Неравенство треугольника - Triangle inequality

Эта статья про основное неравенство ${\displaystyle z\leq x+y}$. По поводу других неравенств, связанных с треугольниками, см. Список неравенств треугольника.

Три примера неравенства треугольника для треугольников со сторонами длин Икс, у, z. В верхнем примере показан случай, когда z намного меньше суммы Икс + у двух других сторон, а в нижнем примере показан случай, когда сторона z лишь немного меньше, чем Икс + у.

В математика, то неравенство треугольника заявляет, что для любого треугольник, сумма длин любых двух сторон должна быть больше или равна длине оставшейся стороны.^[1][2] Это утверждение допускает включение вырожденные треугольники, но некоторые авторы, особенно те, кто пишет об элементарной геометрии, исключают эту возможность, тем самым упуская возможность равенства.^[3] Если Икс, у, и z - длины сторон треугольника, причем ни одна из сторон не превышает z, то неравенство треугольника утверждает, что

${\displaystyle z\leq x+y,}$

с равенством только в вырожденном случае треугольника нулевой площади. Евклидова геометрия и некоторых других геометрий неравенство треугольника является теоремой о расстояниях, и оно записывается с использованием векторов и векторных длин (нормы ):

${\displaystyle \|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|,}$

где длина z третьей стороны заменена векторной суммой Икс + у. Когда Икс и у находятся действительные числа, их можно рассматривать как векторы в ℝ¹, а неравенство треугольника выражает связь между абсолютные значения.

В евклидовой геометрии для прямоугольные треугольники неравенство треугольника является следствием теорема Пифагора, а для общих треугольников следствие закон косинусов, хотя это может быть доказано и без этих теорем. Неравенство интуитивно можно увидеть либо в ℝ² или ℝ³. На рисунке справа показаны три примера, начиная с явного неравенства (вверху) и приближаясь к равенству (внизу). В евклидовом случае равенство имеет место только в том случае, если треугольник имеет 180° угол и два 0° углы, делая три вершины коллинеарен, как показано в нижнем примере. Таким образом, в евклидовой геометрии кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая линия.

В сферическая геометрия, кратчайшее расстояние между двумя точками - дуга большой круг, но неравенство треугольника выполняется при условии, что расстояние между двумя точками на сфере равно длине малого сферического отрезка прямой (то есть отрезка с центральным углом в [0, π]) с этими конечными точками.^[4][5]

Неравенство треугольника есть определение собственности из нормы и меры расстояние. Это свойство должно быть установлено как теорема для любой функции, предлагаемой для таких целей для каждого конкретного пространства: например, таких пространств, как действительные числа, Евклидовы пространства, то L^п пробелы (п ≥ 1), и внутренние пространства продукта.

Евклидова геометрия

Конструкция Евклида для доказательства неравенства треугольника для плоской геометрии.

Евклид доказал неравенство треугольника для расстояний в плоская геометрия используя конструкцию на рисунке.^[6] Начиная с треугольника ABC, строится равнобедренный треугольник, одна сторона которого равна до н.э и другая равная нога BD по продолжению стороны AB. Затем утверждается, что угол β > αтак сторона ОБЪЯВЛЕНИЕ > AC. Но ОБЪЯВЛЕНИЕ = AB + BD = AB + до н.э итак сумма сторон AB + до н.э > AC. Это доказательство появляется в Элементы Евклида, Книга 1, Предложение 20.^[7]

Математическое выражение ограничения на сторонах треугольника

Для правильного треугольника неравенство треугольника, как сказано словами, буквально переводится в три неравенства (при условии, что правильный треугольник имеет длину сторон а, б, c которые все положительны и исключают вырожденный случай нулевой площади):

${\displaystyle a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b.}$

Более сжатая форма этой системы неравенств может быть представлена ​​следующим образом:

${\displaystyle |a-b|<c<a+b.}$

Другой способ заявить об этом -

${\displaystyle \max(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)<a+b+c-\max(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)}$

подразумевая

${\displaystyle 2\max(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)<a+b+c}$

и, таким образом, длина самой длинной стороны меньше длины полупериметр.

Математически эквивалентная формулировка состоит в том, что площадь треугольника со сторонами а, б, c должно быть действительным числом больше нуля. Формула Герона для области

${\displaystyle {\begin{aligned}4\cdot {\text{area}}&={\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}.\end{aligned}}}$

В терминах любого выражения площади неравенство треугольника, наложенное со всех сторон, эквивалентно условию, что выражение под знаком квадратного корня является действительным и больше нуля (поэтому выражение площади является действительным и больше нуля).

Неравенство треугольника дает еще два интересных ограничения для треугольников, стороны которых равны а, б, в, где а ≥ б ≥ с и ${\displaystyle \phi }$ это Золотое сечение, так как

${\displaystyle 1<{\frac {a+c}{b}}<3}$

${\displaystyle 1\leq \min \left({\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}}\right)<\phi .}$^[8]

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник с равными сторонами AB = AC разделен на два прямоугольных треугольника высотой, полученной от одного из двух углов основания.

В случае прямоугольных треугольников неравенство треугольника специализируется на утверждении, что гипотенуза больше любой из двух сторон и меньше их суммы.^[9]

Вторая часть этой теоремы уже установлена ​​выше для любой стороны любого треугольника. Первая часть устанавливается по нижнему рисунку. На рисунке рассмотрим прямоугольный треугольник АЦП. Равнобедренный треугольник ABC построен с равными сторонами AB = AC. От постулат треугольника, углы в прямоугольном треугольнике АЦП удовлетворить:

${\displaystyle \alpha +\gamma =\pi /2\ .}$

Точно так же в равнобедренном треугольнике ABC, углы удовлетворяют:

${\displaystyle 2\beta +\gamma =\pi \ .}$

Следовательно,

${\displaystyle \alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {while} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,}$

и так, в частности,

${\displaystyle \alpha <\beta \ .}$

Это означает сторону ОБЪЯВЛЕНИЕ противоположный угол α короче стороны AB напротив большего угла β. Но AB = AC. Отсюда:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {AC} }}>{\overline {\mathrm {AD} }}\ .}$

Подобная конструкция показывает AC > ОКРУГ КОЛУМБИЯ, устанавливая теорему.

Альтернативное доказательство (также основанное на постулате треугольника) заключается в рассмотрении трех положений точки B:^[10] (i) как изображено (что должно быть доказано), или (ii) B совпадает с D (что означало бы, что равнобедренный треугольник имел два прямых угла в качестве базовых углов плюс угол при вершине γ, что нарушит постулат треугольника ) или, наконец, (iii) B внутри прямоугольного треугольника между точками А и D (в этом случае угол ABC внешний угол прямоугольного треугольника BDC и поэтому больше, чем π/2, что означает, что другой угол основания равнобедренного треугольника также больше, чем π/2 и их сумма превышает π в нарушение постулата треугольника).

Эта теорема, устанавливающая неравенства, уточняется Теорема Пифагора к равенству, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Примеры использования

Рассмотрим треугольник, стороны которого лежат в арифметическая прогрессия и пусть стороны будут а, а + d, а + 2d. Тогда неравенство треугольника требует, чтобы

${\displaystyle 0<a<2a+3d}$

${\displaystyle 0<a+d<2a+2d}$

${\displaystyle 0<a+2d<2a+d.}$

Для удовлетворения всех этих неравенств требуется

${\displaystyle a>0{\text{ and }}-{\frac {a}{3}}<d<a.}$^[11]

Когда d выбирается так, что d = а/3, он формирует прямоугольный треугольник, который всегда похож на Пифагорейская тройка с боков 3, 4, 5.

Теперь рассмотрим треугольник, стороны которого лежат в геометрическая прогрессия и пусть стороны будут а, ар, ар². Тогда неравенство треугольника требует, чтобы

${\displaystyle 0<a<ar+ar^{2}}$

${\displaystyle 0<ar<a+ar^{2}}$

${\displaystyle 0<ar^{2}<a+ar.}$

Первое неравенство требует а > 0; следовательно, его можно разделить и устранить. С участием а > 0, среднее неравенство требует только р > 0. Это оставляет первое и третье неравенства, которые должны удовлетворять

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}}$

Первое из этих квадратичных неравенств требует р колебаться в области за пределами значения положительного корня квадратного уравнения р² + р − 1 = 0, т.е. р > φ − 1 где φ это Золотое сечение. Второе квадратичное неравенство требует р варьироваться от 0 до положительного корня квадратного уравнения р² − р − 1 = 0, т.е. 0 < р < φ. Комбинированные требования приводят к р ограниченный диапазоном

${\displaystyle \varphi -1<r<\varphi \,{\text{ and }}a>0.}$^[12]

Когда р общее отношение выбрано таким, что р = √φ он формирует прямоугольный треугольник, который всегда похож на Треугольник Кеплера.

Обобщение на любой многоугольник

Неравенство треугольника можно расширить на математическая индукция к произвольным многоугольным путям, показывая, что общая длина такого пути не меньше длины прямой линии между его конечными точками. Следовательно, длина любой стороны многоугольника всегда меньше суммы длин сторон других многоугольников.

Пример обобщенного неравенства многоугольника для четырехугольника

Рассмотрим четырехугольник, стороны которого лежат в геометрическая прогрессия и пусть стороны будут а, ар, ар², ар³. Тогда обобщенное неравенство многоугольника требует, чтобы

${\displaystyle 0<a<ar+ar^{2}+ar^{3}}$

${\displaystyle 0<ar<a+ar^{2}+ar^{3}}$

${\displaystyle 0<ar^{2}<a+ar+ar^{3}}$

${\displaystyle 0<ar^{3}<a+ar+ar^{2}.}$

Эти неравенства для а > 0 сводятся к следующему

${\displaystyle r^{3}+r^{2}+r-1>0}$

${\displaystyle r^{3}-r^{2}-r-1<0.}$^[13]

Полиномы в левой части этих двух неравенств имеют корни, которые являются постоянная трибоначчи и его обратное. Вследствие этого, р ограничен диапазоном 1/т < р < т где т - постоянная трибоначчи.

Отношения с кратчайшими путями

Длина дуги кривой определяется как наименьшая верхняя граница длин полигональных аппроксимаций.

Это обобщение может быть использовано для доказательства того, что кратчайшая кривая между двумя точками в евклидовой геометрии является прямой линией.

Никакой многоугольный путь между двумя точками не короче линии между ними. Это означает, что никакая кривая не может иметь длина дуги меньше, чем расстояние между его конечными точками. По определению, длина дуги кривой равна наименьшая верхняя граница длин всех ломаных аппроксимаций кривой. Результат для многоугольных путей показывает, что прямая линия между конечными точками является самой короткой из всех многоугольных приближений. Поскольку длина дуги кривой больше или равна длине каждого полигонального приближения, сама кривая не может быть короче прямой линии.^[14]

Converse

Верно и обратное утверждение теоремы о неравенстве треугольника: если три действительных числа таковы, что каждое меньше суммы других, то существует треугольник с этими числами в качестве длин сторон и с положительной площадью; и если одно число равно сумме двух других, существует вырожденный треугольник (то есть с нулевой площадью) с этими числами в качестве длин сторон.

В любом случае, если длины сторон равны а, б, в мы можем попытаться поместить треугольник в Евклидова плоскость как показано на схеме. Нам нужно доказать, что существует действительное число час в соответствии с ценностями а, б, и c, и в этом случае этот треугольник существует.

Треугольник с высотой час режущая база c в d + (c − d).

Посредством теорема Пифагора у нас есть б² = час² + d² и а² = час² + (c − d)² согласно рисунку справа. Вычитая эти урожаи а² − б² = c² − 2компакт диск. Это уравнение позволяет выразить d по сторонам треугольника:

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$

Для высоты треугольника имеем час² = б² − d². Заменив d с формулой, приведенной выше, мы имеем

${\displaystyle h^{2}=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}.}$

Для реального числа час чтобы удовлетворить это, ${\displaystyle h^{2}}$ должно быть неотрицательным:

${\displaystyle b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\geq 0,}$

${\displaystyle \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\geq 0,}$

${\displaystyle \left(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\geq 0,}$

${\displaystyle (a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\geq 0,}$

${\displaystyle (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\geq 0,}$

которое выполняется, если неравенство треугольника выполняется для всех сторон. Следовательно, существует действительное число час соответствует сторонам а, б, в, и треугольник существует. Если выполняется каждое неравенство треугольника строго, час > 0 и треугольник невырожденный (имеет положительную площадь); но если одно из неравенств выполняется с равенством, то час = 0, треугольник вырожденный.

Обобщение на более высокие измерения

В евклидовом пространстве гиперобъем (п − 1)-грань из п-симплекс меньше или равно сумме гиперобъемов другого п грани. В частности, площадь треугольной грани тетраэдр меньше или равна сумме площадей трех других сторон.

Нормированное векторное пространство

Неравенство треугольника для норм векторов.

В нормированное векторное пространство V, одно из определяющих свойств норма это неравенство треугольника:

${\displaystyle \displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall \,x,y\in V}$

то есть норма сумма двух векторов не больше суммы норм двух векторов. Это также называется субаддитивность. Чтобы любая предлагаемая функция вела себя как норма, она должна удовлетворять этому требованию.^[15]

Если нормированное пространство евклидов, или, в более общем смысле, строго выпуклый, тогда ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|}$ если и только если треугольник, образованный Икс, у, и Икс + у, является вырожденным, то естьИкс и у находятся на одном луче, т.е. Икс = 0 или у = 0, илиИкс = α y для некоторых α > 0. Это свойство характеризует строго выпуклые нормированные пространства, такие как ℓ_п пространства с 1 < п < ∞. Однако есть нормированные пространства, в которых это неверно. Например, рассмотрим самолет с ℓ₁ норма ( Манхэттенское расстояние ) и обозначить Икс = (1, 0) и у = (0, 1). Тогда треугольник, образованныйИкс, у, и Икс + у, невырожден, но

${\displaystyle \|x+y\|=\|(1,1)\|=|1|+|1|=2=\|x\|+\|y\|.}$

Примеры норм

• Абсолютное значение как норма для реальная линия. Чтобы быть нормой, неравенство треугольника требует, чтобы абсолютная величина удовлетворять для любых реальных чисел Икс и у:

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|,}$

что он делает.

Доказательство:^[16]

${\displaystyle -\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert }$

${\displaystyle -\left\vert y\right\vert \leq y\leq \left\vert y\right\vert }$

После добавления

${\displaystyle -(\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert )\leq x+y\leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert }$

Используйте тот факт, что ${\displaystyle \left\vert b\right\vert \leq a\Leftrightarrow -a\leq b\leq a}$(с участием б заменяется Икс+у и а от ${\displaystyle \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert }$), у нас есть

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

Неравенство треугольника полезно в математический анализ для определения наилучшей верхней оценки размера суммы двух чисел в терминах размеров отдельных чисел.

Существует также более низкая оценка, которую можно найти с помощью обратное неравенство треугольника в котором говорится, что для любых действительных чисел Икс и у:

${\displaystyle |x-y|\geq {\bigg |}|x|-|y|{\bigg |}.}$

• Внутренний продукт как норма в внутреннее пространство продукта. Если норма возникает из внутреннего произведения (как в случае евклидовых пространств), то неравенство треугольника следует из Неравенство Коши – Шварца следующим образом: данные векторы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, и обозначив внутренний продукт как ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$:^[17]

${\displaystyle \|x+y\|^{2}}$	${\displaystyle =\langle x+y,x+y\rangle }$
	${\displaystyle =\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}}$
	${\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}}$
	${\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}}$ (по неравенству Коши – Шварца)
	${\displaystyle =\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}}$.

Неравенство Коши – Шварца превращается в равенство тогда и только тогда, когда Икс и улинейно зависимы. Неравенство${\displaystyle \langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2|\langle x,y\rangle |}$превращается в равенство для линейно зависимых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$тогда и только тогда, когда один из векторов Икс или у это неотрицательный скаляр другого.

Извлечение квадратного корня из окончательного результата дает неравенство треугольника.

• п-норма: обычно используемой нормой является п-норма:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\ ,}$

где Икс_я компоненты вектора Икс. Для п = 2 то п-норма становится Евклидова норма:

${\displaystyle \|x\|_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}\ ,}$

который Теорема Пифагора в п-размеры, очень частный случай, соответствующий внутренней норме продукта. Кроме случая п = 2, то п-норма не внутренняя норма продукта, потому что она не удовлетворяет закон параллелограмма. Неравенство треугольника для общих значений п называется Неравенство Минковского.^[18] Он принимает вид:

${\displaystyle \|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p}+\|y\|_{p}\ .}$

Метрическое пространство

В метрическое пространство M с метрикой d, неравенство треугольника является требованием при расстояние:

${\displaystyle d(x,\ z)\leq d(x,\ y)+d(y,\ z)\ ,}$

для всех Икс, у, z в M. То есть расстояние от Икс к z не больше суммы расстояний от Икс к у и расстояние от у к z.

Неравенство треугольника отвечает за большую часть интересной структуры метрического пространства, а именно за сходимость. Это потому, что остальные требования к метрике по сравнению с ними довольно упрощены. Например, то, что любой сходящаяся последовательность в метрическом пространстве - это Последовательность Коши является прямым следствием неравенства треугольника, потому что если мы выберем любой Икс_п и Икс_м такой, что d(Икс_п, Икс) < ε/2 и d(Икс_м, Икс) < ε/2, где ε > 0 задано и произвольно (как в определении предела в метрическом пространстве), то по неравенству треугольника d(Икс_п, Икс_м) ≤ d(Икс_п, Икс) + d(Икс_м, Икс) < ε/2 + ε/2 = ε, так что последовательность {Икс_п} является последовательностью Коши по определению.

Этот вариант неравенства треугольника сводится к изложенному выше в случае нормированных векторных пространств, в которых метрика индуцируется через d(Икс, у) ≔ ‖Икс − у‖, с участием Икс − у вектор, указывающий из точки у к Икс.

Неравенство обратного треугольника

В обратное неравенство треугольника является элементарным следствием неравенства треугольника, которое дает оценки снизу вместо оценок сверху. Для плоской геометрии утверждение:^[19]

Любая сторона треугольника больше, чем разница между двумя другими сторонами..

В случае нормированного векторного пространства утверждение таково:

${\displaystyle {\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|,}$

или для метрических пространств, |d(у, Икс) − d(Икс, z)| ≤ d(у, z)Отсюда следует, что норма ${\displaystyle \|\cdot \|}$ а также функция расстояния ${\displaystyle d(x,\cdot )}$ находятся Липшицева непрерывная с постоянной Липшица 1, и поэтому в частности равномерно непрерывный.

Доказательство обратного треугольника использует неравенство правильного треугольника, и ${\displaystyle \|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|}$:

${\displaystyle \|x\|=\|(x-y)+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,}$

${\displaystyle \|y\|=\|(y-x)+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|,}$

Объединение этих двух утверждений дает:

${\displaystyle -\|x-y\|\leq \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\Rightarrow {\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|.}$

Обращение в пространстве Минковского

В Пространство Минковского метрика ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ не является положительно определенным, что означает, что ${\displaystyle \|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }}$ может иметь знак или исчезать, даже если вектор Икс не равно нулю. Более того, если Икс и у оба времениподобных вектора лежат в световом конусе будущего, неравенство треугольника обратное:

${\displaystyle \|x+y\|\geq \|x\|+\|y\|.}$

Физическим примером этого неравенства является парадокс близнецов в специальная теория относительности. Такая же обратная форма неравенства выполняется, если оба вектора лежат в световом конусе прошлого, и если один или оба являются нулевыми векторами. Результат сохраняется в п + 1 размер для любого п ≥ 1. Если плоскость, определяемая Икс и у пространственноподобно (и, следовательно, является евклидовым подпространством), то выполняется обычное неравенство треугольника.

Смотрите также

• Субаддитивность
• Неравенство Минковского
• Неравенство Птолемея

Заметки

1. Вольфрам MathWorld - http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html
2. Мохамед А. Хамси; Уильям А. Кирк (2001). "§1.4 Неравенство треугольника в ℝ^п". Введение в метрические пространства и теорию неподвижных точек. Wiley-IEEE. ISBN  0-471-41825-0.
3. например, Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия, W.H. Freeman & Co., стр. 246, ISBN  0-7167-0456-0
4. Оливер Брок; Джефф Тринкл; Фабио Рамос (2009). Робототехника: наука и системы IV. MIT Press. п. 195. ISBN  978-0-262-51309-8.
5. Арлан Рамзи; Роберт Д. Рихтмайер (1995). Введение в гиперболическую геометрию. Springer. п.17. ISBN  0-387-94339-0.
6. Гарольд Р. Джейкобс (2003). Геометрия: видеть, делать, понимать (3-е изд.). Макмиллан. п. 201. ISBN  0-7167-4361-2.
7. Дэвид Э. Джойс (1997). «Элементы Евклида, книга 1, предложение 20». Элементы Евклида. Кафедра математики и компьютерных наук, Университет Кларка. Получено 2010-06-25.
8. Американский математический ежемесячный журнал, с. 49-50, 1954.
9. Клод Ирвин Палмер (1919). Практическая математика для домашнего изучения: основы арифметики, геометрии, алгебры и тригонометрии. Макгроу-Хилл. п.422.
10. Александр Завайра; Гэвин Хичкок (2009). «Лемма 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любой из двух других сторон». Букварь для олимпиад по математике. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-953988-8.
11. Вольфрам | Альфа. "ввод: решить 0 ". Wolfram Research. Получено 2010-09-07.
12. Вольфрам | Альфа. "ввод: решить 0 2, 0 2, 0 2<а + ар". Wolfram Research. Получено 2010-09-07.
13. Вольфрам | Альфа. "ввод: решить 0 2+ ар³, 0 3<а + ар + ар²". Wolfram Research. Получено 2012-07-29.
14. Джон Стиллвелл (1997). Числа и геометрия. Springer. ISBN  978-0-387-98289-2. п. 95.
15. Райнер Кресс (1988). «§3.1: Нормированные пространства». Численный анализ. Springer. п. 26. ISBN  0-387-98408-9.
16. Джеймс Стюарт (2008). Основное исчисление. Томсон Брукс / Коул. п. A10. ISBN  978-0-495-10860-3.
17. Джон Стиллвелл (2005). Четыре столпа геометрии. Springer. п.80. ISBN  0-387-25530-3.
18. Карен Сакс (2002). Начало функционального анализа. Springer. п. 61. ISBN  0-387-95224-1.
19. Аноним (1854 г.). "Упражнение I. к предложению XIX". Популярный педагог; четвертый том. Ладгейт-Хилл, Лондон: Джон Касселл. п. 196.

использованная литература

• Педое, Даниэль (1988). Геометрия: комплексный курс. Дувр. ISBN  0-486-65812-0..
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-054235-X..

внешние ссылки

• Неравенство треугольника в ProofWiki