Набор (математика) - Set (mathematics)

Эта статья посвящена тому, что математики называют «интуитивной» или «наивной» теорией множеств. Для более подробной информации см. Наивная теория множеств. Для строгого современного аксиоматический обработка наборов см. Теория множеств.

Набор многоугольников в Диаграмма Эйлера

В математика, а набор представляет собой четко определенный набор отчетливый объекты, рассматриваемые как объект согласно своему праву.^[1][2] Расположение предметов в наборе значения не имеет. Набор можно обозначить, поместив его объекты между парой фигурных скобок. Например, числа 2, 4 и 6 - разные объекты, если рассматривать их по отдельности; если рассматривать их вместе, они образуют единый набор размера три, записанный как {2, 4, 6}, который также может быть записан как {2, 6, 4}, {4, 2, 6}, {4, 6, 2}, {6, 2, 4} или {6, 4, 2}.^[3] Множества также можно обозначать заглавными буквами римские буквы в курсив Такие как ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$.^[4][5]

Понятие множества - одно из самых фундаментальных в математике.^[6] Разработанный в конце 19 века,^[7] то теория множеств теперь является повсеместной частью математики и может использоваться как Фонд из которого может быть выведена почти вся математика.^[6]

Этимология

Немецкое слово Менге, переведенный как "набор" на английском языке, был придуман Бернар Больцано в его работе Парадоксы бесконечного.^[8][9][10]

Определение

Отрывок с переводом определения оригинальной постановки Георга Кантора. Немецкое слово Менге за набор переводится с совокупность здесь.

Набор - это четко определенный набор различных объектов.^[1][2] Объекты, составляющие набор (также известные как набор элементы или же члены)^[11] может быть что угодно: числа, люди, буквы алфавита, другие наборы и так далее.^[12] Георг Кантор, один из основоположников теории множеств, дал следующее определение множества в начале своей Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:^[13]

Набор - это совокупность определенных, отличных объектов нашего восприятия [Anschauung] или нашей мысли, которые называются элементами набора.

Множества условно обозначают заглавные буквы.^[14][15][4] Наборы А и B равны если и только если у них точно такие же элементы.^[16]

По техническим причинам определение Кантора оказалось неадекватным; сегодня, когда требуется большая строгость, можно использовать аксиоматическая теория множеств, в котором понятие «множество» принимается за примитивное понятие, а свойства наборов определяются набором аксиомы.^[17] Самыми основными свойствами являются то, что набор может иметь элементы, и что два набора равны (одно и то же) тогда и только тогда, когда каждый элемент каждого набора является элементом другого; это свойство называется протяженность наборов.^[18]

Установить обозначение

Основная статья: Установить обозначение

Существует два распространенных способа описания или указания членов набора: нотация реестра и обозначение конструктора наборов.^[19][20] Это примеры экстенсиональные и интенсиональные определения наборов соответственно.^[21]

Обозначение ростера

В Обозначение ростера (или же нумерация) метод определения набора состоит из перечисления каждого члена набора.^[19][22][23] В частности, в обозначении реестра (пример экстенсиональное определение ),^[21] набор обозначается заключением списка членов в фигурные скобки:

А = {4, 2, 1, 3}

B = {синий, белый, красный}.

Для наборов с большим количеством элементов перечисление элементов может быть сокращено.^[24][25] Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть указан в записи реестра как

{1, 2, 3, ..., 1000},

где многоточие ("...") указывает, что список продолжается в соответствии с продемонстрированным шаблоном.^[24]

В нотации реестра повторное перечисление члена не приводит к изменению набора, например, набор {11, 6, 6} идентичен набору {11, 6}.^{[26][неудачная проверка ]} Более того, порядок, в котором перечислены элементы набора, не имеет значения (в отличие от последовательность или же кортеж ), так что {6, 11} снова то же самое множество.^[26][5]

Обозначение конструктора множеств

Основная статья: Обозначение конструктора множеств

В обозначение построителя множеств, набор определяется как выбор из большего набора, определяемый условием, включающим элементы.^[27][28] Например, набор F можно указать следующим образом:

${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{ is an integer, and }}0\leq n\leq 19\}.}$

В этих обозначениях вертикальная полоса ("|") означает "такой, что", и описание можно интерпретировать как "F это набор всех чисел п, так что п является целым числом в диапазоне от 0 до 19 включительно ". Иногда двоеточие (":") используется вместо вертикальной черты.^[29]

Обозначение конструктора множеств является примером содержательное определение.^[21]

Другие способы определения множеств

Другой метод определения набора - использование правила или семантического описания:^[30]

А это множество, членами которого являются первые четыре положительных целые числа.

B это набор цветов Французский флаг.

Это еще один пример содержательное определение.^[21]

Членство

Основная статья: Элемент (математика)

Если B это набор и Икс является одним из объектов B, это обозначается как Икс ∈ B, и читается как «x является элементом B», как «x принадлежит B» или «x находится в B».^[31] Если у не является членом B тогда это записывается как у ∉ B, читается как «y не является элементом B» или «y не входит в B».^[32][4][33]

Например, относительно множеств А = {1, 2, 3, 4}, B = {синий, белый, красный} и F = {п | п является целым числом и 0 ≤ п ≤ 19},

4 ∈ А и 12 ∈ F; и

20 ∉ F и зеленый ∉ B.

Подмножества

Основная статья: Подмножество

Если каждый элемент множества А также в B, тогда А считается подмножество из B, написано А ⊆ B (произносится A содержится в B).^[34] Эквивалентно можно написать B ⊇ А, читать как B - надмножество A, B включает A, или же B содержит A.^[35][4] В отношение между множествами, установленными, называется включение или же сдерживание. Два набора равны, если они содержат друг друга: А ⊆ B и B ⊆ А эквивалентно А = B.^[27]

Если А это подмножество B, но не равно B, тогда А называется правильное подмножество из B, написано А ⊊ B, или просто А ⊂ B^[34] (A - собственное подмножество B), или же B ⊋ А (B является собственным надмножеством A, B ⊃ А).^[4]

Выражения А ⊂ B и B ⊃ А по-разному используются разными авторами; некоторые авторы используют их для обозначения того же, что и А ⊆ B^[36][32] (соответственно B ⊇ А), тогда как другие используют их для обозначения того же, что и А ⊊ B^[34] (соответственно B ⊋ А).

А это подмножество из B

Примеры:

• Набор всех людей - это правильное подмножество всех млекопитающих.
• {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Есть уникальный набор без участников,^[37] называется пустой набор (или нулевой набор), который обозначается символом ∅ или {} (используются другие обозначения; см. пустой набор ).^[4] Пустой набор - это подмножество каждого набора,^[38] и каждый набор является подмножеством самого себя:^[39]

• ∅ ⊆ А.
• А ⊆ А.

Перегородки

Основная статья: Перегородка набора

А раздел набора S это набор непустых подмножеств S, так что каждый элемент Икс в S находится ровно в одном из этих подмножеств. То есть подмножества попарно непересекающиеся (то есть любые два набора раздела не содержат общих элементов), а союз всех подмножеств разбиения S.^[40][41]

Наборы мощности

Основная статья: Набор мощности

Силовой набор из набора S - это множество всех подмножеств S.^[27] Силовой комплект содержит S само и пустое множество, потому что они оба являются подмножествами S. Например, набор мощности набора {1, 2, 3} равен {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2 }, {3}, ∅}. Силовой набор из набора S обычно пишется как п(S).^{[27][42][4][5]}

Множество степеней конечного множества с п элементов имеет 2^п элементы.^[43] Например, набор {1, 2, 3} содержит три элемента, а показанный выше набор мощности содержит 2³ = 8 элементов.

Набор мощности бесконечен (либо счетный или же бесчисленный ) множество всегда бесчисленное множество. Более того, набор степеней набора всегда строго «больше», чем исходный набор, в том смысле, что невозможно объединить в пары каждый элемент S ровно с одним элементом п(S). (На карте никогда не бывает сюрприз из S на п(S).)^[44]

Мощность

Основная статья: Мощность

Мощность набора S, обозначенный |S|, - количество членов S.^[45] Например, если B = {синий, белый, красный}, тогда |B| = 3. Повторные участники в реестровой записи не учитываются,^[46][47] так |{синий, белый, красный, синий, белый}| = 3, тоже.

Мощность пустого множества равна нулю.^[48]

В некоторых наборах есть бесконечный мощность. Набор N из натуральные числа, например, бесконечно.^[27] Некоторые бесконечные мощности больше других. Например, набор действительные числа имеет большую мощность, чем набор натуральных чисел.^[49] Однако можно показать, что мощность прямая линия (т. е. количество точек на линии) такое же, как мощность любого сегмент этой линии, всего самолет, да и вообще любого конечномерный Евклидово пространство.^[50]

Специальные наборы

В натуральные числа ℕ содержатся в целые числа ℤ, которые содержатся в рациональное число ℚ, которые содержатся в действительные числа ℝ, которые содержатся в сложные числа ℂ

Есть некоторые множества или виды множеств, которые имеют большое математическое значение и упоминаются с такой регулярностью, что получили специальные имена и условные обозначения для их идентификации. Один из них - пустой набор, обозначается {} или ∅.^[51][4] Набор ровно с одним элементом, Икс, это набор единиц, или singleton, {Икс};^[16] последний обычно отличается от Икс.^[52]

Многие из этих наборов выделены жирным шрифтом (например, п) или же классная доска жирным шрифтом (например, ℙ) шрифт.^[53] К ним относятся:^[4]

• п или ℙ, обозначающий набор всех простые числа: п = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}.^[54]
• N или ℕ, обозначающий набор всех натуральные числа: N = {0, 1, 2, 3, ...} (иногда определяется за исключением 0).^[53]
• Z или ℤ, обозначающий набор всех целые числа (положительный, отрицательный или нулевой): Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.^[53]
• Q или ℚ, обозначающий набор всех рациональное число (то есть набор всех правильный и неправильные дроби ): Q = {а/б | а, б ∈ Z, б ≠ 0}. Например, 1/4 ∈ Q и 11/6 ∈ Q. Все целые числа находятся в этом наборе, поскольку каждое целое число а можно выразить как дробь а/1 (Z ⊊ Q).^[53]
• р или ℝ, обозначающий набор всех действительные числа. В этот набор входят все рациональные числа вместе со всеми иррациональный числа (то есть алгебраические числа которые нельзя переписать в виде дробей, таких как √2, а также трансцендентные числа Такие как π, е ).^[53]
• C или ℂ, обозначающий набор всех сложные числа: C = {а + би | а, б ∈ р}. Например, 1 + 2я ∈ C.^[53]
• ЧАС или ℍ, обозначающий набор всех кватернионы: ЧАС = {а + би + cj + dk | а, б, c, d ∈ р}. Например, 1 + я + 2j − k ∈ ЧАС.^[55]

Дальнейшая информация: Blackboard_bold § Использование

Каждый из приведенных выше наборов чисел имеет бесконечное количество элементов, и каждый может рассматриваться как надлежащее подмножество наборов, перечисленных ниже. Простые числа используются реже, чем другие, за пределами теория чисел и связанные области.

Положительные и отрицательные множества иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, ℚ⁺ представляет собой набор положительных рациональных чисел.

Основные операции

Основная статья: Алгебра множеств

Есть несколько основных операций для построения новых множеств из заданных множеств.

Союзы

В союз из А и B, обозначенный А ∪ B

Основная статья: Союз (теория множеств)

Два набора можно «сложить» вместе. В союз из А и B, обозначаемый А ∪ B,^[4] это набор всего, что входит в А или же B.

Примеры:

• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Некоторые основные свойства союзов:

• А ∪ B = B ∪ А.
• А ∪ (B ∪ C) = (А ∪ B) ∪ C.
• А ⊆ (А ∪ B).
• А ∪ А = А.
• А ∪ ∅ = А.
• А ⊆ B если и только если А ∪ B = B.

Перекрестки

Основная статья: Пересечение (теория множеств)

Новый набор также можно построить, определив, какие элементы у двух наборов «общие». В пересечение из А и B, обозначаемый А ∩ B,^[4] это набор всех вещей, которые являются членами обоих А и B. Если А ∩ B = ∅, тогда А и B как говорят непересекающийся.

В пересечение из А и B, обозначенный А ∩ B.

Примеры:

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

Некоторые основные свойства перекрестков:

• А ∩ B = B ∩ А.
• А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C.
• А ∩ B ⊆ А.
• А ∩ А = А.
• А ∩ ∅ = ∅.
• А ⊆ B если и только если А ∩ B = А.

Дополнения

В относительное дополнение
из B в А

В дополнять из А в U

В симметричная разница из А и B

Основная статья: Дополнение (теория множеств)

Два набора также можно «вычесть». В относительное дополнение из B в А (также называемый теоретико-множественная разница из А и B), обозначаемый А \ B (или же А − B),^[4] это набор всех элементов, входящих в А, но не члены B. Допустимо «вычесть» элементы набора, которых нет в наборе, например, удаление элемента зеленый из набора {1, 2, 3}; это не повлияет на элементы в наборе.

В определенных условиях все обсуждаемые наборы считаются подмножествами заданного универсальный набор U. В таких случаях, U \ А называется абсолютное дополнение или просто дополнять из А, и обозначается А′ Или A^c.^[4]

• А′ = U \ А

Примеры:

• {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
• {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
• Если U это набор целых чисел, E набор четных целых чисел, а О - множество нечетных целых чисел, то U \ E = E′ = О.

Некоторые основные свойства дополнений включают следующее:

• А \ B ≠ B \ А за А ≠ B.
• А ∪ А′ = U.
• А ∩ А′ = ∅.
• (А′)′ = А.
• ∅ \ А = ∅.
• А \ ∅ = А.
• А \ А = ∅.
• А \ U = ∅.
• А \ А′ = А и А′ \ А = А′.
• U′ = ∅ и ∅′ = U.
• А \ B = А ∩ B′.
• если А ⊆ B тогда А \ B = ∅.

Продолжением дополнения является симметричная разница, определенный для множеств А, B в качестве

${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}$

Например, симметричная разность {7, 8, 9, 10} и {9, 10, 11, 12} - это набор {7, 8, 11, 12}. Набор мощности любого набора становится Логическое кольцо с симметричной разницей как сложение кольца (с пустым множеством как нейтральный элемент) и пересечением как умножением кольца.

Декартово произведение

Основная статья: Декартово произведение

Новый набор может быть построен путем связывания каждого элемента одного набора с каждым элементом другого набора. В Декартово произведение из двух комплектов А и B, обозначаемый А × B,^[4] это набор всех заказанные пары (а, б) такие, что а является членом А и б является членом B.

Примеры:

• {1, 2} × {красный, белый, зеленый} = {(1, красный), (1, белый), (1, зеленый), (2, красный), (2, белый), (2, зеленый) }.
• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
• {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Некоторые основные свойства декартовых произведений:

• А × ∅ = ∅.
• А × (B ∪ C) = (А × B) ∪ (А × C).
• (А ∪ B) × C = (А × C) ∪ (B × C).

Позволять А и B быть конечными множествами; затем мощность декартова произведения - это произведение мощностей:

• | А × B | = | B × А | = | А | × | B |.

Приложения

Теория множеств рассматривается как фундамент, на котором может быть выведена практически вся математика. Например, структуры в абстрактная алгебра, Такие как группы, поля и кольца, являются множествами закрыто под одну или несколько операций.

Одно из основных приложений наивной теории множеств - построение связи. Отношение из домен А к codomain B является подмножеством декартова произведения А × B. Например, рассматривая множество S = {камень, ножницы, бумага} форм в игра одноименное отношение «бьет» от S к S это набор B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень), (камень, ножницы)}; таким образом Икс удары у в игре, если пара (Икс,у) является членом B. Другой пример - набор F всех пар (Икс, Икс²), куда Икс реально. Это отношение является подмножеством Р' × р, потому что набор всех квадратов является подмножеством набора всех действительных чисел. Поскольку для каждого Икс в р, одна и только одна пара (Икс, ...) находится в F, это называется функция. В функциональных обозначениях это соотношение можно записать как F(Икс) = Икс².

Аксиоматическая теория множеств

Основная статья: Аксиоматическая теория множеств

Хотя изначально наивная теория множеств, который определяет набор просто как любой четко определенный Коллекция была хорошо принята, вскоре она натолкнулась на несколько препятствий. Было обнаружено, что это определение породило несколько парадоксов, в первую очередь:

• Парадокс Рассела - Это показывает, что «набор всех наборов, не содержат себя, "т.е." набор "{Икс|Икс это набор и Икс ∉ Икс} не существует.
• Парадокс Кантора - Это показывает, что «множества всех наборов» не может быть.

Причина в том, что фраза четко определенный не очень четко определен. Было важно освободить теорию множеств от этих парадоксов, потому что почти вся математика переопределялась в терминах теории множеств. В попытке избежать этих парадоксов теория множеств была аксиоматизирована на основе логика первого порядка, и поэтому аксиоматическая теория множеств родился.

Однако для большинства целей наивная теория множеств все еще полезно.

Принцип включения и исключения

Основная статья: Принцип включения-исключения

Принцип включения-исключения можно использовать для вычисления размера объединения множеств: размер объединения равен размеру двух множеств за вычетом размера их пересечения.

Принцип включения-исключения - это метод подсчета, который можно использовать для подсчета количества элементов в объединении двух наборов - если размер каждого набора и размер их пересечения известны. Это можно символически выразить как

${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}$

Более общая форма принципа может быть использована для определения мощности любого конечного объединения множеств:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_{n}\right|=&\left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}-\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right).\end{aligned}}}$

Законы де Моргана

Огастес Де Морган заявил два закона о наборах.

Если A и B - любые два набора, то

• (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′

Дополнение к A union B равно дополнению к A, которое пересекается с дополнением к B.

• (A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B ′

Дополнение A, пересекающееся с B, равно дополнению A union до дополнения B.

Смотрите также

• Философский портал

• Алгебра множеств
• Альтернативная теория множеств
• Аксиоматическая теория множеств
• Категория наборов
• Класс (теория множеств)
• Плотный набор
• Семейство наборов
• Нечеткое множество
• Внутренний набор
• Математический объект
• Мереология
• Multiset
• Наивная теория множеств
• Principia Mathematica
• Грубый набор
• Парадокс Рассела
• Последовательность (математика)
• Установить обозначение
• Таксономия
• Кортеж

Примечания

1. П. К. Джайн; Халил Ахмад; Ом П. Ахуджа (1995). Функциональный анализ. New Age International. п. 1. ISBN  978-81-224-0801-0.
2. Сэмюэл Голдберг (1 января 1986 г.). Вероятность: введение. Курьерская корпорация. п. 2. ISBN  978-0-486-65252-8.
3. Д. Ван Дален; Х. К. Доутс; Х. Де Сварт (9 мая 2014 г.). Наборы: наивный, аксиоматический и прикладной: базовый сборник с упражнениями для использования в теории множеств для не логиков, работающих и обучающих математиков и студентов. Elsevier Science. п. 1. ISBN  978-1-4831-5039-0.
4. «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Получено 2020-08-19.
5. «Введение в наборы». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-19.
6. Пол Р. Халмос (19 апреля 2017 г.). Наивная теория множеств. Courier Dover Publications. п. 1. ISBN  978-0-486-81487-2.
7. Хосе Феррейрос (16 августа 2007 года). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике. Birkhäuser Basel. ISBN  978-3-7643-8349-7.
8. Стив Расс (9 декабря 2004 г.). Математические работы Бернарда Больцано. ОУП Оксфорд. ISBN  978-0-19-151370-1.
9. Уильям Эвальд; Уильям Брэгг Эвальд (1996). От Канта к Гильберту Том 1: Справочник по основам математики. ОУП Оксфорд. п. 249. ISBN  978-0-19-850535-8.
10. Пол Руснок; Ян Себестик (25 апреля 2019 г.). Бернар Больцано: его жизнь и творчество. ОУП Оксфорд. п. 430. ISBN  978-0-19-255683-7.
11. Томас Х .. Кормен; Томас Х. Кормен; Чарльз Э. Лейзерсон; Рональд Л. Ривест; Клиффорд Стейн (2001). Введение в алгоритмы. MIT Press. п. 1070. ISBN  978-0-262-03293-3.
12. Халмос 1960, п. 1
13. "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen". «Архивная копия». В архиве из оригинала 2011-06-10. Получено 2011-04-22.
14. Сеймор Липшуц; Марк Липсон (22 июня 1997 г.). Очерк дискретной математики Шаума. McGraw Hill Professional. п. 1. ISBN  978-0-07-136841-4.
15. Халмос 1960, п. 1
16. Столл, Роберт (1974). Множества, логические и аксиоматические теории. В. Х. Фриман и компания. стр.5.
17. Хосе Феррейрос (1 ноября 2001 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-7643-5749-8.
18. Халмос 1960, п. 2
19. Чарльз Робертс (24 июня 2009 г.). Введение в математические доказательства: переход. CRC Press. п. 45. ISBN  978-1-4200-6956-3.
20. Игнасио Белло; Антон Каул; Джек Р. Бриттон (29 января 2013 г.). Темы современной математики. Cengage Learning. п. 47. ISBN  1-133-10742-7.
21. Фрэнк Руда (6 октября 2011 г.). Гегелевский сброд: исследование гегелевской философии права. Bloomsbury Publishing. п. 151. ISBN  978-1-4411-7413-0.
22. Дэвид Джонсон; Дэвид Б. Джонсон; Томас А. Моури (июнь 2004 г.). Конечная математика: практическое применение (версия Docutech). В. Х. Фриман. п. 220. ISBN  978-0-7167-6297-3.
23. Сюзанна С. Эпп (4 августа 2010 г.). Дискретная математика с приложениями. Cengage Learning. п. 13. ISBN  0-495-39132-8.
24. Альфред Баста; Стефан Делонг; Надин Баста (1 января 2013 г.). Математика для информационных технологий. Cengage Learning. п. 3. ISBN  1-285-60843-7.
25. Лаура Бракен; Эд Миллер (15 февраля 2013 г.). Элементарная алгебра. Cengage Learning. п. 36. ISBN  0-618-95134-2.
26. Стивен Б. Маурер; Энтони Ральстон (21 января 2005 г.). Дискретная алгоритмическая математика. CRC Press. п. 11. ISBN  978-1-4398-6375-6.
27. Джон Ф. Лукас (1990). Введение в абстрактную математику. Роуман и Литтлфилд. п. 108. ISBN  978-0-912675-73-2.
28. Вайсштейн, Эрик В. "Набор". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-19.
29. Ральф С. Стейнлаге (1987). Колледж алгебры. Западная издательская компания. ISBN  978-0-314-29531-6.
30. Халмос 1960, п. 4
31. Халмос 1960, п. 2
32. Марек Капински; Питер Э. Копп (2004). Мера, интеграл и вероятность. Springer Science & Business Media. п. 2. ISBN  978-1-85233-781-0.
33. «Установить символы». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-19.
34. Феликс Хаусдорф (2005). Теория множеств. American Mathematical Soc. п. 30. ISBN  978-0-8218-3835-8.
35. Питер Комнинос (6 апреля 2010 г.). Методы математического и компьютерного программирования для компьютерной графики. Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN  978-1-84628-292-8.
36. Халмос 1960, п. 3
37. К. Леунг; Дорис Лай-чуэ Чен (1 июля 1992 г.). Элементарная теория множеств, часть I / II. Издательство Гонконгского университета. п. 27. ISBN  978-962-209-026-2.
38. Халмос 1960, п. 8
39. Халмос 1960, п. 3
40. Туфик Мансур (27 июля 2012 г.). Комбинаторика разбиения множеств. CRC Press. ISBN  978-1-4398-6333-6.
41. Халмос 1960, п. 28
42. Халмос 1960, п. 19
43. Халмос 1960, п. 20
44. Эдвард Б. Бургер; Майкл Старберд (18 августа 2004 г.). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению. Springer Science & Business Media. п. 183. ISBN  978-1-931914-41-3.
45. Яннис Н. Мощовакис (1994). Заметки по теории множеств. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-94180-4.
46. Артур Чарльз Флек (2001). Формальные модели вычислений: крайние пределы вычислений. World Scientific. п. 3. ISBN  978-981-02-4500-9.
47. Уильям Джонстон (25 сентября 2015 г.). Интеграл Лебега для студентов. Математическая ассоциация Америки. п. 7. ISBN  978-1-939512-07-9.
48. Карл Дж. Смит (7 января 2008 г.). Математика: ее сила и полезность. Cengage Learning. п. 401. ISBN  0-495-38913-7.
49. Джон Стиллвелл (16 октября 2013 г.). Реальные числа: введение в теорию множеств и анализ. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-319-01577-4.
50. Дэвид Толл (11 апреля 2006 г.). Продвинутое математическое мышление. Springer Science & Business Media. п. 211. ISBN  978-0-306-47203-9.
51. Халмос 1960, п. 8
52. Халмос 1960, Раздел 2 По аналогии, Халмос замечает, что коробка со шляпой - это не то же самое, что шляпа.
53. Джордж Турлакис (13 февраля 2003 г.). Лекции по логике и теории множеств: Том 2, Теория множеств. Издательство Кембриджского университета. п. 137. ISBN  978-1-139-43943-5.
54. Абхиджит Дас (19 апреля 2016 г.). Вычислительная теория чисел. CRC Press. п. 2. ISBN  978-1-4822-0582-4.
55. D.L. Джонсон (6 декабря 2012 г.). Элементы логики через числа и множества. Springer Science & Business Media. п. 165. ISBN  978-1-4471-0603-6.

Рекомендации

• Даубен, Джозеф В. (1979). Георг Кантор: его математика и философия бесконечного. Бостон: Издательство Гарвардского университета. ISBN  0-691-02447-2.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: Ван Ностранд. ISBN  0-387-90092-6.
• Столл, Роберт Р. (1979). Теория множеств и логика. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-63829-4.
• Веллеман, Даниэль (2006). Как это доказать: структурированный подход. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-67599-5.

внешняя ссылка

• Кантора "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (на немецком языке)