Моноид (теория категорий) - Monoid (category theory)

В теория категорий, филиал математика, а моноид (или же моноидный объект, или же внутренний моноид, или же алгебра) (M, μ, η) в моноидальная категория (C, ⊗, я) является объект M вместе с двумя морфизмы

μ: M ⊗ M → M называется умножение,
η: я → M называется единица измерения,

такой, что пятиугольник диаграмма

и диаграмма юнитора

ездить. В приведенных выше обозначениях я - единичный элемент, а α, λ и ρ - соответственно ассоциативность, левая и правая единицы моноидальной категории. C.

Вдвойне комоноид в моноидальной категории C моноид в двойная категория C^op.

Предположим, что моноидальная категория C имеет симметрия γ. Моноид M в C является коммутативный когда μ о γ = μ.

Примеры

Моноидный объект в Набор, то категория наборов (с моноидальной структурой, индуцированной Декартово произведение ), это моноид в обычном понимании.
Моноидный объект в Вершина, то категория топологических пространств (с моноидальной структурой, индуцированной топология продукта ), это топологический моноид.
Моноидный объект в категории моноидов (с прямой продукт моноидов) это просто коммутативный моноид. Это легко следует из Аргумент Экмана – Хилтона.
Моноидный объект в категории полные джойн-полурешетки Как дела (с моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением) является унитальным квант.
Моноидный объект в (Ab, ⊗_Z, Z ), категория абелевых групп, это звенеть.
Для коммутативное кольцо р, моноидный объект в
- (р-Мод, ⊗_р, р), категория модулей над р, является р-алгебра.
- категория градуированные модули это оцененный р-алгебра.
- то категория сетевых комплексов из р-modules - это дифференциальная градуированная алгебра.
Моноидный объект в K-Vect, то категория K-векторные пространства (опять же с тензорным произведением), является K-алгебра, а комоноидный объект - это K-коалгебра.
Для любой категории C, категория [C,C] своего эндофункторы имеет моноидальную структуру, индуцированную композицией и тождеством функтор я_C. Моноидный объект в [C,C] это монада на C.
Для любой категории с конечные продукты, каждый объект становится комоноидным объектом через диагональный морфизм ${ displaystyle Delta _ {X}: от X до X times X}$ . Дважды в категории с конечные копроизведения каждый объект становится моноидным объектом через ${ displaystyle id_ {X} sqcup id_ {X}: X sqcup X to X}$ .