Некоммутативное кольцо - Noncommutative ring

В математика, более конкретно абстрактная алгебра и теория колец, а некоммутативное кольцо это звенеть чье умножение не коммутативный; то есть существует а и б в р с а·б ≠ б·а. Многие авторы используют термин некоммутативное кольцо для обозначения колец, которые не обязательно являются коммутативными, и, следовательно, включают коммутативные кольца в их определение. Некоммутативная алгебра является изучением результатов, применимых к кольцам, которые не должны быть коммутативными. Многие важные результаты в области некоммутативной алгебры применимы к коммутативным кольцам как частным случаям.

Хотя некоторые авторы не предполагают, что кольца обладают мультипликативной идентичностью, в этой статье мы делаем это предположение, если не указано иное.

Примеры

Ниже приведены некоторые примеры колец, которые не являются коммутативными:

• В матричное кольцо из п-от-п матрицы над действительные числа, куда п > 1,
• Гамильтона кватернионы,
• Любой групповое кольцо сделано из группы, которая не абелевский,
• Бесплатное кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$ порожденный конечным множеством; пример двух неравных элементов: ${\displaystyle 2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2}}$,
• В Алгебра Вейля ${\displaystyle A_{n}(\mathbb {C} )}$ кольцо полиномиальных дифференциальных операторов, определенных над аффинным пространством; Например, ${\displaystyle A_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \langle x,y\rangle /(xy-yx-1)}$ где идеал соответствует коммутатор,
• Факторное кольцо ${\displaystyle \mathbb {C} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})}$ где ${\displaystyle q_{ij}\in \mathbb {C} }$ называется квантовая плоскость,
• Любой Алгебра Клиффорда можно описать явно, используя представление алгебры: с учетом ${\displaystyle \mathbb {F} }$-векторное пространство ${\displaystyle V}$ измерения п с и квадратичной формой ${\displaystyle q:V\otimes V\to \mathbb {F} }$ассоциированная алгебра Клиффорда имеет представление ${\displaystyle \mathbb {F} \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i},e_{j}))}$ на любой основе ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ из ${\displaystyle V}$,
• Супералгебры являются еще одним примером некоммутативных колец; их можно представить как ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i}\theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})}$.

История

Начиная с делительные кольца возникшие из геометрии, изучение некоммутативных колец превратилось в важную область современной алгебры. Теория и изложение некоммутативных колец были расширены и уточнены в XIX и XX веках многими авторами. Неполный список таких участников включает Э. Артин, Ричард Брауэр, П. М. Кон, В. Р. Гамильтон, И. Н. Герштейн, Н. Якобсон, К. Морита, Э. Нётер, Ø. Руда и другие.

Различия между коммутативной и некоммутативной алгеброй

Поскольку некоммутативные кольца представляют собой гораздо больший класс колец, чем коммутативные кольца, их структура и поведение менее изучены. Была проделана большая работа по успешному обобщению некоторых результатов из коммутативных колец на некоммутативные кольца. Основное различие между кольцами, которые являются и не являются коммутативными, заключается в необходимости отдельно рассматривать правые идеалы и левые идеалы. Некоммутативные теоретики колец обычно навязывают условие для одного из этих типов идеалов, не требуя, чтобы оно выполнялось для противоположной стороны. Для коммутативных колец различия слева и справа не существует.

Важные классы

Делительные кольца

Основная статья: Дивизионное кольцо

Делительное кольцо, также называемое телом, представляет собой звенеть в котором разделение возможно. В частности, это ненулевой звенеть^[1] в котором каждый ненулевой элемент а имеет мультипликативный обратный, т.е. элемент Икс с а·Икс = Икс·а = 1. Другими словами, кольцо является делительным кольцом тогда и только тогда, когда группа единиц равен набору всех ненулевых элементов.

Делительные кольца отличаются от поля только в том, что их умножение не обязательно коммутативный. Однако по Маленькая теорема Веддерберна все конечные тела коммутативны и, следовательно, конечные поля. Исторически разделительные кольца иногда назывались полями, а поля назывались «коммутативными полями».

Полупростые кольца

Основная статья: Полупростое кольцо

А модуль над кольцом (не обязательно коммутативным) с единицей называется полупростым (или вполне приводимым), если оно прямая сумма из просто (неприводимые) подмодули.

Кольцо называется (слева) -полупростым, если оно полупросто как левый модуль над собой. Удивительно, но полупростое слева кольцо также полупросто справа, и наоборот. Следовательно, различие между левыми и правыми не требуется.

Полупримитивные кольца

Основная статья: Полупримитивное кольцо

Полупримитивное кольцо, или полупростое кольцо Джекобсона, или J-полупростое кольцо - это кольцо, Радикал Якобсона равно нулю. Это тип кольца более общий, чем полупростое кольцо, но где простые модули еще достаточно информации о кольце. Кольца, такие как кольцо целых чисел, полупримитивны, а артистический полупримитивное кольцо - это просто полупростое кольцо. Полупримитивные кольца можно понимать как подпрямые продукты из примитивные кольца, которые описываются Теорема плотности Джекобсона.

Простые кольца

Основная статья: Простое кольцо

Простое кольцо ненулевое звенеть который не имеет двустороннего идеальный Кроме нулевой идеал и сам. Простое кольцо всегда можно рассматривать как простая алгебра. Кольца простые, как кольца, но не как модули действительно существуют: полный матричное кольцо через поле не имеет нетривиальных идеалов (поскольку любой идеал в M (п,р) имеет вид M (п,я) с я идеал р), но имеет нетривиальные левые идеалы (а именно, наборы матриц, у которых есть фиксированные нулевые столбцы).

Согласно Теорема Артина – Веддерберна, каждое простое кольцо слева или справа Артиниан это матричное кольцо через делительное кольцо. В частности, единственные простые кольца, являющиеся конечномерными векторное пространство над действительные числа кольца матриц над действительными числами, сложные числа, или кватернионы.

Любое частное кольцо по максимальный идеал простое кольцо. В частности, поле простое кольцо. Кольцо р просто тогда и только тогда противоположное кольцо р^о это просто.

Примером простого кольца, которое не является матричным кольцом над телом, является Алгебра Вейля.

Важные теоремы

Маленькая теорема Веддерберна

Основная статья: Маленькая теорема Веддерберна

Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что каждый конечный домен это поле. Другими словами, для конечные кольца, нет различия между доменами, тела и поля.

В Теорема Артина – Цорна обобщает теорему на альтернативные кольца: каждое конечное простое альтернативное кольцо является полем.^[2]

Теорема Артина – Веддерберна

Основная статья: Теорема Артина – Веддерберна

Теорема Артина – Веддерберна - это классификационная теорема за полупростые кольца и полупростые алгебры. Теорема утверждает, что (артинов)^[3] полупростое кольцо р изоморфен товар конечного числа п_я-от-п_я матричные кольца над делительные кольца D_я, для некоторых целых чисел п_я, оба из которых однозначно определены с точностью до перестановки индекса я. В частности, любые просто влево или вправо Артинианское кольцо изоморфен п-от-п матричное кольцо через делительное кольцо D, где оба п и D однозначно определены.^[4]

Как прямое следствие из теоремы Артина – Веддерберна следует, что любое простое кольцо, конечномерное над телом (простая алгебра), является матричное кольцо. Это Джозеф Уэддерберн оригинальный результат. Эмиль Артин позже обобщил его на случай артиновых колец.

Теорема плотности Джекобсона

Основная статья: Теорема плотности Джекобсона

В Теорема плотности Джекобсона это теорема о простые модули над кольцом р.^[5]

Теорема может быть применена, чтобы показать, что любой примитивное кольцо можно рассматривать как «плотное» подкольцо кольца линейные преобразования векторного пространства.^[6][7] Эта теорема впервые появилась в литературе в 1945 году в знаменитой статье «Теория строения простых колец без предположений конечности» Натан Джейкобсон.^[8] Это можно рассматривать как своего рода обобщение Теорема Артина-Веддерберна вывод о структуре просто Артинианские кольца.

Более формально теорему можно сформулировать следующим образом:

Теорема Джекобсона о плотности. Позволять U быть простым правым р-модуль, D = Конец (U_р), и Икс ⊂ U конечный и D-линейно независимый набор. Если А это D-линейное преобразование на U тогда существует р ∈ р такой, что А(Икс) = Икс • р для всех Икс в Икс.^[9]

Лемма Накаямы

Основная статья: Лемма Накаямы

Пусть J (р) быть Радикал Якобсона из р. Если U - правый модуль над кольцом, р, и я правильный идеал в р, затем определим U·я быть набором всех (конечных) сумм элементов вида ты·я, куда · это просто действие р на U. Обязательно, U·я является подмодулем U.

Если V это максимальный подмодуль из U, тогда U/V является просто. Так U·J (р) обязательно является подмножеством V, по определению J (р) и тот факт, что U/V это просто.^[10] Таким образом, если U содержит хотя бы один (собственный) максимальный подмодуль, U·J (р) является собственным подмодулем U. Однако это не обязательно для произвольных модулей U над р, за U не обязательно содержать максимальные подмодули.^[11] Естественно, если U это Нётерян модуль, это верно. Если р нётерский, и U является конечно порожденный, тогда U является нётеровым модулем над р, и вывод доволен.^[12] Несколько примечательно то, что более слабое предположение, а именно, что U конечно порожден как р-модуль (и отсутствие предположения о конечности р), достаточно, чтобы гарантировать вывод. По сути, это утверждение леммы Накаямы.^[13]

А именно:

Лемма Накаямы: Позволять U быть конечно порожденный правый модуль над кольцом р. Если U ненулевой модуль, то U·J (р) является собственным подмодулем U.^[13]

Версия леммы верна для правых модулей над некоммутативными унитарные кольца р. Полученная теорема иногда известна как Теорема Джекобсона – Адзумая.^[14]

Некоммутативная локализация

Основная статья: Локализация кольца

Локализация - это систематический метод добавления мультипликативных инверсий к звенеть, и обычно применяется к коммутативным кольцам. Учитывая кольцо р и подмножество S, кто-то хочет построить кольцо Р* и кольцевой гомоморфизм из р к Р*, так что изображение S состоит из единицы (обратимые элементы) в Р*. Далее хочется Р* чтобы быть «наилучшим из возможных» или «наиболее общим» способом сделать это - обычно это должно быть выражено универсальная собственность. Локализация р к S обычно обозначается S ⁻¹р; однако в некоторых важных особых случаях используются другие обозначения. Если S - множество ненулевых элементов область целостности, то локализация - это поле дробей и поэтому обычно обозначается Frac (р).

Локализация некоммутативные кольца сложнее; локализация существует не для каждого набора S перспективных единиц. Одним из условий, обеспечивающих существование локализации, является Состояние руды.

Один случай для некоммутативных колец, где локализация представляет очевидный интерес, - это кольца дифференциальных операторов. Он имеет интерпретацию, например, присоединения формального обратного D⁻¹ для оператора дифференцирования D. Это делается во многих контекстах в методах для дифференциальные уравнения. В настоящее время существует большая математическая теория по этому поводу, названная микролокализация, соединяясь с множеством других ветвей. В микро- тег связан с подключениями к Теория Фурье, особенно.

Эквивалентность Морита

Основная статья: Эквивалентность Морита

Эквивалентность Морита - это отношение, определяемое между кольца который сохраняет многие теоретико-кольцевые свойства. Он назван в честь японского математика. Киити Морита который определил эквивалентность и подобное понятие двойственности в 1958 году.

Два кольца р и S (ассоциативные, с 1) называются (Морита) эквивалент если существует эквивалентность категории (левых) модулей над р, R-Mod, а категория (левых) модулей над S, S-Mod. Можно показать, что категории левого модуля R-Mod и S-Mod эквивалентны тогда и только тогда, когда правильные категории модулей Мод-Р и Mod-S эквивалентны. Далее можно показать, что любой функтор из R-Mod к S-Mod что дает эквивалентность, автоматически добавка.

Группа Брауэра

Основная статья: Группа Брауэра

Группа Брауэра поле K является абелева группа чьи элементы Эквивалентность Морита классы центральные простые алгебры конечного ранга над K а сложение индуцируется тензорное произведение алгебр. Это возникло из попыток классифицировать алгебры с делением над полем и назван в честь алгебраиста Ричард Брауэр. Группа также может быть определена с точки зрения Когомологии Галуа. В более общем смысле, группа Брауэра схема определяется в терминах Адзумая алгебры.

Состояние руды

Основная статья: Состояние руды

Условие Оре - это условие, введенное Øystein Ore, в связи с вопросом о выходе за пределы коммутативные кольца строительство поле дробей, или в более общем смысле локализация кольца. В правильное состояние руды для мультипликативное подмножество S из звенеть р это для а ∈ р и s ∈ S, пересечение так как ∩ sR ≠ ∅.^[15] Область, удовлетворяющая правильному условию Оре, называется Правый домен руды. Левый случай определяется аналогично.

Теорема Голди

Основная статья: Теорема Голди

В математика, Теорема Голди это основной структурный результат в теория колец, доказано Альфред Голди в течение 1950-х гг. То, что сейчас называется правом Кольцо Goldie это звенеть р который имеет конечный единый размер (также называемый «конечным рангом») как правый модуль над собой и удовлетворяет условие возрастающей цепи на правом аннигиляторы подмножеств р.

Теорема Голди утверждает, что полупервичный правильные кольца Goldie - это именно те, которые имеют полупростой Артиниан верно классическое кольцо частных. Тогда структура этого кольца частных полностью определяется Теорема Артина – Веддерберна.

В частности, теорема Голди применяется к полупервичным правым Нётерские кольца, так как по определению нётеровы справа кольца удовлетворяют условию возрастающей цепи на все правильные идеалы. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что правое нётерское кольцо - правильное Голди. Обратное неверно: каждое право Рудный домен - правая область Голди, а значит, и всякая коммутативная область целостности.

Следствием теоремы Голди, опять же благодаря Голди, является то, что каждое полупервичное число кольцо главных правых идеалов изоморфна конечной прямой сумме основной кольца главных правых идеалов. Каждое кольцо первичных главных правых идеалов изоморфно кольцу матричное кольцо над правым доменом Ore.

Смотрите также

• Производная алгебраическая геометрия
• Некоммутативная алгебраическая геометрия
• Некоммутативный гармонический анализ
• Теория представлений (теория групп)

Примечания

1. В этой статье кольца имеют цифру 1.
2. Шульт, Эрнест Э. (2011). Точки и линии. Описание классической геометрии. Universitext. Берлин: Springer-Verlag. п. 123. ISBN  978-3-642-15626-7. Zbl  1213.51001.
3. Полупростые кольца обязательно Артинианские кольца. Некоторые авторы используют термин «полупростой», чтобы обозначить, что кольцо имеет тривиальный Радикал Якобсона. Для артиновых колец эти два понятия эквивалентны, поэтому здесь включено «артиново», чтобы устранить эту двусмысленность.
4. Джон А. Бичи (1999). Вводные лекции по кольцам и модулям. Издательство Кембриджского университета. п.156. ISBN  978-0-521-64407-5.
5. Айзекс, стр. 184
6. Такие кольца линейных преобразований также известны как полные линейные кольца.
7. Айзекс, следствие 13.16, стр. 187
8. Якобсон 1945
9. Айзекс, теорема 13.14, с. 185
10. Айзекс 1993, п. 182
11. Айзекс 1993, п. 183
12. Айзекс 1993, Теорема 12.19, с. 172
13. Айзекс 1993, Теорема 13.11, с. 183
14. Нагата 1962, §A2
15. Кон, П. М. (1991). «Глава 9.1». Алгебра. Vol. 3 (2-е изд.). п. 351.

Рекомендации

• Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, аспирантура (1-е изд.), Брукс / Коул, ISBN  0-534-19002-2
• Якобсон, Н. (1945), "Структурная теория простых колец без предположений конечности", Труды Американского математического общества, 57: 228–245, Дои:10.2307/1990204, JSTOR  1990204
• Нагата, М. (1962), Местные кольца, Wiley-Interscience

дальнейшее чтение

• Герштейн, И. (1968), Некоммутативные кольца, Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-015-X
• Лам, Т. Я. (2001), Первый курс в некоммутативных кольцах, Springer-Verlag