Закон параллелограмма - Parallelogram law

Параллелограмм. Стороны показаны синим цветом, а диагонали - красным.

В математика, простейшая форма закон параллелограмма (также называемый тождество параллелограмма) принадлежит элементарному геометрия. В нем говорится, что сумма квадратов длин четырех сторон параллелограмм равна сумме квадратов длин двух диагоналей. Используя обозначения на схеме справа, стороны имеют вид (AB), (до н.э), (CD), (DA). Но поскольку в Евклидова геометрия у параллелограмма обязательно противоположные стороны равны, т. е. (AB) = (CD) и (до н.э) = (DA) закон можно записать как

${\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}\,}$

Если параллелограмм прямоугольник, две диагонали равной длины (AC) = (BD), так

${\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}\,}$

и утверждение сводится к теорема Пифагора. Для общего четырехугольник с четырьмя сторонами не обязательно равными,

${\displaystyle (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}+4x^{2},}$

куда Икс это длина отрезок присоединение к средние точки диагоналей. Из диаграммы видно, что Икс = 0 для параллелограмма, и поэтому общая формула упрощается до закона параллелограмма.

Доказательство

Пусть в параллелограмме слева AD = BC = a, AB = DC = b, ∠BAD = α. Используя закон косинусов в треугольнике ΔBAD получаем:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}}$

В параллелограмме смежные углы находятся дополнительный, поэтому ∠ADC = 180 ° -α. Используя закон косинусов в треугольнике ΔADC получаем:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}}$

Применяя тригонометрическая идентичность ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$ к первому результату получаем:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}}$

Теперь сумма квадратов ${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$ можно выразить как:

${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )}$

После упрощения этого выражения получаем:

${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}}$

Закон параллелограмма во внутренних пространствах продукта

Векторы, участвующие в законе параллелограмма.

В нормированное пространство, формулировка закона параллелограмма представляет собой уравнение, связывающее нормы:

${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.\,}$      для всех ${\displaystyle x,y}$

Закон параллелограмма эквивалентен, казалось бы, более слабому утверждению:

${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\,}$      для всех ${\displaystyle x,y}$

потому что обратное неравенство может быть получено из него, подставив ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}$ за Икс, и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}$ за у, а затем упрощение. При таком же доказательстве закон параллелограмма также эквивалентен:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\,}$      для всех ${\displaystyle x,y.}$

В внутреннее пространство продукта, норма определяется с помощью внутренний продукт:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,}$

Как следствие этого определения, в пространстве внутреннего продукта закон параллелограмма представляет собой алгебраическое тождество, легко устанавливаемое с использованием свойств внутреннего продукта:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,}$

${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,}$

Добавляем эти два выражения:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},\,}$

как требуется.

Если Икс ортогонален у, тогда ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0}$ и приведенное выше уравнение для нормы суммы принимает следующий вид:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}$

который Теорема Пифагора.

Нормированные векторные пространства, удовлетворяющие закону параллелограмма

Наиболее настоящий и сложный нормированные векторные пространства не имеют внутренних произведений, но все нормированные векторные пространства имеют нормы (по определению). Например, обычно используемой нормой является п-норма:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},}$

где ${\displaystyle x_{i}}$ компоненты вектора ${\displaystyle x}$.

Имея норму, можно оценить обе стороны приведенного выше закона параллелограмма. Примечателен тот факт, что если выполняется закон параллелограмма, то норма должна возникать обычным образом из некоторого внутреннего продукта. В частности, это верно для п-норма тогда и только тогда, когда п = 2, так называемый Евклидово норма или стандарт норма.^[1][2]

Для любой нормы, удовлетворяющей закону параллелограмма (которая обязательно является нормой внутреннего продукта), внутренний продукт, порождающий норму, является уникальным как следствие поляризационная идентичность. В реальном случае идентичность поляризации определяется выражением:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\ }$ или же ${\displaystyle \ {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.}$

В сложном случае это определяется как:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.}$

Например, используя п-норма с п = 2 и действительные векторы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, оценка внутреннего продукта происходит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\&={\tfrac {1}{4}}\left[\sum |x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum |x_{i}-y_{i}|^{2}\right]\\&={\tfrac {1}{4}}\left[4\sum x_{i}y_{i}\right]\\&=x\cdot y,\end{aligned}}}$

что является стандартом скалярное произведение двух векторов.

Смотрите также

• Франсуа Давье
• Коммутативная собственность
• Внутреннее пространство продукта
• Нормированное векторное пространство
• Поляризационная идентичность

Рекомендации

1. Кантрелл, Сайрус Д. (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров. Издательство Кембриджского университета. п. 535. ISBN  0-521-59827-3. если п ≠ 2 не существует внутреннего продукта такого, что ${\displaystyle {\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}}$ поскольку п-норма нарушает закон параллелограмма.
2. Сакс, Карен (2002). Начало функционального анализа. Springer. п. 10. ISBN  0-387-95224-1.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Закон параллелограмма». MathWorld.
• Закон параллелограмма доказывается просто в Блог Dreamshire
• Закон параллелограмма: доказательство без слов в завязать узел