Модуль частных - Quotient module

В алгебра, учитывая модуль и подмодуль, можно построить их модуль частного.^[1][2] Эта конструкция, описанная ниже, очень похожа на конструкцию фактор-векторное пространство. Он отличается от аналогичных факторных построений кольца и группы тем фактом, что в этих случаях подпространство, которое используется для определения частного, не имеет той же природы, что и объемлющее пространство (то есть кольцо частного является фактором кольца по идеальный, а не подкольцо, а факторгруппа является фактором группы по нормальная подгруппа, а не генерал подгруппа ).

Учитывая модуль А над кольцом р, и подмодуль B из А, то факторное пространство А/B определяется отношение эквивалентности

${\displaystyle a\sim b}$ если и только если ${\displaystyle b-a\in B,}$

для любого а и б в А. Элементы А/B являются классы эквивалентности [а] = а + B = {а + б : б в B}. В функция π: А → А/B отправка а в А своему классу эквивалентности а + B называется факторная карта или карта проекции, и является модульный гомоморфизм.

В добавление операция на А/B для двух классов эквивалентности определяется как класс эквивалентности суммы двух представителей этих классов; и скалярное умножение элементов А/B элементами р определяется аналогично. Обратите внимание, что необходимо показать, что эти операции четко определены. потом А/B сам становится р-модуль, называемый модуль частного. В символах (а + B) + (б + B): = (а + б) + B, и р · (а + B) := (р · а) + B, для всех а, б в А и р в р.

Примеры

Рассмотрим кольцо р из действительные числа, а р-модуль А = р[Икс], это кольцо многочленов с действительными коэффициентами. Рассмотрим подмодуль

B = (Икс² + 1) р[Икс]

из А, то есть подмодуль всех многочленов, делящихся на Икс² + 1. Отсюда следует, что определяемое этим модулем отношение эквивалентности будет

п(Икс) ~ Q(Икс) если и только если п(Икс) и Q(Икс) дают тот же остаток при делении на Икс² + 1.

Следовательно, в фактор-модуле А/B, Икс² + 1 то же самое, что 0; так что можно посмотреть А/B как получено из р[Икс] установив Икс² + 1 = 0. Этот фактор-модуль является изоморфный к сложные числа, рассматриваемый как модуль над действительными числами р.

Смотрите также

• Факторная группа
• Факторное кольцо
• Фактор (универсальная алгебра)

Рекомендации

1. Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-43334-9.
2. Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN  0-387-95385-X.