Основы геометрии - Foundations of geometry

Основы геометрии это изучение геометрии в качестве аксиоматические системы. Есть несколько наборов аксиом, которые приводят к Евклидова геометрия или чтобы неевклидовы геометрии. Они имеют фундаментальное значение для изучения и имеют историческое значение, но существует очень много неевклидовых современных геометрий, которые можно изучать с этой точки зрения. Период, термин аксиоматическая геометрия может применяться к любой геометрии, разработанной на основе системы аксиом, но часто используется для обозначения евклидовой геометрии, изучаемой с этой точки зрения. Полнота и независимость общих аксиоматических систем являются важными математическими соображениями, но также возникают вопросы, связанные с преподаванием геометрии.

Аксиоматические системы

Основная статья: Аксиоматическая система

Основываясь на древнегреческих методах, аксиоматическая система является формальным описанием способа установления математическая истина это вытекает из фиксированного набора предположений. Хотя геометрия применима к любой области математики, она является областью элементарной математики, в которой этот метод применяется наиболее успешно.[1]

Есть несколько компонентов аксиоматической системы.[2]

  1. Примитивы (неопределенные термины) - самые основные идеи. Обычно они включают объекты и отношения. В геометрии объекты - это такие вещи, как точки, линии и самолеты в то время как фундаментальные отношения - это отношения заболеваемость - встречи или соединения одного объекта с другим. Сами термины не определены. Гильберта однажды заметил, что вместо точек, линий и плоскостей с тем же успехом можно говорить о столах, стульях и пивных кружках.[3] Он считает, что примитивные термины - это просто пустые оболочки, заполнители, если хотите, и не имеющие внутренних свойств.
  2. Аксиомы (или постулаты) - утверждения об этих примитивах; Например, любые две точки вместе входят в одну линию (т.е. что для любых двух точек есть только одна линия, которая проходит через обе). Аксиомы считаются верными, а не доказанными. Они строительные блоки геометрических понятий, поскольку они определяют свойства, которыми обладают примитивы.
  3. Законы логика.
  4. В теоремы[4] являются логическими следствиями аксиом, то есть утверждениями, которые могут быть получены из аксиом с помощью законов дедуктивной логики.

An интерпретация аксиоматической системы - это некий способ придать конкретный смысл примитивным элементам этой системы. Если эта ассоциация значений делает аксиомы системных утверждений истинными, тогда интерпретация называется модель системы.[5] В модели все теоремы системы автоматически являются истинными утверждениями.

Свойства аксиоматических систем

При обсуждении аксиоматических систем часто внимание уделяется нескольким свойствам:[6]

  • Аксиомы аксиоматической системы называются последовательный если из них нельзя вывести логическое противоречие. За исключением простейших систем, непротиворечивость трудно установить в аксиоматической системе. С другой стороны, если модель существует для аксиоматической системы, то любое противоречие, выводимое в системе, также выводится в модели, и аксиоматическая система так же непротиворечива, как и любая система, к которой принадлежит модель. Это свойство (наличие модели) называется относительная последовательность или же согласованность модели.
  • Аксиома называется независимый если это нельзя доказать или опровергнуть с помощью других аксиом аксиоматической системы. Аксиоматическая система называется независимой, если каждая из ее аксиом независима. Если истинное утверждение - это логическое следствие аксиоматической системы, то это будет истинное утверждение в каждой модели этой системы. Чтобы доказать, что аксиома не зависит от остальных аксиом системы, достаточно найти две модели остальных аксиом, для которых аксиома является истинным утверждением в одном и ложным утверждением в другом. Независимость не всегда желательна с педагогической точки зрения.
  • Аксиоматическая система называется полный если каждое утверждение, выражаемое в терминах системы, либо доказуемо, либо имеет доказуемое отрицание. Другой способ заявить об этом состоит в том, что никакое независимое утверждение не может быть добавлено к полной аксиоматической системе, которая согласуется с аксиомами этой системы.
  • Аксиоматическая система категоричный если любые две модели системы изоморфный (по сути, существует только одна модель системы). Категориальная система обязательно полна, но полнота не предполагает категоричности. В некоторых ситуациях категоричность нежелательна, поскольку категориальные аксиоматические системы не могут быть обобщены. Например, значение аксиоматической системы для теория групп состоит в том, что он не категоричен, поэтому доказательство результата в теории групп означает, что результат действителен во всех различных моделях теории групп, и не нужно повторять результат в каждой из неизоморфных моделей.

Евклидова геометрия

Основная статья: Евклидова геометрия

Евклидова геометрия математическая система, относящаяся к Александрийский Греческий математик Евклид, который он описал (хотя и не строго по современным меркам) в своем учебнике по геометрия: the Элементы. Метод Евклида состоит в предположении небольшого набора интуитивно привлекательных аксиомы, и выводя многие другие предложения (теоремы ) от них. Хотя многие результаты Евклида были заявлены более ранними математиками,[7] Евклид был первым, кто показал, как эти предложения могут вписаться в исчерпывающий дедуктивный и логическая система.[8] В Элементы начинается с плоской геометрии, все еще преподается в Средняя школа как первый аксиоматическая система и первые примеры формальное доказательство. Он переходит к сплошная геометрия из три измерения. Большая часть Элементы заявляет результаты того, что сейчас называется алгебра и теория чисел, объяснил на геометрическом языке.[7]

Более двух тысяч лет прилагательное «евклидова» было ненужным, потому что не было придумано никакого другого вида геометрии. Аксиомы Евклида казались интуитивно очевидными (за возможным исключением параллельный постулат ), что любая доказанная ими теорема считалась истинной в абсолютном, часто метафизическом смысле. Сегодня, однако, известно много других геометрий, не являющихся евклидовой, первые из которых были обнаружены в начале 19 века.

Евклида Элементы

Основная статья: Элементы Евклида

Евклида Элементы это математический и геометрический научный труд состоящий из 13 книг, написанных древними Греческий математик Евклид в Александрия c. 300 г. до н. Э. Это сборник определений, постулатов (аксиомы ), предложения (теоремы и конструкции ), и математические доказательства предложений. Обложка тринадцати книг Евклидова геометрия и древнегреческий вариант elementary теория чисел. За исключением Автолик В движущейся сфере, то Элементы один из старейших дошедших до нас греческих математических трактатов,[9] и это старейшая аксиоматическая дедуктивная трактовка математика. Он оказался полезным в развитии логика и современный наука.

Евклида Элементы был назван самым успешным[10][11] и влиятельные[12] учебник когда-либо писался. Быть первым набранным в Венеция в 1482 году, это одна из самых ранних математических работ, напечатанных после изобретения печатный станок и был оценен Карл Бенджамин Бойер быть вторым после Библия по количеству опубликованных изданий,[12] число которых превышает тысячу.[13] Веками, когда квадривиум был включен в учебную программу всех студентов университета, знание хотя бы части Евклидова Элементы требовалось от всех студентов. Только в 20 веке, когда его содержание повсеместно преподавалось через другие школьные учебники, он перестал считаться чем-то, что читали все образованные люди.[14]

В Элементы в основном представляют собой систематизацию ранее полученных знаний по геометрии. Предполагается, что его превосходство над более ранними методами лечения было признано, в результате чего было мало интереса к сохранению более ранних методов, и теперь они почти все потеряны.

В книгах I – IV и VI обсуждается геометрия плоскости. Доказаны многие результаты о плоских фигурах, например, Если у треугольника два равных угла, то стороны, образуемые углами, равны. В теорема Пифагора доказано.[15]

Книги V и VII – X посвящены теории чисел, где числа рассматриваются геометрически через их представление в виде отрезков прямой разной длины. Такие понятия, как простые числа и рациональный и иррациональные числа вводятся. Бесконечность простых чисел доказана.

Книги XI – XIII посвящены твердой геометрии. Типичный результат - это соотношение 1: 3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием.

Постулат параллельности: если две прямые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две прямые неизбежно должны пересекать друг друга на этой стороне, если они простираются достаточно далеко.

Ближе к началу первой книги Элементы, Евклид дает пять постулаты (аксиомы) плоской геометрии, выраженные в терминах конструкций (в переводе Томаса Хита):[16]

«Пусть постулируется следующее»:

  1. "Чтобы нарисовать прямая линия из любого точка в любую точку ".
  2. "Чтобы произвести [продлить] конечная прямая линия непрерывно по прямой ".
  3. "Чтобы описать круг с любым центром и расстоянием [радиус] ".
  4. «Что все прямые углы равны друг другу».
  5. В параллельный постулат: "Если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше двух прямых. углы ".

Хотя утверждение Евклида о постулатах только явно утверждает существование конструкций, предполагается, что они производят уникальные объекты.

Успех Элементы в первую очередь благодаря логическому изложению большинства математических знаний, доступных Евклиду. Большая часть материала не принадлежит ему оригиналу, хотя многие доказательства предположительно принадлежат ему. Систематическое развитие Евклида своего предмета, от небольшого набора аксиом до глубоких результатов, и последовательность его подхода на протяжении всего периода Элементы, поощрял его использование в качестве учебника около 2000 лет. В Элементы до сих пор влияет на современные книги по геометрии. Кроме того, ее логический аксиоматический подход и строгие доказательства остаются краеугольным камнем математики.

Критика Евклида

Стандарты математической строгости изменились с тех пор, как Евклид написал Элементы.[17] Современное отношение к аксиоматической системе и точки зрения на нее могут создать впечатление, что Евклид каким-то образом был небрежный или же беспечный в его подходе к предмету, но это неисторическая иллюзия. И только после того, как основы были тщательно изучены в ответ на введение неевклидова геометрия это то, что мы сейчас считаем недостатки начали появляться. Математик и историк У. В. Роуз Болл рассмотреть эту критику в перспективе, отметив, что «тот факт, что в течение двух тысяч лет [ Элементы] был обычным учебником по этому предмету, что дает основание предположить, что он не является непригодным для этой цели ».[18]

Некоторые из основных проблем с презентацией Евклида:

  • Непризнание концепции примитивные термины, объекты и понятия, которые необходимо оставить неопределенными при разработке аксиоматической системы.[19]
  • Использование суперпозиции в некоторых доказательствах без аксиоматического обоснования этого метода.[20]
  • Отсутствие концепции непрерывности, необходимой для доказательства существования некоторых точек и линий, построенных Евклидом.[20]
  • Отсутствие ясности относительно того, является ли прямая линия бесконечной или безграничной во втором постулате.[21]
  • Отсутствие концепции посредственность используется, среди прочего, для различения внутренней и внешней стороны различных фигур.[22]

Список аксиом Евклида в Элементы не был исчерпывающим, но представлял принципы, которые казались наиболее важными. В его доказательствах часто используются аксиоматические понятия, которые изначально не были представлены в его списке аксиом.[23] Он не сбивается с пути и не доказывает ошибочные вещи из-за этого, поскольку фактически использует неявные допущения, действительность которых, кажется, подтверждается диаграммами, сопровождающими его доказательства. Позже математики включили неявные аксиоматические допущения Евклида в список формальных аксиом, тем самым значительно расширив этот список.[24]

Например, в первой конструкции Книги 1 Евклид использовал предпосылку, которая не была ни постулирована, ни доказана: две окружности с центрами на расстоянии их радиуса будут пересекаться в двух точках.[25] Позже, в четвертой конструкции, он использовал суперпозицию (перемещение треугольников друг над другом), чтобы доказать, что если две стороны и их углы равны, то они конгруэнтны; во время этих размышлений он использует некоторые свойства суперпозиции, но эти свойства не описаны в трактате явно. Если суперпозицию следует рассматривать как действенный метод геометрического доказательства, вся геометрия будет полна таких доказательств. Например, предложения I.1 - I.3 можно тривиально доказать с помощью суперпозиции.[26]

Чтобы решить эти проблемы в работе Евклида, более поздние авторы пытались либо заполнить дыры в презентации Евклида - наиболее заметная из этих попыток связана с Д. Гильберт –Или организовать систему аксиом вокруг различных понятий, как Г. Д. Биркгоф сделано.

Паш и Пеано

Немецкий математик Мориц Паш (1843–1930) был первым, кто выполнил задачу поставить евклидову геометрию на прочную аксиоматическую основу.[27] В своей книге Vorlesungen über neuere Geometrie опубликованный в 1882 г., Паш заложил основы современного аксиоматического метода. Он положил начало концепции примитивное понятие (который он назвал Kernbegriffe) и вместе с аксиомами (Kernsätzen) он строит формальную систему, свободную от каких-либо интуитивных влияний. Согласно Пашу, единственное место, где интуиция должна играть роль, - это решение, какими должны быть примитивные понятия и аксиомы. Таким образом, для Паша точка это примитивное понятие, но линия (прямая линия) нет, поскольку у нас есть хорошая интуиция в отношении точек, но никто никогда не видел и не имел опыта с бесконечной линией. Примитивное понятие, которое использует вместо него Паш, таково: отрезок.

Паш заметил, что упорядочение точек на прямой (или, что то же самое, свойства удержания отрезков прямой) не разрешается аксиомами Евклида; таким образом, Теорема Паша, утверждая, что если выполняются два отношения включения линейных сегментов, то третье также выполняется, не может быть доказано с помощью аксиом Евклида. Связанные Аксиома Паша касается свойств пересечения линий и треугольников.

Работа Паша над основами задала стандарт строгости не только в геометрии, но и в более широком контексте математики. Его прорывные идеи сейчас настолько распространены, что трудно вспомнить, что у них был один автор. Работа Паша оказала непосредственное влияние на многих других математиков, в частности на Д. Гильберта и итальянского математика. Джузеппе Пеано (1858–1932). Работа Пеано по геометрии 1889 года, в значительной степени перевод трактата Паша в систему обозначений символической логики (которую изобрел Пеано), использует примитивные понятия точка и посредственность.[28] Пеано нарушает эмпирическую связь в выборе примитивных понятий и аксиом, которые требовал Паш. По мнению Пеано, вся система является чисто формальной, не связанной с любыми эмпирическими данными.[29]

Пиери и итальянская школа геометров

Итальянский математик Марио Пиери (1860–1913) использовали другой подход и рассмотрели систему, в которой было только два примитивных понятия: точка и из движение.[30] Паш использовал четыре примитива, а Пеано сократил их до трех, но оба этих подхода опирались на некую концепцию промежуточности, которую Пиери заменил своей формулировкой движение. В 1905 году Пиери дал первую аксиоматическую трактовку сложный проективная геометрия который начался не со строительства настоящий проективная геометрия.

Пиери был членом группы итальянских геометров и логиков, которую Пеано собрал вокруг себя в Турине. Эта группа помощников, младших коллег и других была посвящена выполнению логико-геометрической программы Пеано по установке основ геометрии на твердую аксиоматическую основу, основанную на логическом символизме Пеано. Помимо Пиери, Бурали-Форти, Падоа и Фано были в этой группе. В 1900 году в Париже подряд проходили две международные конференции: Международный философский конгресс и второй Международный конгресс математиков. Эта группа итальянских математиков была очень заметна на этих конгрессах, продвигая свою аксиоматическую повестку дня.[31] Падоа выступил с уважаемой речью, а Пеано в период вопросов после Дэвид Гильберт знаменитый адрес на нерешенные проблемы, заметил, что его коллеги уже решили вторую проблему Гильберта.

Аксиомы Гильберта

Основная статья: Аксиомы Гильберта
Дэвид Гильберт

В Геттингенском университете в зимний семестр 1898–1899 гг. Выдающийся немецкий математик Дэвид Гильберт (1862–1943) читал курс лекций по основам геометрии. По запросу Феликс Кляйн, Профессора Гильберта попросили написать конспект лекций по этому курсу к лету 1899 года церемонии открытия памятника К.Ф. Гаусс и Вильгельм Вебер будет проводиться в университете. Измененные лекции были опубликованы в июне 1899 г. под названием Grundlagen der Geometrie (Основы геометрии). Влияние книги было немедленным. В соответствии с Канун (1963), стр. 384–5):

Разработав набор постулатов для евклидовой геометрии, который по духу не слишком сильно отличается от собственной геометрии Евклида, и используя минимум символизма, Гильберту удалось убедить математиков в гораздо большей степени, чем Паш и Пеано, в чисто гипотетико-дедуктивной теории. природа геометрии. Но влияние работы Гильберта вышло далеко за рамки этого, поскольку, опираясь на большой математический авторитет автора, она прочно внедрила постулатурный метод не только в область геометрии, но и практически во все другие отрасли математики. Трудно переоценить стимул к развитию основ математики, который дает небольшая книга Гильберта. В отсутствие странной символики работ Паша и Пеано, работы Гильберта могут быть прочитаны в значительной степени любым умным учеником, изучающим геометрию в средней школе.

Трудно определить аксиомы, используемые Гильбертом, не обращаясь к истории публикации Grundlagen поскольку Гильберт несколько раз менял и модифицировал их. За оригинальной монографией вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, санкционированный Гильбертом, был сделан E.J. Таунсенд и авторские права принадлежат 1902 году.[32] Этот перевод включает изменения, сделанные во французском переводе, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и появилось несколько изданий на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Гильберта. За 7-м изданием последовали новые, но основной текст практически не редактировался. Изменения в этих редакциях вносятся в приложения и дополнения. Изменения в тексте были значительными по сравнению с оригиналом, и новый английский перевод был заказан издательством Open Court Publishers, опубликовавшим перевод Таунсенда. Итак, 2-е английское издание было переведено Лео Унгером из 10-го немецкого издания в 1971 году.[33] Этот перевод включает в себя несколько исправлений и дополнений более поздних немецких изданий Пола Бернейса. Различия между двумя английскими переводами связаны не только с Гильбертом, но и с различным выбором, сделанным двумя переводчиками. Дальнейшее будет основано на переводе Унгера.

Гильберта система аксиом построен с шестью примитивные представления: точка, линия, самолет, посредственность, лежит на (сдерживании), и соответствие.

Все точки, линии и плоскости в следующих аксиомах различны, если не указано иное.

I. Заболеваемость
  1. За каждые два балла А и B существует линия а который содержит их обоих. Мы пишем AB = а или же BA = а. Вместо «содержит» мы можем также использовать другие формы выражения; например, мы можем сказать «А лежит на а”, “А это точка а”, “а проходит через А и через B”, “а присоединяется А к B”И т. Д. Если А лежит на а и в то же время на другой линии б, мы используем также выражение: «Строки а и б иметь смысл А совместно »и т. д.
  2. Для каждых двух точек существует не более одной строки, содержащей их обе; следовательно, если AB = а и AC = а, куда B ≠ C, то также до н.э = а.
  3. На прямой есть как минимум две точки. Есть как минимум три точки, которые не лежат на одной линии.
  4. За каждые три балла А, B, C не находится на одной прямой, существует плоскость α, содержащая их все. Для каждой плоскости существует точка, лежащая на ней. Мы пишем ABC = α. Мы также используем выражения: «А, B, C, лежат в α ”; «A, B, C - точки α» и т. Д.
  5. За каждые три балла А, B, C которые не лежат на одной линии, существует не более одной плоскости, содержащей их все.
  6. Если две точки А, B линии а лежат в плоскости α, то каждая точка а лежит в α. В этом случае мы говорим: «Линия а лежит в плоскости α »и т. д.
  7. Если две плоскости α, β имеют точку А в общем то у них есть хотя бы вторая точка B в общем.
  8. Существует не менее четырех точек, не лежащих на плоскости.
II. Заказ
  1. Если точка B лежит между точками А и C, B также находится между C и А, и существует линия, содержащая различные точки А, Б, В.
  2. Если А и C две точки на прямой, то существует хотя бы одна точка B лежащий между А и C.
  3. Из любых трех точек, расположенных на одной линии, не более одной находится между двумя другими.
  4. Аксиома Паша: Позволять А, B, C три точки, не лежащие на одной прямой, и пусть а быть линией, лежащей в плоскости ABC и не проходя ни через одну из точек А, B, C. Тогда, если строка а проходит через точку сегмента AB, он также пройдет через любую точку сегмента до н.э или точка сегмента AC.
III. Конгруэнтность
  1. Если А, B две точки на линии а, и если A ′ точка на той же или другой линии а ' , то на данной стороне A ′ по прямой а ' , мы всегда можем найти точку B ′ так что сегмент AB конгруэнтно отрезку A′B ′ . Обозначим эту связь записью AB ≅ A ′ B ′. Каждый сегмент конгруэнтен сам себе; то есть у нас всегда есть AB ≅ AB.
    Мы можем кратко сформулировать вышеприведенную аксиому, сказав, что каждый сегмент может быть уволен на заданной стороне заданной точки заданной прямой по крайней мере в одном направлении.
  2. Если сегмент AB конгруэнтно отрезку A′B ′ а также в сегмент A ″ B ″, то отрезок A′B ′ конгруэнтно отрезку A ″ B ″; то есть, если AB ≅ A′B ′ и AB ≅ A ″ B ″, тогда A′B ′ ≅ A ″ B ″.
  3. Позволять AB и до н.э быть двумя отрезками линии а которые не имеют ничего общего, кроме точки B, и, кроме того, пусть A′B ′ и ДО Н.Э' быть двумя сегментами одной или другой линии а ' не имея, кроме того, другого смысла, кроме B ′ в общем. Тогда, если AB ≅ A′B ′ и до н.э ≅ ДО Н.Э', у нас есть AC ≅ A′C ′.
  4. Пусть угол ∠ (час,k) задана в плоскости α, и пусть прямая а ' быть заданным в плоскости α ′. Предположим также, что в плоскости α ′ определенная сторона прямой а ' быть назначенным. Обозначим через час' луч прямой а ' исходящий из точки O ′ этой строки. Тогда в плоскости α ′ есть один и только один луч k ′ такой, что угол ∠ (час, k) или ∠ (k, час), конгруэнтно углу ∠ (час', k ′) и одновременно все внутренние точки угла ∠ (час', k ′) лежат на заданной стороне а '. Выразим это отношение с помощью обозначения ∠ (час, k) ≅ ∠ (час', k ′).
  5. Если угол ∠ (час, k) конгруэнтно углу ∠ (час', k ′) и на угол ∠ (час", k ″), то угол ∠ (час', k ′) конгруэнтно углу ∠ (час", k ″); то есть, если ∠ (час, k) ≅ ∠ (час', k ′) и ∠ (час, k) ≅ ∠ (час", k ″), то ∠ (час', k ′) ≅ ∠ (час", k ″).
IV. Параллели
  1. (Аксиома Евклида):[34] Позволять а быть любой линией и А дело не в этом. Тогда на плоскости имеется не более одной линии, определяемой а и А, который проходит через А и не пересекается а.
V. Непрерывность
  1. Аксиома архимеда. Если AB и CD есть какие-то отрезки, то существует номер п такой, что п сегменты CD построенный непрерывно из А, по лучу от А через B, перейдет за рамки B.
  2. Аксиома полноты линии. Расширением набора точек на прямой с ее отношениями порядка и конгруэнтности, которые сохранят отношения, существующие между исходными элементами, а также фундаментальные свойства порядка и конгруэнтности линий, вытекающие из аксиом I – III и из V-1, являются невозможно.

Изменения в аксиомах Гильберта

Когда монография 1899 года была переведена на французский язык, Гильберт добавил:

V.2 Аксиома полноты. К системе точек, прямых и плоскостей невозможно добавить другие элементы таким образом, чтобы обобщенная система образовала новую геометрию, подчиняющуюся всем пяти группам аксиом. Другими словами, элементы геометрии образуют систему, которая не поддается расширению, если мы рассматриваем пять групп аксиом как действительные.

Эта аксиома не нужна для развития евклидовой геометрии, но необходима для установления биекция между действительные числа и точки на линии.[35] Это было важным элементом доказательства Гильбертом непротиворечивости его системы аксиом.

К 7 изданию Grundlagen, эта аксиома была заменена указанной выше аксиомой полноты строки, а старая аксиома V.2 стала теоремой 32.

Также в монографии 1899 года (и в переводе Таунсенда) можно найти:

II.4. Любые четыре точки А, B, C, D линии всегда можно пометить так, чтобы B должен находиться между А и C а также между А и D, и, кроме того, что C должен находиться между А и D а также между B и D.

Тем не мение, E.H. Мур и Р.Л. Мур независимо доказал, что эта аксиома избыточна, и первый опубликовал этот результат в статье, появившейся в Труды Американского математического общества в 1902 г.[36] Гильберт перенес аксиому в теорему 5 и соответствующим образом изменил нумерацию аксиом (старая аксиома II-5 (аксиома Паша) теперь стала II-4).

Хотя это и не столь радикально, как эти изменения, большинство оставшихся аксиом также претерпели изменения по форме и / или функциям в течение первых семи изданий.

Последовательность и независимость

Выходя за рамки установления удовлетворительного набора аксиом, Гильберт также доказал непротиворечивость своей системы относительно теории действительных чисел, построив модель своей системы аксиом из действительных чисел. Он доказал независимость некоторых из своих аксиом, построив модели геометрий, которые удовлетворяют всем, кроме одной рассматриваемой аксиомы. Таким образом, есть примеры геометрий, удовлетворяющих всем, кроме аксиомы Архимеда V.1 (неархимедовы геометрии), всем, кроме параллельной аксиомы IV.1 (неевклидовы геометрии) и так далее. Используя ту же технику, он также показал, как некоторые важные теоремы зависят от одних аксиом и не зависят от других. Некоторые из его моделей были очень сложными, а другие математики пытались их упростить. Например, модель Гильберта для демонстрации независимости Теорема дезарга из определенных аксиом в конечном итоге привели Рэя Моултона к открытию недезарговского Самолет Моултона. Эти исследования Гильберта фактически положили начало современному изучению абстрактной геометрии в двадцатом веке.[37]

Аксиомы Биркгофа

Основная статья: Аксиомы Биркгофа
Джордж Дэвид Биркофф

В 1932 г. Г. Д. Биркгоф создал набор из четырех постулаты из Евклидова геометрия иногда упоминается как Аксиомы Биркгофа.[38] Все эти постулаты основаны на основных геометрия что может быть экспериментально подтверждено с помощью шкала и транспортир. В радикальном отходе от синтетического подхода Гильберта Биркгоф первым построил основы геометрии на настоящий номер система.[39] Именно это мощное предположение допускает небольшое количество аксиом в этой системе.

Постулаты

Биркофф использует четыре неопределенных термина: точка, линия, расстояние и угол. Его постулаты:[40]

Постулат I: Постулат меры линии. Точки А, B, ... любой строки можно поставить в соответствие 1: 1 с действительные числа Икс так что |ИксB −Икс А| = d (А, Б) для всех точек А иB.

Постулат II: Постулат точки-линии. Есть одна и только одна прямая линия, ℓ, который содержит любые две заданные различные точки п иQ.

Постулат III: Постулат угловой меры. Лучи {ℓ, м, н, ...} через любую точку О можно поставить в соответствие 1: 1 с действительными числами а (мод 2π) так что если А и B баллы (не равны О) из ℓ и м, соответственно, разница ам − аℓ (mod 2π) чисел, связанных с прямыми ℓ и м является AOB. Кроме того, если точка B на м непрерывно меняется в строке р не содержащий вершину О, номер ам также постоянно меняется.

Постулат IV: Постулат подобия. Если в двух треугольниках ABC и A'B'C ' и для некоторой постоянной k > 0, d(А ', В' ) = kd(А, Б), d(А ', С') = kd(А, С) и B'A'C ' = ±BAC, тогда d(ДО Н.Э') = kd(ДО Н.Э),  C'B'A ' = ±CBA, и A'C'B ' = ±ACB.

Школа геометрии

Джордж Брюс Холстед

Вопрос о том, разумно ли преподавать евклидову геометрию с аксиоматической точки зрения на уровне средней школы, является предметом споров. Было много попыток сделать это, и не все из них были успешными. В 1904 г. Джордж Брюс Холстед опубликовал школьный текст по геометрии, основанный на наборе аксиом Гильберта.[41] Логическая критика этого текста привела к пересмотренному второму изданию.[42] В ответ на запуск российского спутника Спутник Был призыв пересмотреть школьную программу по математике. Из этого усилия возникла Новая математика программа 1960-х гг. Имея это в качестве фона, многие люди и группы приступили к предоставлению текстового материала для классов геометрии на основе аксиоматического подхода.

Аксиомы Мак Лейна

Saunders Mac Lane

Saunders Mac Lane (1909–2005), математик,[43] написал статью в 1959 году, в которой он предложил набор аксиом для евклидовой геометрии в духе обращения Биркгофа с использованием функции расстояния для связывания действительных чисел с отрезками прямых.[44] Это была не первая попытка основать лечение на уровне школы на системе Биркгофа, фактически, Биркгоф и Ральф Битли написали школьный текст в 1940 году.[45] который разработал евклидову геометрию на основе пяти аксиом и способности измерять отрезки прямых и углы. Однако для того, чтобы приспособить трактовку к школьной аудитории, некоторые математические и логические аргументы были либо проигнорированы, либо замалены.[42]

В системе Mac Lane четыре примитивные представления (неопределенные условия): точка, расстояние, линия и угловая мера. Есть также 14 аксиом, четыре из которых задают свойства функции расстояния, четыре описывают свойства линий, четыре обсуждают углы (которые в данном трактате являются направленными углами), аксиома подобия (по существу такая же, как у Биркгофа) и аксиома непрерывности, которая может использоваться для получения Теорема о перекладине и его обратное.[46] Увеличенное количество аксиом имеет педагогическое преимущество, так как упрощает отслеживание ранних доказательств в разработке и использование знакомых метрика позволяет быстро продвигаться по основному материалу, так что более «интересные» аспекты предмета могут быть изучены раньше.

Аксиомы SMSG (School Mathematics Study Group)

В 1960-х годах новый набор аксиом евклидовой геометрии, пригодный для школьных курсов геометрии, был введен Школьная группа по изучению математики (SMSG), как часть Новая математика учебные планы. Этот набор аксиом следует модели Биркгофа, в которой действительные числа используются для быстрого проникновения в геометрические основы. Однако, в то время как Биркгоф пытался свести к минимуму количество используемых аксиом, и большинство авторов были озабочены независимостью аксиом в их трактовке, список аксиом SMSG был намеренно сделан большим и избыточным по педагогическим причинам.[47] SMSG только произвела мимеографический текст, используя эти аксиомы,[48] но Эдвин Э. Мойз, член SMSG, написал школьный текст на основе этой системы:[49] и текст уровня колледжа, Моисей (1974), с удалением части избыточности и внесением изменений в аксиомы для более искушенной аудитории.[50]

Есть восемь неопределенных терминов: точка, линия, самолет, лежат на, расстояние, угловая мера, площадь и объем. 22 аксиомы этой системы даны по отдельности для удобства пользования. Среди них можно найти: постулат линейки, постулат размещения линейки, постулат разделения плоскостей, постулат сложения углов, Боковой угол сторона (SAS) Постулат, Параллельный постулат (в Форма Playfair ), и Принцип Кавальери.[51]

Аксиомы UCSMP (школьный математический проект Чикагского университета)

Хотя большая часть Новая математика Учебная программа была радикально изменена или от нее отказались, геометрическая часть осталась относительно стабильной. Современные учебники для старших классов используют системы аксиом, которые очень похожи на системы SMSG. Например, тексты, созданные Проект математики школы Чикагского университета (UCSMP) используют систему, которая, помимо некоторого обновления языка, в основном отличается от системы SMSG тем, что включает в себя некоторые трансформация концепции под своим «Постулатом отражения».[47]

Есть только три неопределенных термина: точка, линия и самолет. Существует восемь «постулатов», но большинство из них состоит из нескольких частей (которые обычно называют предположения в этой системе). Считая эти части, в этой системе 32 аксиомы. Среди постулатов можно найти постулат точка-линия-плоскость, то Неравенство треугольника постулат, постулаты расстояния, измерения углов, соответствующих углов, площади и объема, а также постулат Отражения. Постулат отражения используется в качестве замены постулата SAS системы SMSG.[52]

Другие системы

Освальд Веблен (1880-1960) представил новую систему аксиом в 1904 году, когда он заменил понятие «промежуточность», используемое Гильбертом и Пашем, новым примитивом, порядок. Это позволило нескольким примитивным терминам, используемым Гильбертом, стать определенными сущностями, уменьшив количество примитивных понятий до двух, точка и порядок.[37]

Многие другие аксиоматические системы для евклидовой геометрии были предложены на протяжении многих лет. Сравнение многих из них можно найти в монографии Генри Джорджа Фордера 1927 года.[53] Фордер также дает, комбинируя аксиомы из разных систем, свою собственную трактовку, основанную на двух примитивных понятиях: точка и порядок. Он также дает более абстрактную трактовку одной из систем Пиери (1909 г.), основанной на примитивных принципах. точка и соответствие.[42]

Начиная с Пеано, среди логиков возник параллельный интерес к аксиоматическим основам евклидовой геометрии. Отчасти это можно увидеть в обозначениях, используемых для описания аксиом. Пиери утверждал, что, хотя он писал на традиционном языке геометрии, он всегда думал в терминах логических обозначений, введенных Пеано, и использовал этот формализм, чтобы увидеть, как что-то доказывать. Типичный пример такого типа обозначений можно найти в работе Э. В. Хантингтон (1874 - 1952), который в 1913 году[54] произвела аксиоматическую трактовку трехмерной евклидовой геометрии, основанную на примитивных представлениях сфера и включение (одна сфера лежит внутри другой).[42] Помимо обозначений, существует также интерес к логической структуре теории геометрии. Альфред Тарский доказал, что часть геометрии, которую он назвал элементарный геометрия, является логической теорией первого порядка (см. Аксиомы Тарского ).

Современные текстовые трактовки аксиоматических основ евклидовой геометрии следуют образцу Х. Г. Фордера и Жильбер де Б. Робинсон[55] которые смешивают и сопоставляют аксиомы из разных систем, чтобы создать разные акценты. Венема (2006) является современным примером такого подхода.

Неевклидова геометрия

Основная статья: Неевклидова геометрия

Принимая во внимание роль, которую математика играет в науке, и значение научного знания для всех наших убеждений, революционные изменения в понимании человеком природы математики не могли не означать революционных изменений в его понимании науки, доктрин философии, религиозных и этических норм. верования и, по сути, все интеллектуальные дисциплины.[56]

В первой половине девятнадцатого века произошла революция в области геометрии, которая была столь же важна с научной точки зрения, как коперниканская революция в астрономии, и столь же философски глубока, как дарвиновская теория эволюции в своем влиянии на наш образ мышления. Это было следствием открытия неевклидовой геометрии.[57] Более двух тысяч лет, начиная со времен Евклида, постулаты, лежащие в основе геометрии, считались самоочевидными истинами о физическом пространстве. Геометры думали, что они выводят из них другие, более непонятные истины, без возможности ошибки. Эта точка зрения стала несостоятельной с развитием гиперболической геометрии. Теперь существовали две несовместимые системы геометрии (и другие появились позже), которые были самосогласованными и совместимыми с наблюдаемым физическим миром. «С этого момента вся дискуссия об отношении между геометрией и физическим пространством велась в совершенно иных терминах» (Моис 1974, п. 388)

Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) должен заменить его отрицание. Отрицая Аксиома Playfair form, поскольку это составной оператор (... существует один и только один ...), можно выполнить двумя способами. Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку, параллельную данной прямой, либо не будет никаких прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае замена постулата параллельности (или его эквивалента) утверждением «На плоскости, заданной точке P и прямой ℓ не проходящие через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются ℓ"и соблюдая все остальные аксиомы, дает гиперболическая геометрия.[58] Второй случай решается не так просто. Просто заменив постулат параллельности утверждением: "На плоскости, если даны точка P и прямая ℓ не проходя через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются ℓ", не дает последовательного набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии,[59] но это утверждение говорит о том, что параллельных линий нет. Эта проблема была известна (в другом виде) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для их отказа от так называемого «случая тупого угла». Чтобы получить непротиворечивый набор аксиом, включающий эту аксиому об отсутствии параллельных прямых, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Необходимые корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти изменения повлияют на изменение второго постулата Евклида от утверждения, что отрезки линии могут быть неограниченно продолжены, до утверждения, что линии не ограничены. Риман с эллиптическая геометрия возникает как наиболее естественная геометрия, удовлетворяющая этой аксиоме.

Это было Гаусс кто ввел термин «неевклидова геометрия».[60] Он имел в виду свою собственную, неопубликованную работу, которую сегодня мы называем гиперболическая геометрия. Некоторые авторы до сих пор считают «неевклидову геометрию» и «гиперболическую геометрию» синонимами. В 1871 г. Феликс Кляйн, адаптируя метрику, обсуждаемую Артур Кэли в 1852 году он смог привнести метрические свойства в проективную среду и, таким образом, смог объединить трактовки гиперболической, евклидовой и эллиптической геометрии под эгидой проективная геометрия.[61] Кляйн отвечает за термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он назвал евклидову геометрию «параболической», термин, который не выдержал проверки временем и используется сегодня только в нескольких дисциплинах). Его влияние привело к к обычному использованию термина «неевклидова геометрия» для обозначения «гиперболической» или «эллиптической» геометрии.

Есть некоторые математики, которые по-разному расширяют список геометрий, которые следует называть «неевклидовой». В других дисциплинах, в первую очередь математическая физика, где влияние Кляйна было не таким сильным, термин «неевклидова» часто используется для обозначения нет Евклидово.

Параллельный постулат Евклида

Основная статья: Параллельный постулат

В течение двух тысяч лет было предпринято множество попыток доказать параллельный постулат, используя первые четыре постулата Евклида. Возможная причина того, что такое доказательство так востребовано, заключалась в том, что, в отличие от первых четырех постулатов, параллельный постулат не является самоочевидным. Если порядок, в котором постулаты были перечислены в элементах, важен, это указывает на то, что Евклид включил этот постулат только тогда, когда он понял, что не может доказать его или действовать без него.[62] Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат из четырех других, многие из них принимались в качестве доказательств в течение долгих периодов времени, пока не была обнаружена ошибка. Неизменно ошибка заключалась в допущении некоторого «очевидного» свойства, которое оказывалось эквивалентным пятому постулату. В конце концов выяснилось, что этот постулат нельзя доказать на основании других четырех. В соответствии с Трюдо (1987, п. 154) это мнение о параллельном постулате (Постулат 5) действительно появляется в печати:

По-видимому, первым это сделал Г.С. Клюгель (1739–1812), докторант Геттингенского университета, при поддержке своего учителя А.Г. Кестнера в диссертации 1763 года. Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum manifestrandi Recensio (Обзор наиболее известных попыток продемонстрировать теорию параллелей). В этой работе Клюгель рассмотрел 28 попыток доказать Постулат 5 (включая попытку Саккери), нашел их все несовершенными и высказал мнение, что Постулат 5 недоказуем и поддерживается исключительно суждением наших органов чувств.

В начале XIX века, наконец, произошли решительные шаги в создании неевклидовой геометрии. Около 1813 г., Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт[63] были разработаны зародышевые идеи неевклидовой геометрии, но ни один из них не опубликовал никаких результатов. Затем, примерно в 1830 году, Венгерский математик Янош Бойяи и русский математик Николай Иванович Лобачевский отдельно опубликованные трактаты о том, что мы сегодня называем гиперболическая геометрия. Следовательно, гиперболическая геометрия была названа геометрией Бойяи-Лобачевского, поскольку оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бойая, когда ему показали работу младшего Бояи, что он разработал такую ​​геометрию за несколько лет до этого,[64] правда он не публиковал. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бойяи разработал геометрию, в которой возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрия в зависимости от параметра. k. Бойяи заканчивает свою работу упоминанием о том, что невозможно решить с помощью одних только математических рассуждений, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук. В независимость постулата параллельности из других аксиом Евклида был наконец продемонстрирован Эухенио Бельтрами в 1868 г.[65]

Различные попытки доказательства постулата параллельности привели к появлению длинного списка теорем, эквивалентных постулату параллельности. Эквивалентность здесь означает, что при наличии других аксиом геометрии каждая из этих теорем может считаться истинной, и постулат параллельности может быть доказан с помощью этого измененного набора аксиом. Это не то же самое, что логическая эквивалентность.[66] В различных наборах аксиом евклидовой геометрии любая из них может заменить постулат евклидовой параллельности.[67] В следующем частичном списке указаны некоторые из этих теорем, представляющих исторический интерес.[68]

  1. Параллельные прямые эквидистантны. (Посейдоний, I век до н. Э.)
  2. Все точки, равноудаленные от данной прямой линии, на данной стороне от нее, составляют прямую линию. (Кристоф Клавий, 1574 г.)
  3. Аксиома Playfair. На плоскости есть не более одной линии, которую можно провести параллельно другой, проведенной через внешнюю точку. (Прокл, 5 век, но популяризирован Джоном Плейфэром, конец 18 века)
  4. Сумма углы в каждом треугольник 180 ° (Джероламо Саккери, 1733; Адриан-Мари Лежандр, начало 19 века)
  5. Существует треугольник, сумма углов которого составляет 180 °. (Джероламо Саккери, 1733; Адриан-Мари Лежандр, начало XIX века)
  6. Существует пара похожий, но нет конгруэнтный, треугольники. (Джероламо Саккери, 1733 г.)
  7. Каждый треугольник может быть ограниченный. (Адриан-Мари Лежандр, Фаркас Бойяи, начало XIX века)
  8. Если три угла четырехугольник находятся прямые углы, то четвертый угол тоже прямой. (Алексис-Клод Клеро, 1741; Иоганн Генрих Ламберт, 1766)
  9. Существует четырехугольник, в котором все углы прямые. (Гераламо Саккери, 1733 г.)
  10. Постулат Уоллиса. На заданной конечной прямой всегда можно построить треугольник, аналогичный заданному треугольнику. (Джон Уоллис, 1663; Лазар-Николас-Маргарита Карно, 1803; Адриан-Мари Лежандр, 1824)
  11. Верхнего предела для площадь треугольника. (Карл Фридрих Гаусс, 1799 г.)
  12. Вершинные углы Четырехугольник Саккери равны 90 °. (Гераламо Саккери, 1733 г.)
  13. Прокл аксиома. Если линия пересекает одну из двух параллельных линий, обе из которых копланарны исходной линии, то она также пересекает другую. (Прокл, 5 век)

Нейтральная (или абсолютная) геометрия

Основная статья: Абсолютная геометрия

Абсолютная геометрия это геометрия на основе система аксиом состоящий из всех аксиом, дающих Евклидова геометрия кроме параллельный постулат или любой из его альтернатив.[69] Термин был введен Янош Бойяи в 1832 г.[70] Иногда его называют нейтральная геометрия,[71] поскольку он нейтрален по отношению к постулату параллельности.

Отношение к другим геометриям

В Евклида Элементы первые 28 предложений и предложение I.31 избегают использования постулата параллельности и поэтому являются действительными теоремами в абсолютной геометрии.[72] Предложение I.31 доказывает существование параллельных прямых (по построению). Так же Теорема Саккери – Лежандра, который утверждает, что сумма углов в треугольнике не превышает 180 °, можно доказать.

Теоремы абсолютной геометрии верны в гиперболическая геометрия а также в Евклидова геометрия.[73]

Абсолютная геометрия несовместима с эллиптическая геометрия: в эллиптической геометрии вообще нет параллельных прямых, но в абсолютной геометрии параллельные прямые существуют. Кроме того, в эллиптической геометрии сумма углов в любом треугольнике больше 180 °.

Неполнота

По логике, аксиомы не образуют полная теория поскольку можно добавить дополнительные независимые аксиомы, не делая систему аксиом противоречивой. Можно расширить абсолютную геометрию, добавив различные аксиомы о параллелизме и получить несовместимые, но непротиворечивые системы аксиом, что приведет к евклидовой или гиперболической геометрии. Таким образом, каждая теорема абсолютной геометрии является теоремой гиперболической геометрии и евклидовой геометрии. Однако обратное неверно. Кроме того, абсолютная геометрия нет а категориальная теория, поскольку у него есть неизоморфные модели.[нужна цитата ]

Гиперболическая геометрия

Основная статья: Гиперболическая геометрия

В аксиоматическом подходе к гиперболическая геометрия (также называемая геометрией Лобачевского или геометрией Бояи – Лобачевского), к аксиомам, дающим абсолютная геометрия. Новая аксиома Параллельный постулат Лобачевского (также известный как характерный постулат гиперболической геометрии):[74]

Через точку не на данной прямой существует (в плоскости, определяемой этой точкой и прямой) по крайней мере две прямые, которые не пересекаются с данной прямой.

С этим дополнением система аксиом завершена.

Хотя новая аксиома утверждает только существование двух прямых, легко установить, что существует бесконечное количество прямых, проходящих через данную точку, которые не пересекаются с данной прямой. Учитывая эту полноту, нужно быть осторожным с терминологией в этом контексте, так как термин параллельная линия больше не имеет того уникального значения, которое имеет в евклидовой геометрии. В частности, пусть п быть точкой не на заданной линии . Позволять PA быть перпендикуляром, проведенным из п к (встреча в точке А). Линии через п делятся на два класса, те, которые соответствуют и те, которые этого не делают. Характерный постулат гиперболической геометрии гласит, что существует по крайней мере две линии последнего типа. Из линий, которые не встречаются , будет (с каждой стороны PA) линия, образующая наименьший угол с PA. Иногда эти строки называют первый линии через п которые не встречаются и называются по-разному предельный, асимптотический или же параллельно линии (когда используется этот последний термин, это Только параллельные линии). Все остальные строки через п которые не встречаются называются непересекающийся или же ультрапараллельный линий.

Поскольку гиперболическая геометрия и евклидова геометрия построены на аксиомах абсолютной геометрии, они имеют много общих свойств и утверждений. Однако последствия замены постулата параллельности евклидовой геометрии характерным постулатом гиперболической геометрии могут быть драматичными. Чтобы упомянуть некоторые из них:

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии
  • А Четырехугольник Ламберта - четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертый угол четырехугольника Ламберта равен острый если геометрия гиперболическая, а прямой угол если геометрия евклидова. Более того, прямоугольники может существовать (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
  • А Четырехугольник Саккери - четырехугольник, у которого две стороны равной длины, обе перпендикулярны стороне, называемой основание. Два других угла четырехугольника Саккери называются углы вершины и у них равная мера. Вершины четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, и прямые углы, если геометрия евклидова.
  • Сумма углов любого треугольника меньше 180 °, если геометрия гиперболическая, и равна 180 °, если геометрия евклидова. В дефект треугольника - числовое значение (180 ° - сумма размеров углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положительный, а дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю.
  • В площадь треугольника в гиперболической геометрии ограничен, в то время как треугольники существуют с произвольно большими площадями в евклидовой геометрии.
  • Множество точек на одной стороне и на одинаковом расстоянии от данной прямой образуют линию в евклидовой геометрии, но не в гиперболической геометрии (они образуют линию гиперцикл.)

Сторонники позиции, что евклидова геометрия является единственной «истинной» геометрией, потерпели неудачу, когда в мемуарах, опубликованных в 1868 г., «Фундаментальная теория пространств постоянной кривизны»,[75] Эухенио Бельтрами дал абстрактное доказательство равноправность гиперболической и евклидовой геометрии для любого измерения. Он добился этого, представив несколько моделей неевклидовой геометрии, которые теперь известны как Модель Бельтрами – Клейна, то Модель диска Пуанкаре, а Модель полуплоскости Пуанкаре, вместе с преобразованиями, которые их связывают. Для модели полуплоскости Бельтрами процитировал примечание Liouville в трактате о Monge на дифференциальная геометрия. Бельтрами также показал, что п-мерная евклидова геометрия реализуется на горосфера из (п + 1) -мерный гиперболическое пространство, поэтому логическая связь между согласованностью евклидовой и неевклидовой геометрий является симметричной.

Эллиптическая геометрия

Основная статья: Эллиптическая геометрия

Другой способ изменить Постулат евклидовой параллели это предположить, что на плоскости нет параллельных прямых. В отличие от ситуации с гиперболическая геометрия, где мы просто добавляем одну новую аксиому, мы не можем получить непротиворечивую систему, добавляя это утверждение в качестве новой аксиомы к аксиомам абсолютная геометрия. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии. Остальные аксиомы необходимо изменить.

Начиная с Аксиомы Гильберта необходимые изменения включают удаление четырех аксиом порядка Гильберта и замену их этими семью аксиомами разделения, связанными с новым неопределенным отношением.[76]

Есть неопределенный (примитивный ) связь между четырьмя точками, А, B, C и D обозначается (А,C|B,D) и читать как "А и C отдельный B и D",[77] удовлетворяющие этим аксиомам:

  1. Если (А,B|C,D), то точки А, B, C и D находятся коллинеарен и отчетливый.
  2. Если (А,B|C,D), тогда (C,D|А,B) и (B,А|D,C).
  3. Если (А,B|C,D), то не (А,C|B,D).
  4. Если точки А, B, C и D коллинеарны и различны, то (А,B|C,D) или же (А,C|B,D) или же (А,D|B,C).
  5. Если точки А, B, и C коллинеарны и различны, то существует точка D такой, что (А,B|C,D).
  6. Для любых пяти различных коллинеарных точек А, B, C, D и E, если (А,B|D,E), то либо (А,B|C,D) или же (А,B|C,E).
  7. Перспективы сохранить разделение.

Поскольку гильбертовское понятие «промежуточность» было удалено, термины, которые были определены с использованием этого понятия, нуждаются в переопределении.[78] Таким образом, отрезок AB определяется как точки А и B и все точки между А и B в абсолютной геометрии, нуждается в переформулировке. Сегмент линии в этой новой геометрии определяется тремя коллинеарными точками. А, B и C и состоит из этих трех точек и всех точек, не отделенных от B к А и C. Есть и другие последствия. Поскольку две точки не определяют однозначно отрезок прямой, три неколлинеарные точки не определяют уникальный треугольник, и определение треугольника необходимо переформулировать.

После переопределения этих понятий все остальные аксиомы абсолютной геометрии (инцидентность, конгруэнтность и непрерывность) обретают смысл и остаются в покое. Вместе с новой аксиомой об отсутствии параллельных прямых у нас есть последовательная система аксиом, дающая новую геометрию. Полученная в результате геометрия называется (плоскость) Эллиптическая геометрия.

Четырехугольники Саккери в евклидовой, эллиптической и гиперболической геометрии

Несмотря на то, что эллиптическая геометрия не является расширением абсолютной геометрии (как евклидова и гиперболическая геометрия), в утверждениях трех геометрий присутствует определенная «симметрия», которая отражает более глубокую связь, которую наблюдал Феликс Клейн. Вот некоторые из предложений, которые демонстрируют это свойство:

  • Четвертый угол Четырехугольник Ламберта является тупой угол в эллиптической геометрии.
  • Вершинные углы a Четырехугольник Саккери тупы в эллиптической геометрии.
  • Сумма углов любого треугольника больше 180 °, если геометрия эллиптическая. Это дефект треугольника отрицательно.[79]
  • Все прямые, перпендикулярные данной прямой, встречаются в общей точке эллиптической геометрии, называемой столб линии. В гиперболической геометрии эти прямые не пересекаются, а в евклидовой геометрии они взаимно параллельны.

Другие результаты, такие как теорема о внешнем угле, ясно подчеркивают разницу между эллиптической геометрией и геометриями, которые являются продолжением абсолютной геометрии.

Сферическая геометрия

Основная статья: Сферическая геометрия

Другая геометрия

Проективная геометрия

Основная статья: Проективная геометрия

Аффинная геометрия

Основная статья: Аффинная геометрия

Упорядоченная геометрия

Основная статья: Упорядоченная геометрия

Абсолютная геометрия является продолжением упорядоченная геометрия, и, таким образом, все теоремы упорядоченной геометрии верны в абсолютной геометрии. Обратное неверно. Абсолютная геометрия предполагает, что первые четыре аксиомы Евклида (или их эквиваленты) противопоставляются аффинная геометрия, что не предполагает третьей и четвертой аксиом Евклида. Упорядоченная геометрия является общей основой как абсолютной, так и аффинной геометрии.[80]

Конечная геометрия

Основная статья: Конечная геометрия

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Венема 2006, п. 17
  2. ^ Уайли-младший, 1964 г., п. 8
  3. ^ Гринберг 1974, п. 59
  4. ^ В этом контексте не делается различия между различными категориями теорем. Предложения, леммы, следствия и т. Д. Рассматриваются одинаково.
  5. ^ Венема 2006, п. 19
  6. ^ Faber 1983, стр.105 - 8
  7. ^ а б Канун 1963 г., п. 19
  8. ^ Канун 1963 г., п. 10
  9. ^ Boyer (1991). «Евклид Александрийский». п. 101. За исключением Сфера у Автолика, сохранившиеся работы Евклида - самые старые из дошедших до нас греческих математических трактатов; однако из того, что написал Евклид, утрачено более половины, Отсутствует или пусто | название = (помощь)
  10. ^ Энциклопедия Древней Греции (2006) Найджела Гая Уилсона, страница 278. Издана Routledge Taylor and Francis Group. Цитата: «Элементы Евклида впоследствии стали основой всего математического образования не только в римский и византийский периоды, но вплоть до середины 20 века, и можно утверждать, что это самый успешный учебник из когда-либо написанных».
  11. ^ Boyer (1991). «Евклид Александрийский». п. 100. В качестве учителей в школе он позвал группу ведущих ученых, среди которых был автор самого невероятно успешного учебника математики из когда-либо написанных - The Элементы (Стоихия) Евклида. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
  12. ^ а б Boyer (1991). «Евклид Александрийский». п. 119. В Элементы Евклида был не только самым ранним дошедшим до нас крупным греческим математическим трудом, но и самым влиятельным учебником всех времен. [...] Первые печатные версии Элементы появилась в Венеции в 1482 году, одна из самых первых книг по математике, которые были напечатаны; подсчитано, что с тех пор было опубликовано не менее тысячи выпусков. Возможно, ни одна книга, кроме Библии, не может похвастаться таким количеством изданий, и уж точно ни одна математическая работа не имела влияния, сопоставимого с влиянием Евклида. Элементы. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
  13. ^ Исторические корни элементарной математики Лукас Николаас Хендрик Бант, Филип С. Джонс, Джек Д. Бедент (1988), стр. 142. Дуврские публикации. Цитата: "the Элементы стал известен Западной Европе через арабов и мавров. Там Элементы стал основой математического образования. Более 1000 изданий Элементы известны. По всей видимости, рядом с Библия, самая распространенная книга в цивилизации западного мира ».
  14. ^ Из вступления Амита Агара к Евклид и его современные соперники Льюиса Кэрролла (2009, Barnes & Noble) стр. xxviii:

    Геометрия стала неотъемлемой частью стандартного образования английского джентльмена в восемнадцатом веке; к викторианскому периоду он также становился важной частью образования ремесленников, детей в школах-интернатах, колониальных предметов и, в гораздо меньшей степени, женщин. ... Стандартным учебником для этой цели был не кто иной, как Евклидов. Элементы.

  15. ^ Евклид, книга I, предложение 47
  16. ^ Хит 1956, стр.195 - 202 (т. 1)
  17. ^ Венема 2006, п. 11
  18. ^ Бал 1960, п. 55
  19. ^ Уайли-младший, 1964 г., п. 39
  20. ^ а б Faber 1983, п. 109
  21. ^ Faber 1983, п. 113
  22. ^ Faber 1983, п. 115
  23. ^ Хит 1956, п. 62 (т. I)
  24. ^ Гринберг 1974, п. 57
  25. ^ Хит 1956, п. 242 (т. I)
  26. ^ Хит 1956, п. 249 (т. I)
  27. ^ Канун 1963 г., п. 380
  28. ^ Пеано 1889
  29. ^ Канун 1963 г., п. 382
  30. ^ Канун 1963 г., п. 383
  31. ^ Пиери не присутствовал, так как недавно переехал на Сицилию, но у него был доклад, который он читал на философском конгрессе.
  32. ^ Гильберт 1950
  33. ^ Гильберт 1990
  34. ^ Это терминология Гильберта. Это утверждение более известно как Аксиома Playfair.
  35. ^ Канун 1963 г., п. 386
  36. ^ Мур, Э. (1902 г.), «О проективных аксиомах геометрии», Труды Американского математического общества, 3 (1): 142–158, Дои:10.2307/1986321, JSTOR  1986321
  37. ^ а б Канун 1963 г., п. 387
  38. ^ Биркофф, Джордж Дэвид (1932), «Набор постулатов для плоской геометрии», Анналы математики, 33 (2): 329–345, Дои:10.2307/1968336, HDL:10338.dmlcz / 147209, JSTOR  1968336
  39. ^ Венема 2006, п. 400
  40. ^ Венема 2006, стр. 400–1
  41. ^ Холстед, Г. Б. (1904), Рациональная геометрия, Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc.
  42. ^ а б c d Канун 1963 г., п. 388
  43. ^ среди его нескольких достижений он является соучредителем (с Сэмюэл Эйленберг ) из Теория категорий.
  44. ^ Мак-Лейн, Сондерс (1959), «Метрические постулаты для плоской геометрии», Американский математический ежемесячный журнал, 66 (7): 543–555, Дои:10.2307/2309851, JSTOR  2309851
  45. ^ Birkhoff, G.D .; Битли, Р. (1940), Базовая геометрия, Чикаго: Скотт, Форсман и компания [Перепечатка 3-го издания: Американское математическое общество, 2000. ISBN  978-0-8218-2101-5]
  46. ^ Венема 2006, стр. 401–2
  47. ^ а б Венема 2006, п. 55
  48. ^ Группа изучения математики школы (SMSG) (1961), Геометрия, части 1 и 2 (текст для учащихся), Нью-Хейвен и Лондон: издательство Йельского университета
  49. ^ Моис, Эдвин Э .; Даунс, Флойд Л. (1991), Геометрия, Ридинг, Массачусетс: Эддисон – Уэсли
  50. ^ Венема 2006, п. 403
  51. ^ Венема 2006, стр. 403–4
  52. ^ Венема 2006, стр. 405 - 7
  53. ^ Фордер, Х.Г. (1927), "Основы евклидовой геометрии", Природа, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, 123 (3089): 44, Bibcode:1928Натура.123 ... 44., Дои:10.1038 / 123044a0 (перепечатано Dover, 1958)
  54. ^ Хантингтон, Э. (1913), «Набор постулатов абстрактной геометрии, выраженный в терминах простого отношения включения», Mathematische Annalen, 73 (4): 522–559, Дои:10.1007 / bf01455955
  55. ^ Робинсон, Г. де Б. (1946), Основы геометрии, Mathematical Expositions No. 1 (2-е изд.), Торонто: University of Toronto Press
  56. ^ Клайн, Моррис (1967), Математика для нематематика, Нью-Йорк: Довер, стр.474, ISBN  0-486-24823-2
  57. ^ Гринберг 1974, п. 1
  58. ^ хотя постулируются только две линии, легко показать, что таких линий должно быть бесконечное количество.
  59. ^ Книга I Предложение 27 Евклида Элементы
  60. ^ Феликс Кляйн, Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия, Dover, 1948 (перепечатка английского перевода 3-го издания 1940 г. Первое издание на немецком языке 1908 г.) стр. 176
  61. ^ Ф. Кляйн, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathematische Annalen, 4(1871).
  62. ^ Флоренс П. Льюис (январь 1920 г.), «История параллельного постулата», Американский математический ежемесячник, The American Mathematical Monthly, Vol. 27, №1, 27 (1): 16–23, Дои:10.2307/2973238, JSTOR  2973238.
  63. ^ В письме от декабря 1818 года Фердинанд Карл Швейкарт (1780–1859) сделал набросок некоторых идей неевклидовой геометрии. Письмо было отправлено Гауссу в 1819 году бывшим учеником Гаусса Герлингом. В своем ответе Герлингу Гаусс похвалил Швейкарта и упомянул свое собственное, более раннее исследование неевклидовой геометрии.
  64. ^ В письме к Вольфгангу (Фаркасу) Бойяи от 6 марта 1832 г. Гаусс утверждает, что работал над этой проблемой тридцать или тридцать пять лет (Faber 1983, п. 162). В своем письме 1824 г. к Таурину (Faber 1983, п. 158), он утверждал, что работал над проблемой более 30 лет и представил достаточно деталей, чтобы показать, что он действительно разработал детали. В соответствии с Фабер (1983, п. 156) только в 1813 году Гаусс согласился с существованием новой геометрии.
  65. ^ Бельтрами, Эухенио Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232–255
  66. ^ Соответствующий пример логической эквивалентности дается аксиомой Плейфэра и Евклидом I.30 (см. Аксиома Playfair # Транзитивность параллелизма ).
  67. ^ Например, Гильберт использует аксиому Плейфэра, в то время как Биркгоф использует теорему о подобных, но не совпадающих треугольниках.
  68. ^ атрибуция связана с Трюдо 1987, стр. 128–9
  69. ^ Используйте полный набор аксиом евклидовой геометрии, например Аксиомы Гильберта или другой современный аналог (Faber 1983, п. 131). Исходный набор аксиом Евклида неоднозначен и неполон, он не составляет основу евклидовой геометрии.
  70. ^ В "Приложение, демонстрирующее абсолютную науку о космосе: независимо от истинности или ложности Аксиомы XI Евклида (ни в коем случае не решено заранее)" (Faber 1983, п. 161)
  71. ^ Гринберг цитирует В. Преновица и М. Джордана (Greenberg, p. Xvi) за то, что они использовали термин нейтральная геометрия для обозначения той части евклидовой геометрии, которая не зависит от постулата Евклида о параллельности. Он говорит, что слово абсолютный в абсолютная геометрия ошибочно подразумевает, что все остальные геометрические формы зависят от него.
  72. ^ Трюдо 1987, п. 44
  73. ^ Абсолютная геометрия, по сути, является пересечением гиперболической геометрии и евклидовой геометрии, когда они рассматриваются как наборы утверждений.
  74. ^ Faber 1983, п. 167
  75. ^ Бельтрами, Эухенио (1868), "Теория фондментале дельи спасения ди курватура костанте", Annali. Ди Мат., Сер II, 2: 232–255, Дои:10.1007 / BF02419615
  76. ^ Гринберг 2007, стр. 541–4
  77. ^ Визуализируйте четыре точки на круге, которые в порядке против часовой стрелки А, B, C и D.
  78. ^ Это усиливает тщетность попыток «исправить» аксиомы Евклида для получения этой геометрии. Необходимо внести изменения в неустановленные предположения Евклида.
  79. ^ Отрицательный дефект называется избыток, поэтому это также можно сформулировать так: треугольники имеют положительный избыток в эллиптической геометрии.
  80. ^ Кокстер, стр. 175–176

Рекомендации

(3 тт.): ISBN  0-486-60088-2 (том 1), ISBN  0-486-60089-0 (т. 2), ISBN  0-486-60090-4 (т. 3).
  • Гильберт, Дэвид (1950) [впервые опубликовано в 1902 году], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] (PDF), Английский перевод Э.Дж. Townsend (2-е изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing
  • Гильберт, Дэвид (1990) [1971], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie], переведено Лео Унгером из 10-го немецкого издания (2-е изд. на английском языке), La Salle, IL: Open Court Publishing, ISBN  0-87548-164-7
  • Мойз, Эдвин Э. (1974), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон – Уэсли, ISBN  0-201-04793-4
  • Пеано, Джузеппе (1889), Принципы геометрии: logicamente esposti, Турин: Fratres Bocca
  • Трюдо, Ричард Дж. (1987), Неевклидова революция, Бостон: Биркхаузер, ISBN  0-8176-3311-1
  • Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии, Верхняя Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл, ISBN  0-13-143700-3
  • Уайли-младший, C.R. (1964), Основы геометрии, Нью-Йорк: McGraw – Hill

внешняя ссылка