Аннигилятор (теория колец) - Annihilator (ring theory)

В математика, конкретно теория модулей, то аннигилятор из модуль, или подмножество модуля - понятие, обобщающее кручение и ортогональность. Короче, для коммутативные кольца, аннигилятор модуля ${\displaystyle M}$ над кольцом ${\displaystyle R}$ это набор элементов в ${\displaystyle R}$ которые всегда действуют как умножение на ${\displaystyle 0}$ на ${\displaystyle M}$. Типичный пример аннулятора над коммутативным кольцом можно понять, взяв фактор-кольцо ${\displaystyle R/I}$ и рассматривая это как ${\displaystyle R}$-модуль. Тогда аннигилятор ${\displaystyle R/I}$ это идеальный ${\displaystyle I}$ поскольку все ${\displaystyle i\in I}$ действовать через нулевую карту на ${\displaystyle R/I}$. Это показывает, как идеальный ${\displaystyle I}$ можно представить как набор элементов кручения в базовом кольце ${\displaystyle R}$ для модуля ${\displaystyle R/I}$. Также обратите внимание, что любой элемент ${\displaystyle r\in R}$ это не в ${\displaystyle I}$ будет иметь ненулевое действие в модуле ${\displaystyle R/I}$, подразумевая набор ${\displaystyle R-I}$ можно рассматривать как набор ортогональных элементов к идеальному ${\displaystyle I}$.

За некоммутативные кольца ${\displaystyle R}$, существует аналогичное понятие аннулятора для левого и правого модулей, называемое левый аннигилятор и правый аннигилятор.

Определения

Позволять р быть звенеть, и разреши M быть левым р-модуль. Выберите непустой подмножество S из M. В аннигилятор из S, обозначается Ann_р(S), - это множество всех элементов р в р такое, что для всех s в S, RS = 0.^[1] В установленных обозначениях

${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid \forall s\in S:\,rs=0\}}$

Это совокупность всех элементов р что "уничтожить" S (элементы, для которых S - торсионное множество). Подмножества правых модулей также можно использовать после модификации "SR = 0"в определении.

Аннигилятор одного элемента Икс обычно пишется Энн_р(Икс) вместо Ann_р({Икс}). Если кольцо р можно понять из контекста, нижний индекс р можно не указывать.

С р является модулем над собой, S может рассматриваться как подмножество р сам, а так как р и правый, и левый р модуль, обозначения необходимо немного изменить, чтобы указать левую или правую сторону. Обычно ${\displaystyle \ell .\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}$ и ${\displaystyle r.\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}$ или другая подобная схема индексов используется для различения левого и правого аннигиляторов, если необходимо.

Если M является р-модуль и Анна_р(M) = 0, тогда M называется верный модуль.

Характеристики

Если S является подмножеством левого р модуль M, затем Ann (S) является левым идеальный из р.^[2]

Если S это подмодуль из M, затем Энн_р(S) даже двусторонний идеал: (ac)s = а(cs) = 0, так как cs это еще один элемент S.^[3]

Если S это подмножество M и N подмодуль M создано S, то вообще Энн_р(N) является подмножеством Ann_р(S), но они не обязательно равны. Если р является коммутативный, то имеет место равенство.

M можно также рассматривать как р/Анна_р(M) -модуль, использующий действие ${\displaystyle {\overline {r}}m:=rm\,}$. Кстати, не всегда удается сделать р модуль в р/я модуль таким образом, но если идеальный я является подмножеством аннулятора M, то это действие хорошо определено. Считается р/Анна_р(M) -модуль, M автоматически является верным модулем.

Для коммутативных колец

В этом разделе пусть ${\displaystyle R}$ коммутативное кольцо и ${\displaystyle M}$ а конечный ${\displaystyle R}$-модуль.

Отношение к поддержке

Напомним, что поддержка модуля определяется как

${\displaystyle {\text{Supp}}(M)=\{{\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)|M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}}$

Тогда, когда модуль конечно порожден, имеет место соотношение

${\displaystyle V({\text{Ann}}_{R}(M))={\text{Supp}}(M)}$

куда ${\displaystyle V(\cdot )}$ - множество простых идеалов, содержащих подмножество.^[4]

Короткие точные последовательности

Учитывая короткую точную последовательность модулей

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

свойство поддержки

${\displaystyle {\text{Supp}}(M)={\text{Supp}}(M')\cup {\text{Supp}}(M'')}$^[5]

вместе с отношением к аннигилятору следует

${\displaystyle V({\text{Ann}}_{R}(M))=V({\text{Ann}}_{R}(M'))\cup V({\text{Ann}}_{R}(M''))}$

Следовательно

${\displaystyle {\text{Ann}}_{R}(M)={\text{Ann}}_{R}(M')\cap {\text{Ann}}_{R}(M'')}$

Может применяться для вычисления аннулятора прямой суммы модулей, как

${\displaystyle {\text{Ann}}_{R}\left(\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}\right)=\bigcap _{i=1}^{n}{\text{Ann}}_{R}(M_{i})}$

Факторные модули и аннигиляторы

Учитывая идеал ${\displaystyle I\subseteq R}$ и разреши ${\displaystyle M}$ - конечный модуль, то существует соотношение

${\displaystyle {\text{Supp}}(M/IM)={\text{Supp}}(M)\cap V(I)}$

на опоре. Используя отношение к опоре, это дает связь с аннигилятором^[6]

${\displaystyle V({\text{Ann}}_{R}(M/IM))=V({\text{Ann}}_{R}(M))\cap V(I)}$

Аннигилятор частного кольца

В частности, если ${\displaystyle M=R}$ тогда аннигилятор ${\displaystyle R/I}$ можно найти явно с помощью

${\displaystyle {\begin{aligned}V({\text{Ann}}_{R}(R/I))&=V((0))\cap V(I)\\&=V(I)\end{aligned}}}$

Следовательно, аннигилятор ${\displaystyle R/I}$ просто ${\displaystyle I}$.

Примеры

Над целыми числами

Над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ любой конечно порожденный модуль полностью классифицируется как прямая сумма его свободной части с его крутильной частью из основной теоремы абелевых групп. Тогда аннулятор конечного модуля нетривиален только в том случае, если он целиком является торсионным. Это потому что

${\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ^{\oplus k})=\{0\}=(0)}$

поскольку единственный элемент, убивающий каждого из ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ является ${\displaystyle 0}$. Например, аннигилятор ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3}$ является

${\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}}(2,3))}$

идеал, порожденный ${\displaystyle (6)}$. Фактически аннигилятор торсионного модуля

${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathbb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}}$

изоморфен идеалу, порожденному их наименьшим общим кратным, ${\displaystyle ({\text{lcm}}(a_{1},\ldots ,a_{n}))}$. Это показывает, что аннигиляторы можно легко классифицировать по целым числам.

Над коммутативным кольцом р

Фактически, аналогичные вычисления могут быть выполнены для любого конечного модуля над коммутативным кольцом. ${\displaystyle R}$. Напомним, что определение конечности ${\displaystyle M}$ следует, что существует точная справа последовательность, называемая представлением, заданная формулой

${\displaystyle R^{\oplus l}\xrightarrow {\phi } R^{\oplus k}\to M\to 0}$

куда ${\displaystyle \phi }$ в ${\displaystyle {\text{Mat}}_{k,l}(R)}$. Письмо ${\displaystyle \phi }$ явно как матрица дает это как

${\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,n}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{n,1}&\cdots &\phi _{n,n}\end{bmatrix}}}$

следовательно ${\displaystyle M}$ имеет разложение в прямую сумму

${\displaystyle M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,n}(1))}}}$

Если мы запишем каждый из этих идеалов как

${\displaystyle I_{i}=(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,n}(1))}$

тогда идеал ${\displaystyle I}$ данный

${\displaystyle V(I)=\bigcup _{i=1}^{n}V(I_{i})}$

представляет аннигилятор.

Над k[Икс,у]

Над коммутативным кольцом ${\displaystyle k[x,y]}$ для поля ${\displaystyle k}$, аннигилятор модуля

${\displaystyle M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}}$

дается идеалом

${\displaystyle {\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3))}$

Цепные условия на аннигиляторные идеалы

В решетка идеалов формы ${\displaystyle \ell .\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}$ куда S это подмножество р составляют полная решетка когда частично заказанный по включению. Интересно изучить кольца, для которых эта решетка (или ее правый аналог) удовлетворяет условию условие возрастающей цепи или же состояние нисходящей цепочки.

Обозначим решетку левых аннуляторных идеалов р в качестве ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ и решетка правых аннуляторных идеалов р в качестве ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$. Известно, что ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ удовлетворяет требованиям A.C.C. если и только если ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ удовлетворяет D.C.C. и симметрично ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ удовлетворяет требованиям A.C.C. если и только если ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ удовлетворяет требованиям D.C.C. Если любая из решеток имеет одно из этих цепных условий, то р не имеет бесконечных ортогональных наборов идемпотенты. (Андерсон и 1992 г., стр. 322 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFAnderson1992, _p.322 (помощь) (Лам 1999 )

Если р кольцо, для которого ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ удовлетворяет требованиям A.C.C. и _рр имеет конечный единый размер, тогда р называется левым Кольцо Goldie. (Лам 1999 )

Теоретико-категориальное описание коммутативных колец

Когда р коммутативен и M является р-модуль, мы можем описать Энн_р(M) как ядро карты действий р → Конец_р(M) определяется дополнительная карта идентичности M → M вдоль Hom-тензорное присоединение.

В более общем плане, учитывая билинейная карта модулей ${\displaystyle F\colon M\times N\to P}$, аннигилятор подмножества ${\displaystyle S\subseteq M}$ это набор всех элементов в ${\displaystyle N}$ что уничтожить ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle \operatorname {Ann} (S):=\{n\in N\mid \forall s\in S:F(s,n)=0\}.}$

Наоборот, учитывая ${\displaystyle T\subseteq N}$, можно определить аннигилятор как подмножество ${\displaystyle M}$.

Аннигилятор дает Связь Галуа между подмножествами ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, и связанные оператор закрытия сильнее, чем пролет. В частности:

• аннигиляторы - это подмодули
• ${\displaystyle \operatorname {Span} (S)\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)}$

Важным частным случаем является наличие невырожденная форма на векторное пространство, особенно внутренний продукт: тогда аннигилятор, связанный с картой ${\displaystyle V\times V\to K}$ называется ортогональное дополнение.

Связь с другими свойствами колец

Учитывая модуль M над нётеровым коммутативным кольцом р, главный идеал р который является аннулятором ненулевого элемента M называется связанный премьер из M.

• Аннигиляторы используются для определения левого Кольца рикарт и Кольца Baer.
• Набор (слева) делители нуля D_S из S можно записать как

${\displaystyle D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{\mathrm {Ann} _{R}\,(x)}.}$

(Здесь мы позволяем нулю быть делителем нуля.)

Особенно D_р - множество (левых) делителей нуля р принимая S = р и р действует как левый р-модуль.

• Когда р коммутативен и Нётерян, набор ${\displaystyle D_{R}}$ в точности равна союз из связанные простые числа из р-модуль р.

Смотрите также

• Цоколь
• Поддержка модуля

Примечания

1. Пирс (1982), стр. 23.
2. Доказательство: если а и б оба уничтожают S, то для каждого s в S, (а + б)s = в качестве + bs = 0, и для любого р в р, (ра)s = р(в качестве) = р0 = 0.
3. Пирс (1982), стр. 23, лемма b, п. (I).
4. «Лемма 10.39.5 (00L2) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-05-13.
5. «Лемма 10.39.9 (00L3) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-05-13.
6. «Лемма 10.39.9 (00L3) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-05-13.

Рекомендации

• Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Тексты для выпускников по математике, 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, Дои:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN  0-387-97845-3, МИСТЕР  1245487
• Израиль Натан Херштейн (1968) Некоммутативные кольца, Математические монографии Каруса #15, Математическая ассоциация Америки, стр. 3.
• Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 228–232, Дои:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN  978-0-387-98428-5, МИСТЕР  1653294
• Ричард С. Пирс. Ассоциативные алгебры. Тексты для выпускников по математике, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982 г., ISBN  978-0-387-90693-5