кольцами существуют rng-гомоморфизмы, не сохраняющие тождества и, следовательно, не являющиеся морфизмами в Звенеть. Функтор включения Звенеть → Rng имеет левый сопряженный элемент, который формально присоединяет единицу к любому rng. Функтор включения Звенеть → Rng уважает пределы, но не копределы.

В нулевое кольцо служит как начальным, так и конечным объектом в Rng (то есть это нулевой объект ). Следует, что Rng, подобно Grp но в отличие от Звенеть, имеет нулевые морфизмы. Это просто гомоморфизмы rng, которые переводят все в 0. Несмотря на существование нулевых морфизмов, Rng все еще не предаддитивная категория. Поточечная сумма двух rng-гомоморфизмов, вообще говоря, не является rng-гомоморфизмом.

Существует полностью верный функтор из категории абелевы группы к Rng отправка абелевой группы в связанный значение квадратного нуля.

Бесплатные конструкции менее естественны в Rng чем они в Звенеть. Например, свободный вызов, генерируемый набором {Икс} - кольцо всех целочисленных многочленов над Икс без постоянного члена, а свободное кольцо, порожденное {Икс} это просто кольцо многочленов Z[Икс].

Рекомендации

1. Теннисон, Б. Р. (1975), Теория пучков, Серия лекций Лондонского математического общества, том 20, Cambridge University Press, стр. 74, ISBN  9780521207843.

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-60922-6.
• Мак-Лейн, Сондерс; Гаррет Биркофф (1999). Алгебра ((3-е изд.) Изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1646-2.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике 5 ((2-е изд.) Изд.). Springer. ISBN  0-387-98403-8.