Интерпретация (логика) - Interpretation (logic)

An интерпретация это присвоение смысла символы из формальный язык. Многие официальные языки, используемые в математика, логика, и теоретическая информатика определены исключительно в синтаксический термины, и как таковые не имеют никакого значения, пока им не будет дано какое-то толкование. Общее изучение интерпретаций формальных языков называется формальная семантика.

Наиболее часто изучаемые формальные логики: логика высказываний, логика предикатов и их модальный аналоги, и для них существуют стандартные способы представления интерпретации. В этих контекстах интерпретация функция что обеспечивает расширение символов и строк символов объектного языка. Например, функция интерпретации может принимать предикат Т (для "высокий") и присвойте ему расширение {а} (для «Авраама Линкольна»). Обратите внимание, что все, что делает наша интерпретация, это присваивает расширение {a} нелогической константе Т, и не заявляет о том, Т означает высокий, а буква «А» - Авраама Линкольна. Логическая интерпретация также ничего не говорит о логических связках, таких как «и», или «и не». Хотя мы может воспринимать эти символы как обозначение определенных вещей или концепций, это не определяется функцией интерпретации.

Интерпретация часто (но не всегда) дает возможность определить ценности истины из фразы на языке. Если данная интерпретация присваивает значение True предложению или теория, интерпретация называется модель этого предложения или теории.

Формальные языки

Формальный язык состоит из, возможно, бесконечного набора фразы (по-разному называемый слова или же формулы ) построенный из фиксированного набора буквы или же символы. Инвентарь, из которого взяты эти буквы, называется алфавит над которым определяется язык. Чтобы отличить строки символов формального языка от произвольных строк символов, первые иногда называют правильно сформированная формулаæ (Вфф). Существенной особенностью формального языка является то, что его синтаксис может быть определен без ссылки на интерпретацию. Например, мы можем определить, что (п или же Q) является правильно сформированной формулой, даже не зная, истинна она или ложь.

Пример

Официальный язык ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ можно определить с помощью алфавита ${ Displaystyle альфа = { треугольник, квадрат }}$ , и со словом, находящимся в ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ если это начинается с ${ Displaystyle треугольник}$ и состоит исключительно из символов ${ Displaystyle треугольник}$ и ${ displaystyle square}$ .

Возможная интерпретация ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ может присвоить десятичную цифру "1" ${ Displaystyle треугольник}$ и '0' на ${ displaystyle square}$ . потом ${ Displaystyle треугольник квадрат треугольник}$ будет обозначать 101 в этой интерпретации ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ .

Логические константы

В конкретных случаях логики высказываний и логики предикатов рассматриваемые формальные языки имеют алфавиты, которые делятся на два набора: логические символы (логические константы ) и нелогические символы. Идея этой терминологии заключается в том, что логичный символы имеют одинаковое значение независимо от изучаемого предмета, а нелогичный символы меняют свое значение в зависимости от области исследования.

Логическим константам всегда придается одно и то же значение при каждой интерпретации стандартного типа, так что изменяются только значения нелогических символов. Логические константы включают символы кванторов ∀ («все») и ∃ («некоторые»), символы для логические связки ∧ («и»), ∨ («или»), ¬ («не»), круглые скобки и другие символы группировки, а также (во многих вариантах) символ равенства =.

Общие свойства функциональных интерпретаций истинности

Многие из обычно изучаемых интерпретаций связывают каждое предложение на формальном языке с одним значением истинности, истинным или ложным. Эти интерпретации называются функционал истины;^{[сомнительный – обсуждать]} они включают обычные интерпретации пропозициональной логики и логики первого порядка. Предложения, которые становятся истинными с помощью определенного задания, называются довольный этим назначением.

В классическая логика, ни одно предложение не может быть одновременно истинным и ложным с помощью одной и той же интерпретации, хотя это неверно для логики перенасыщения, такой как LP.^[1] Однако даже в классической логике значение истинности одного и того же предложения может быть разным при разных интерпретациях. Приговор последовательный если это правда хотя бы при одной интерпретации; в противном случае это непоследовательный. Предложение φ называется логически действительный если ему удовлетворяет любая интерпретация (если φ удовлетворяет всякая интерпретация, удовлетворяющая ψ, то φ называется логическое следствие из ψ).

Логические связки

Некоторые из логических символов языка (кроме квантификаторов) являются истинностно-функциональные связки которые представляют функции истинности - функции, которые принимают значения истинности в качестве аргументов и возвращают значения истинности в качестве выходных данных (другими словами, это операции над значениями истинности предложений).

Функциональные связки истинности позволяют строить сложные предложения из более простых предложений. Таким образом, значение истинности составного предложения определяется как определенная функция истинности значений истинности более простых предложений. Связующие обычно считаются логические константы, что означает, что значение связок всегда одно и то же, независимо от того, какие интерпретации даны другим символам в формуле.

Вот как мы определяем логические связки в логике высказываний:

¬Φ верно если только Φ ложно.
(Φ ∧ Ψ) истинно тогда и только тогда, когда Φ истинно и Ψ истинно.
(Φ ∨ Ψ) истинно, если и только если Φ истинно или Ψ истинно (или оба истинны).
(Φ → Ψ) истинно, если и только если ¬Φ истинно или Ψ истинно (или оба истинны).
(Φ ↔ Ψ) истинно тогда и только тогда, когда (Φ → Ψ) истинно и (Ψ → Φ) истинно.

Таким образом, при заданной интерпретации всех букв предложения Φ и Ψ (т. Е. После присвоения значения истинности каждой букве предложения) мы можем определить значения истинности всех формул, которые имеют их в качестве составных частей, как функцию логической связки. В следующей таблице показано, как это выглядит. Первые два столбца показывают значения истинности букв предложения, определенные четырьмя возможными интерпретациями. В других столбцах показаны значения истинности формул, построенных из этих букв предложения, причем значения истинности определены рекурсивно.

Логические связки
Интерпретация	Φ	Ψ	¬Φ	(Φ ∧ Ψ)	(Φ ∨ Ψ)	(Φ → Ψ)	(Φ ↔ Ψ)
#1	Т	Т	F	Т	Т	Т	Т
#2	Т	F	F	F	Т	F	F
#3	F	Т	Т	F	Т	Т	F
#4	F	F	Т	F	F	Т	Т

Теперь легче понять, что делает формулу логически верной. Возьмите формулу F: (Φ ∨ ¬Φ). Если наша функция интерпретации делает Φ истинным, то ¬Φ становится ложным из-за связки отрицания. Поскольку дизъюнкция Φ F Верно в этой интерпретации, F правда. Теперь единственная другая возможная интерпретация Φ делает его ложным, и если это так, ¬Φ становится истинным с помощью функции отрицания. Это сделало бы F Опять же, так как один из Fs дизъюнкты, ¬Φ, были бы верны при такой интерпретации. Поскольку эти две интерпретации для F являются единственно возможными логическими интерпретациями, и поскольку F получается Верно для обоих, мы говорим, что это логически достоверно или тавтологично.

Интерпретация теории

An интерпретация теории отношения между теорией и предметом, когда есть многие к одному соответствие между некоторыми элементарными утверждениями теории и определенными утверждениями, относящимися к предмету изучения. Если у каждого элементарного утверждения теории есть корреспондент, оно называется полная интерпретация, иначе это называется частичная интерпретация.^[2]

Интерпретации логики высказываний

Формальный язык для логика высказываний состоит из формул, составленных из пропозициональных символов (также называемых сентенциальными символами, сентенциальными переменными и пропозициональными переменными) и логических связок. Единственный нелогические символы на формальном языке логики высказываний - пропозициональные символы, которые часто обозначаются заглавными буквами. Чтобы формальный язык был точным, необходимо зафиксировать определенный набор пропозициональных символов.

Стандартный вид интерпретации в этом контексте - это функция, которая отображает каждый пропозициональный символ на один из ценности истины правда и ложь. Эта функция известна как назначение истины или же оценка функция. Во многих презентациях присваивается буквально значение истинности, но некоторые презентации присваивают носители правды вместо.

Для языка с п различных пропозициональных переменных есть 2^п различные возможные интерпретации. Для любой конкретной переменной а, например, есть 2¹= 2 возможных интерпретации: 1) а назначается Т, или 2) а назначается F. Для пары а, б есть 2²= 4 возможных интерпретации: 1) оба присваиваются Т, 2) оба назначены F, 3) а назначается Т и б назначается F, или 4) а назначается F и б назначается Т.

Учитывая любое присвоение истинности для набора пропозициональных символов, существует уникальное расширение интерпретации всех пропозициональных формул, построенных на основе этих переменных. Эта расширенная интерпретация определяется индуктивно с использованием описанных выше определений логических связок таблиц истинности.

Логика первого порядка

В отличие от логики высказываний, где все языки одинаковы, за исключением выбора различного набора пропозициональных переменных, существует много разных языков первого порядка. Каждый язык первого порядка определяется подпись. Подпись состоит из набора нелогических символов и идентификации каждого из этих символов как постоянного символа, функционального символа или символа предикатный символ. В случае функциональных и предикатных символов натуральное число арность также назначается. Алфавит формального языка состоит из логических констант, символа отношения равенства =, всех символов из подписи и дополнительного бесконечного набора символов, известных как переменные.

Например, на языке кольца, есть постоянные символы 0 и 1, два двоичных функциональных символа + и · и нет символов двоичного отношения. (Здесь отношение равенства принято как логическая константа.)

Опять же, мы могли бы определить язык первого порядка L, состоящий из отдельных символов a, b и c; предикатные символы F, G, H, I и J; переменные x, y, z; без служебных букв; нет сентенциальных символов.

Формальные языки для логики первого порядка

Для сигнатуры σ соответствующий формальный язык известен как набор σ-формул. Каждая σ-формула строится из атомарных формул с помощью логических связок; атомарные формулы строятся из терминов с использованием предикатных символов. Формальное определение множества σ-формул идет в другом направлении: сначала термы собираются из константных и функциональных символов вместе с переменными. Затем термины можно объединить в атомарную формулу, используя символ предиката (символ отношения) из подписи или специальный символ предиката «=» для равенства (см. Раздел «Толкование равенства " ниже). Наконец, формулы языка собираются из элементарных формул с использованием логических связок и кванторов.

Интерпретации языка первого порядка

Чтобы приписать значение всем предложениям языка первого порядка, необходима следующая информация.

А область дискурса^[3] D, обычно требуется, чтобы оно было непустым (см. ниже).
Для каждого постоянного символа элемент D как его интерпретация.
Для каждого псимвол функции, п-арная функция из D к D как его интерпретация (то есть функция D^п → D).
Для каждого п-арный предикатный символ, п-арное отношение на D как его интерпретация (то есть подмножество D^п).

Объект, несущий эту информацию, известен как структура (сигнатуры σ), или σ-структуры, или L-структура (языка L) или как «модель».

Информация, указанная в интерпретации, предоставляет достаточно информации, чтобы дать истинное значение любой атомарной формуле после каждого ее свободные переменные, если есть, был заменен элементом домена. Затем истинность произвольного предложения определяется индуктивно с использованием Т-схема, которое является определением семантики первого порядка, разработанным Альфредом Тарски. T-схема интерпретирует логические связки с использованием таблиц истинности, как обсуждалось выше. Так, например, φ & ψ выполняется тогда и только тогда, когда выполняются и φ, и ψ.

Остается вопрос о том, как интерпретировать формулы вида ∀ Икс φ (Икс) и ∃ Икс φ (Икс). Область дискурса формирует классифицировать для этих кванторов. Идея в том, что предложение ∀ Икс φ (Икс) истинно при интерпретации, когда каждый случай подстановки φ (Икс), куда Икс заменяется каким-то элементом домена, устраивает. Формула ∃ Икс φ (Икс) выполняется, если есть хотя бы один элемент d области такая, что φ (d) доволен.

Строго говоря, такой пример подстановки, как формула φ (d), упомянутая выше, не является формулой на исходном формальном языке φ, потому что d является элементом домена. Есть два способа решения этой технической проблемы. Первый - перейти на более крупный язык, в котором каждый элемент домена именуется постоянным символом. Второй - добавить к интерпретации функцию, которая присваивает каждую переменную элементу домена. Затем Т-схема может количественно определять варианты исходной интерпретации, в которых эта функция присваивания переменных изменена, вместо количественной оценки экземпляров подстановки.

Некоторые авторы также признают пропозициональные переменные в логике первого порядка, которая затем также должна быть интерпретирована. Пропозициональная переменная может стоять сама по себе как атомарная формула. Интерпретация пропозициональной переменной - это одно из двух значений истинности. истинный и ложный.^[4]

Поскольку описанные здесь интерпретации первого порядка определены в теории множеств, они не связывают каждый символ предиката со свойством.^[5] (или отношение), а скорее с расширением этого свойства (или отношения). Другими словами, эти интерпретации первого порядка экстенсиональный^[6] нет содержательный.

Пример интерпретации первого порядка

Пример толкования ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ языка L описанное выше выглядит следующим образом.

Домен: шахматы
Индивидуальные константы: a: белый король b: черный ферзь c: белая королевская пешка
F (x): x - кусок
G (x): x - пешка
H (x): x черный
I (x): x белый
J (x, y): x может захватить y

В интерпретации ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ из L:

следующие истинные предложения: F (a), G (c), H (b), I (a) J (b, c),
следующие - ложные предложения: J (a, c), G (a).

Требование непустого домена

Как указано выше, интерпретация первого порядка обычно требуется для определения непустого множества в качестве области дискурса. Причина этого требования - гарантировать, что эквивалентности, такие как

{ Displaystyle ( фи лор существует х фунт / кв. дюйм) leftrightarrow существует х ( фи лор фунт / кв. дюйм)}

,

куда Икс не является свободной переменной φ, логически верны. Эта эквивалентность сохраняется в любой интерпретации с непустой областью, но не всегда выполняется, когда разрешены пустые области. Например, эквивалентность

{ Displaystyle [ forall y (y = y) лор существует х (х = х)] эквив существует х [ forall y (y = y) лор х = х]}

не работает в любой структуре с пустым доменом. Таким образом, теория доказательства логики первого порядка становится более сложной, когда разрешены пустые структуры. Однако выгода от их разрешения незначительна, поскольку и предполагаемые интерпретации, и интересные интерпретации теорий, изучаемых людьми, имеют непустые области.^[7]^[8]

Пустые отношения не вызывают никаких проблем для интерпретаций первого порядка, потому что не существует аналогичного понятия прохождения символа отношения через логическую связку, расширяющего его область действия в процессе. Таким образом, допустимо интерпретировать символы отношения как идентично ложные. Однако интерпретация функционального символа всегда должна присваивать этому символу четко определенную и общую функцию.

Толкование равенства

Отношение равенства часто рассматривается специально в логике первого порядка и других логиках предикатов. Есть два общих подхода.

Первый подход - рассматривать равенство как ничем не отличное от любого другого бинарного отношения. В этом случае, если в подпись включен символ равенства, обычно необходимо добавить различные аксиомы о равенстве в системы аксиом (например, аксиому подстановки, говорящую, что если а = б и р(а) выполняется тогда р(б) также выполняется). Этот подход к равенству наиболее полезен при изучении сигнатур, которые не включают отношение равенства, например сигнатуры для теория множеств или подпись для арифметика второго порядка в котором есть только отношение равенства для чисел, но не отношение равенства для множества чисел.

Второй подход состоит в том, чтобы рассматривать символ отношения равенства как логическую константу, которая должна интерпретироваться реальным отношением равенства в любой интерпретации. Интерпретация, интерпретирующая равенство таким образом, известна как нормальная модель, поэтому этот второй подход аналогичен изучению только интерпретаций, которые оказались нормальными моделями. Преимущество этого подхода состоит в том, что аксиомы, относящиеся к равенству, автоматически удовлетворяются каждой нормальной моделью, и поэтому их не нужно явно включать в теории первого порядка, когда равенство рассматривается таким образом. Этот второй подход иногда называют логика первого порядка с равенством, но многие авторы без комментариев применяют его для общего изучения логики первого порядка.

Есть несколько других причин ограничить изучение логики первого порядка нормальными моделями. Во-первых, известно, что любая интерпретация первого порядка, в которой равенство интерпретируется отношение эквивалентности и удовлетворяет аксиомам подстановки равенства, можно сократить до элементарно эквивалентный интерпретация на подмножестве исходной области. Таким образом, в изучении ненормальных моделей мало общего. Во-вторых, если рассматриваются ненормальные модели, то каждая последовательная теория имеет бесконечную модель; это влияет на формулировки результатов, такие как Теорема Лёвенгейма – Сколема, которые обычно формулируются в предположении, что рассматриваются только нормальные модели.

Многосортированная логика первого порядка

Обобщение логики первого порядка рассматривает языки с более чем одним Сортировать переменных. Идея состоит в том, что разные виды переменных представляют разные типы объектов. Можно количественно оценить любую переменную; таким образом, интерпретация многосортного языка имеет отдельную область для каждого из видов переменных, которые должны быть диапазона (существует бесконечный набор переменных каждого из различных видов). Функциональные символы и символы отношения, помимо наличия арностей, определены так, что каждый из их аргументов должен происходить из определенного вида.

Один из примеров многосортной логики - планарная Евклидова геометрия. Есть два вида; точки и линии. Имеется символ отношения равенства для точек, символ отношения равенства для линий и двоичное отношение инцидентности. E который принимает одну точечную переменную и одну линейную переменную. В предполагаемой интерпретации этого языка точечные переменные находятся в диапазоне всех точек на Евклидова плоскость, линейная переменная распространяется по всем линиям на плоскости, а отношение падения E(п,л) выполняется тогда и только тогда, когда точка п В сети л.

Логика предикатов высшего порядка

Официальный язык для логика предикатов высшего порядка выглядит почти так же, как формальный язык для логики первого порядка. Разница в том, что теперь существует много разных типов переменных. Некоторые переменные соответствуют элементам домена, как в логике первого порядка. Другие переменные соответствуют объектам более высокого типа: подмножествам домена, функциям из домена, функциям, которые берут подмножество домена и возвращают функцию из домена в подмножества домена и т. Д. Все эти типы переменных могут быть количественно.

Есть два типа интерпретаций, обычно используемых для логики высшего порядка. Полная семантика требуют, чтобы после того, как область обсуждения удовлетворена, переменные более высокого порядка охватывают все возможные элементы правильного типа (все подмножества области, все функции от области до самой себя и т. д.). Таким образом, спецификация полной интерпретации такая же, как спецификация интерпретации первого порядка. Семантика Хенкина, которые, по сути, являются мультисортированной семантикой первого порядка, требуют интерпретации, чтобы указать отдельный домен для каждого типа переменной более высокого порядка, для которой требуется диапазон. Таким образом, интерпретация в семантике Хенкина включает в себя область D, набор подмножеств D, набор функций из D к Dи т. д. Отношения между этими двумя семантиками - важная тема в логике более высокого порядка.

Неклассические интерпретации

Описанные выше интерпретации логики высказываний и логики предикатов не являются единственно возможными интерпретациями. В частности, есть и другие типы интерпретаций, которые используются при изучении неклассическая логика (Такие как интуиционистская логика ), и в изучении модальной логики.

Интерпретации, используемые для изучения неклассической логики, включают: топологические модели, Булевозначные модели, и Крипке модели. Модальная логика также изучается с помощью моделей Крипке.

Предполагаемые интерпретации

Многие формальные языки связаны с определенной интерпретацией, которая используется для их мотивации. Например, сигнатура первого порядка для теории множеств включает только одно бинарное отношение, ∈, которое предназначено для представления членства в множестве, а область дискурса в теории натуральных чисел первого порядка предназначена для набора естественных чисел. числа.

Предполагаемая интерпретация называется стандартная модель (термин введен Авраам Робинсон в 1960 г.).^[9] В контексте Арифметика Пеано, он состоит из натуральных чисел с их обычными арифметическими операциями. Все модели, которые изоморфный только что приведенные также называются стандартными; все эти модели удовлетворяют Аксиомы Пеано. Это также нестандартные модели аксиом Пеано (версия первого порядка), которые содержат элементы, не соотнесенные ни с одним натуральным числом.

Хотя предполагаемая интерпретация не может иметь явных указаний в строго формальном синтаксические правила, это естественно влияет на выбор формирование и правила трансформации синтаксической системы. Например, примитивные знаки должны позволять выражение моделируемых концепций; сентенциальные формулы выбираются так, чтобы их аналоги в предполагаемой интерпретации значимый декларативные предложения; примитивные предложения нужно выйти как истинный фразы в интерпретации; правила вывода должно быть таким, чтобы, если предложение ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {j}}$ прямо выводимый из предложения ${ Displaystyle { mathcal {I}} _ {я}}$ , тогда ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {i} to { mathcal {I}} _ {j}}$ оказывается верным приговором, с ${ displaystyle to}$ смысл значение, как обычно. Эти требования гарантируют, что все доказуемо предложения также оказываются правдой.^[10]

Большинство формальных систем имеют гораздо больше моделей, чем они должны были иметь (существование нестандартные модели это пример). Когда мы говорим о моделях в эмпирические науки, мы имеем в виду, если мы хотим реальность быть образцом нашей науки, говорить о предполагаемая модель. Модель в эмпирических науках - это намеченная фактически верная описательная интерпретация (или в других контекстах: непреднамеренная произвольная интерпретация, используемая для пояснения такой предполагаемой фактически верной описательной интерпретации.) Все модели являются интерпретациями, имеющими одинаковую область дискурса как задумано, но другой задания за нелогические константы.^[11]^{[страница нужна ]}

Пример

Учитывая простую формальную систему (мы будем называть ее ${ displaystyle { mathcal {FS '}}}$ ), алфавит α которого состоит всего из трех символов ${ displaystyle { blacksquare, bigstar, blacklozenge }}$ и чье правило формирования формул:

'Любая строка символов

{ Displaystyle { mathcal {FS '}}}

длиной не менее 6 символов и не бесконечно длинной, представляет собой формулу

{ displaystyle { mathcal {FS '}}}

. Ничто иное не является формулой

{ displaystyle { mathcal {FS '}}}

.'

Сингл схема аксиомы из ${ displaystyle { mathcal {FS '}}}$ является:

"

{ displaystyle blacksquare bigstar ast blacklozenge blacksquare ast}

" (куда "

{ displaystyle ast}

" это метасинтаксическая переменная означает конечную строку "

{ displaystyle blacksquare}

"s)

Формальное доказательство можно построить следующим образом:

${ displaystyle blacksquare bigstar blacksquare blacklozenge blacksquare blacksquare}$
${ displaystyle blacksquare bigstar blacksquare blacksquare blacklozenge blacksquare blacksquare blacksquare}$
${ displaystyle blacksquare bigstar blacksquare blacksquare blacksquare blacklozenge blacksquare blacksquare blacksquare blacksquare}$

В этом примере теорема дает " ${ displaystyle blacksquare bigstar blacksquare blacksquare blacksquare blacklozenge blacksquare blacksquare blacksquare blacksquare}$ «может быть истолковано как означающее« Один плюс три равно четырем ». Другая интерпретация - это читать в обратном порядке, как« Четыре минус три равно одному ».^[12]^{[страница нужна ]}

Другие концепции интерпретации

Есть и другие варианты использования термина «интерпретация», которые обычно используются, которые не относятся к присвоению значений формальным языкам.

В теории моделей структура А говорят, что интерпретирует структуру B если есть определимое подмножество D из А, а также определимые отношения и функции на D, так что B изоморфна структуре с областью определения D и эти функции и отношения. В некоторых настройках это не домен D что используется, а скорее D по модулю отношения эквивалентности, определимого в А. Для получения дополнительной информации см. Интерпретация (теория моделей).

Теория Т говорят, что интерпретирует другую теорию S если есть конечный расширение по определениям Т' из Т такой, что S содержится в Т′.

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Священник, Грэм, 2008. Введение в неклассическую логику: от Если к Есть, 2-е изд. Издательство Кембриджского университета.

[2] Хаскелл Карри (1963). Основы математической логики. Макгроу Хилл. Здесь: с.48

[3] Иногда его называют «вселенная дискурса».

[4] Товарищи, Бенсон (1972), Элементарная логика, второе издание, Нью-Йорк: Oxford University Press, стр.56, ISBN 0-19-501491-X

[5] Расширение свойства (также называемого атрибутом) - это набор индивидов, поэтому свойство - это унарное отношение. Например. Свойства «желтый» и «простой» являются унарными отношениями.

[6] смотрите также Расширение (логика предиката)

[7] Hailperin, Теодор (1953), "Теория квантификации и пустые индивидуальные области", Журнал символической логики, Ассоциация символической логики, 18 (3): 197–200, Дои:10.2307/2267402, JSTOR 2267402, МИСТЕР 0057820

[8] Куайн, В. В. (1954), «Количественная оценка и пустая область», Журнал символической логики, Ассоциация символической логики, 19 (3): 177–179, Дои:10.2307/2268615, JSTOR 2268615, МИСТЕР 0064715

[9] Роланд Мюллер (2009). «Понятие модели». В Энтони Мейерс (ред.). Философия технологий и инженерных наук. Справочник по философии науки. 9. Эльзевир. ISBN 978-0-444-51667-1.

[10] Рудольф Карнап (1958). Введение в символическую логику и ее приложения. Нью-Йорк: Дуврские публикации. ISBN 9780486604534.

[11] Ганс Фройденталь, изд. (Январь 1960 г.). Концепция и роль модели в математике, естественных и социальных науках (Материалы коллоквиума). Springer. ISBN 978-94-010-3669-6.

[12] Джеффри Хантер (1992). Металогика: введение в метатеорию стандартной логики первого порядка. Калифорнийский университет Press.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Математическая логика
Общий	Формальный язык Правило формирования Формальное доказательство Формальная семантика Правильная формула Набор Элемент Учебный класс Классическая логика Аксиома Правило вывода Связь Теорема Логическое следствие Теория типов Символ Синтаксис Теория
Системы	Формальная система Дедуктивная система Аксиоматическая система Системы гильбертовского стиля Естественный вычет Последовательное исчисление
Традиционная логика	Предложение Вывод Аргумент Срок действия Силлогизм Площадь оппозиции Диаграмма Венна
Исчисление высказываний и Логическая логика	Логические функции Исчисление высказываний Пропозициональная формула Логические связки Таблицы истинности Многозначная логика
Логика предикатов	Первый заказ Квантификаторы Предикат Второго порядка Монадическое исчисление предикатов
Наивная теория множеств	Набор Пустой набор Элемент Перечисление Расширяемость Конечный набор Бесконечный набор Подмножество Набор мощности Счетный набор Бесчисленное множество Рекурсивный набор Домен Codomain Изображение карта Функция Связь Упорядоченная пара
Теория множеств	Основы математики Теория множеств Цермело – Френкеля Аксиома выбора Общая теория множеств Теория множеств Крипке – Платека. Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. Теория множеств Морса – Келли Теория множеств Тарского – Гротендика
Теория моделей	Модель Интерпретация Нестандартная модель Теория конечных моделей Ценность правды Срок действия
Теория доказательств	Формальное доказательство Дедуктивная система Формальная система Теорема Логическое следствие Правило вывода Синтаксис
Вычислимость теория	Рекурсия Рекурсивный набор Рекурсивно перечислимый набор Проблема решения Тезис Черча – Тьюринга Вычислимая функция Примитивная рекурсивная функция

Интерпретация (логика) - Interpretation (logic)

Содержание

Формальные языки

Пример

Логические константы

Общие свойства функциональных интерпретаций истинности

Логические связки

Интерпретация теории

Интерпретации логики высказываний

Логика первого порядка

Формальные языки для логики первого порядка

Интерпретации языка первого порядка

Пример интерпретации первого порядка

Требование непустого домена

Толкование равенства

Многосортированная логика первого порядка

Логика предикатов высшего порядка

Неклассические интерпретации

Предполагаемые интерпретации

Пример

Другие концепции интерпретации

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка