Первобытное кольцо - Primitive ring

В филиале абстрактная алгебра известный как теория колец, а левое примитивное кольцо это звенеть который имеет верный просто оставили модуль. Хорошо известные примеры включают кольца эндоморфизмов из векторные пространства и Алгебры Вейля над поля из характеристика нуль.

Определение

Кольцо р считается левое примитивное кольцо если у него есть верный просто оставили р-модуль. А правое примитивное кольцо определяется аналогично с правой р-модули. Есть кольца, которые с одной стороны примитивны, а с другой - нет. Первый пример был построен Джордж М. Бергман в (Бергман 1964 ). Другой пример, найденный Джатегаонкаром, показывающий различие, можно найти в (Роуэн и 1988, стр.159. ).

Внутренняя характеристика левых примитивных колец такова: кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда существует максимальный левый идеал не содержащий ненулевых двусторонних идеалы. Аналогичное определение для правых примитивных колец также верно.

Структура левых примитивных колец полностью определяется Теорема плотности Джекобсона: Кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда оно изоморфный к плотный подкольцо из кольцо эндоморфизмов из левое векторное пространство через делительное кольцо.

Другое эквивалентное определение гласит, что кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда оно является первичное кольцо с верным левым модулем конечная длина (Лам 2001, Бывший. 11.19, с. 191 ).

Характеристики

Односторонние примитивные кольца оба полупримитивные кольца и основные кольца. Поскольку кольцо продукта двух или более ненулевых колец не является первичным, ясно, что произведение примитивных колец никогда не бывает примитивным.

Для левого Артинианское кольцо, известно, что условия "левый примитив", "правый примитив", "простой" и "просто "все эквивалентны, и в данном случае это полупростое кольцо изоморфен квадрату матричное кольцо над делительным кольцом. В более общем смысле, в любом кольце с минимальным односторонним идеалом "левый примитив" = "правый примитив" = "простой".

А коммутативное кольцо остается примитивным тогда и только тогда, когда это поле.

Оставаться примитивным - это Инвариантное свойство Мориты.

Примеры

Каждые простое кольцо р с единицей является и левым, и правым примитивом. (Однако простое неунитарное кольцо может не быть примитивным.) Это следует из того факта, что р имеет максимальный левый идеал M, и тот факт, что модуль частного р/M простой левый р-модуль, и что его аннигилятор является собственным двусторонним идеалом в р. С р является простым кольцом, этот аннигилятор равен {0} и, следовательно, р/M верный левый р-модуль.

Алгебры Вейля над полями характеристика ноль примитивны, и поскольку они домены, это примеры без минимальных односторонних идеалов.

Полные линейные кольца

Частным случаем примитивных колец является случай полные линейные кольца. А левое полное линейное кольцо кольцо все линейные преобразования бесконечномерного левого векторного пространства над телом. (А правое полное линейное кольцо отличается тем, что вместо этого используется правое векторное пространство.) В символах ${ Displaystyle R = mathrm {End} (_ {D} V)}$ куда V векторное пространство над телом D. Известно, что р является полным линейным слева кольцом тогда и только тогда, когда р является фон Нейман регулярный, левый самоинъективный с цоколь soc (_рр) ≠ {0}. (Goodearl 1991, п. 100) Через линейная алгебра аргументы, можно показать, что ${ Displaystyle mathrm {Конец} (_ {D} V) ,}$ изоморфно кольцу строковые конечные матрицы ${ Displaystyle mathbb {RFM} _ {I} (D) ,}$ , куда я набор индексов, размер которого равен измерению V над D. Аналогичным образом правые полные линейные кольца могут быть реализованы как конечные по столбцам матрицы над D.

Используя это, мы можем видеть, что существуют непростые левые примитивные кольца. По характеристике плотности Джекобсона полное линейное слева кольцо р всегда остается примитивным. Когда тусклый_DV конечно р кольцо квадратных матриц над D, но когда тусклый_DV бесконечна, множество линейных преобразований конечного ранга является собственным двусторонним идеалом р, и поэтому р не просто.

Смотрите также

примитивный идеал