Pons asinorum - Pons asinorum

Pons asinorum в издании Бирна книги Элементы показывая часть доказательства Евклида.

В геометрия, утверждение, что углы, противоположные равным сторонам равнобедренный треугольник равны сами по себе, известна как pons asinorum (латинский: [ˈPõːs asɪˈnoːrũː], Английский: /ˈпɒпzˌæsɪˈпɔːrəм/ PONZ жопа-я-НИ-əм ), обычно переводится как "мост задницы ". Это утверждение является предложением 5 книги 1 в Евклид с Элементы, и также известен как теорема о равнобедренном треугольнике. Верно и обратное: если два угла треугольника равны, то и противоположные им стороны также равны. Этот термин также применяется к теореме Пифагора.^[1]

Название этого утверждения также используется метафорически для обозначения проблемы или вызова, которые отделяют уверенный разум от простого, быстро мыслящего мыслителя от медленного, решительного от медлительного, чтобы представить критический тест на способности или понимание. Его первое известное использование было в 1645 году.^[2]

Доказательства

Доказательство Прокла

Книга 1 «Элементы Евклида», предложение 5; Pons asinorum

Евклид и Прокл

Утверждение Евклида о pons asinorum включает второй вывод о том, что если равные стороны треугольника продолжаются ниже основания, то углы между расширениями и основанием также равны. Доказательство Евклида включает в себя дополнительные линии этих расширений. Но, как комментатор Евклида Прокл Как указывает, Евклид никогда не использует второй вывод, и его доказательство можно несколько упростить, вместо этого проведя вспомогательные линии к сторонам треугольника, а остальная часть доказательства проводится более или менее таким же образом.

Было много предположений и споров о том, почему Евклид добавил к теореме второй вывод, учитывая, что это усложняет доказательство. Одно правдоподобное объяснение, данное Проклом, состоит в том, что второй вывод может использоваться в возможных возражениях против доказательств более поздних предложений, где Евклид не охватывает все случаи.^[3] Доказательство во многом опирается на то, что сегодня называют сторона угол сторона, предыдущее предложение в Элементы.

Вариант доказательства Евклида Прокл состоит в следующем:^[4]
Пусть ABC - равнобедренный треугольник, стороны которого равны AB и AC. Выберите произвольную точку D на стороне AB и постройте E на AC так, чтобы AD = AE. Проведите линии BE, DC и DE.
Рассмотрим треугольники BAE и CAD; BA = CA, AE = AD и ${\displaystyle \angle A}$ равняется самому себе, поэтому по схеме сторона-угол-сторона треугольники равны, а соответствующие стороны и углы равны.
Следовательно ${\displaystyle \angle ABE=\angle ACD}$ и ${\displaystyle \angle ADC=\angle AEB}$, и BE = CD.
Поскольку AB = AC и AD = AE, BD = CE путем вычитания равных частей.
Теперь рассмотрим треугольники DBE и ECD; BD = CE, BE = CD и ${\displaystyle \angle DBE=\angle ECD}$ были только что показаны, поэтому снова применяя сторону-угол-сторону, треугольники конгруэнтны.
Следовательно, угол BDE = угол CED, а угол BED = угол CDE.
Поскольку угол BDE = угол CED и угол CDE = угол BED, угол BDC = угол CEB путем вычитания равных частей.
Рассмотрим третью пару треугольников, BDC и CEB; DB = EC, DC = EB и угол BDC = угол CEB, поэтому, применяя стороны-угол-сторону в третий раз, треугольники совпадают.
В частности, угол CBD = BCE, который требовал доказательства.

Паппус

Прокл дает гораздо более короткое доказательство, приписываемое Папп Александрийский. Это не только проще, но и не требует дополнительных конструкций. Метод доказательства состоит в том, чтобы нанести треугольник и его зеркальное отображение под углом. Более современные авторы, подражая методу доказательства, данному для предыдущего предложения, описывают это как поднятие треугольника, его переворачивание и возложение на себя.^[5]Этот метод высмеивают Чарльз Лютвидж Доджсон в Евклид и его современные соперники, называя это "нелепость "потому что, очевидно, требуется, чтобы треугольник находился в двух местах одновременно.^[6]

Доказательство таково:^[7]
Пусть ABC - равнобедренный треугольник, стороны которого равны AB и AC.
Рассмотрим треугольники ABC и ACB, где ACB считается вторым треугольником с вершинами A, C и B, соответствующими A, B и C в исходном треугольнике.
${\displaystyle \angle A}$ равно самому себе, AB = AC и AC = AB, поэтому треугольники ABC и ACB совпадают по бокам-углам-бокам.
Особенно, ${\displaystyle \angle B=\angle C}$.^[8]

Другие

Учебное доказательство

Стандартный учебный метод - построить биссектрису угла в точке A.^[9]Это проще, чем доказательство Евклида, но Евклид не представляет конструкции биссектрисы угла до предложения 9. Таким образом, порядок представления предложений Евклида должен быть изменен, чтобы избежать возможности рассуждений по кругу.

Доказательство проводится следующим образом:^[10]
Как и раньше, пусть это треугольник ABC с AB = AC.
Построить биссектрису угла ${\displaystyle \angle BAC}$ и продолжим до пересечения с BC в X.
AB = AC и AX равно самому себе.
Более того, ${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX}$, поэтому, применяя сторону-угол-сторону, треугольник BAX и треугольник CAX совпадают.
Отсюда следует, что углы при B и C равны.

Legendre использует аналогичную конструкцию в Éléments de géométrie, но принимая X за середину BC.^[11] Доказательство аналогично, но сторона сторона сторона должен использоваться вместо стороны-угла-стороны, а сторона-сторона-сторона не дана Евклидом до тех пор, пока позже в Элементы.

Во внутренних пространствах продукта

Теорема о равнобедренном треугольнике верна в внутренние пространства продукта над настоящий или сложные числа. В таких пространствах он принимает форму, которая говорит о векторах Икс, y, и z что если^[12]

${\displaystyle x+y+z=0{\text{ and }}\|x\|=\|y\|,}$

тогда

${\displaystyle \|x-z\|=\|y-z\|.}$

поскольку

${\displaystyle \|x-z\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2},}$

и

${\displaystyle x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta }$

где θ - угол между двумя векторами, вывод этой пространственной формы внутреннего продукта теоремы эквивалентен утверждению о равенстве углов.

Этимология и родственные термины

Другой средневековый термин для обозначения pons asinorum был Элефуга который, согласно Роджер Бэкон, происходит от греческого элегия "страдание" и латынь фуга «бегство», то есть «бегство негодяев». Хотя эта этимология сомнительна, она повторяется в Чосера использование термина "флеминг крушения" для теоремы.^[13]

Есть два возможных объяснения названия pons asinorumСамая простая из них состоит в том, что использованная диаграмма напоминает настоящий мост. Но более популярное объяснение состоит в том, что это первое настоящее испытание в Элементы интеллекта читателя и функционирует как «мост» к последующим более трудным предложениям.^[14] Гаусс якобы однажды исповедовал аналогичную веру в необходимость немедленного понимания Тождество Эйлера как ориентир, чтобы стать первоклассным математиком.^[15]

Аналогично имя Дулькарнон был дан 47-му предложению Книги I Евклида, более известному как теорема Пифагора, после арабского Дху 'л Карнайн ذُو ٱلْقَرْنَيْن, что означает «владелец двух рогов», потому что диаграммы теоремы показывают два меньших квадрата, похожие на рога, в верхней части рисунка. Этот термин также используется как метафора для дилеммы.^[13] По аналогичным причинам теорему также иногда называли «Ветряной мельницей».^[16]

Метафорическое использование

Использование pons asinorum в качестве метафоры включает:

• Ричард Аунгервиль "Philobiblon" содержит отрывок "Quot Euclidis disculos retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus, qui nullo scalarum Suffragio scandi posset! Durus, inquiunt, est his sermo; quis potest eum audire?", в котором теорема сравнивается с крутым обрывом. лестница может помочь масштабировать и спрашивает, сколько потенциальных геометров было отклонено.^[13]
• Период, термин pons asinorumкак мост, так и тест, используется как метафора для поиска среднего члена силлогизм.^[13]
• Поэт 18 века Томас Кэмпбелл написал юмористическое стихотворение под названием «Pons asinorum», в котором класс по геометрии критикует теорему, как рота солдат может атаковать крепость; Битва не обошлась без потерь.^[17]
• Экономист Джон Стюарт Милл называется Рикардо Закон ренты то pons asinorum экономики.^[18]
• Pons Asinorum имя, данное конкретной конфигурации^[19] из кубик Рубика.
• Эрик Раймонд упомянул проблему синтаксически значимых пробелов в Python язык программирования как его pons asinorum.^[20]
• В Финский Aasinsilta и Шведский åsnebrygga это литературный прием, при котором устанавливается слабая, даже надуманная связь между двумя аргументами или темами, что почти, но не совсем non sequitur, используется как неудобный переход между ними.^[21] В серьезном тексте это считается стилистической ошибкой, поскольку он принадлежит собственно к тексту. поток сознания - или причина стиль письма. Типичными примерами являются завершение раздела рассказом о том, о чем идет речь в следующем разделе, без необходимости объяснять, почему темы связаны, расширение случайного упоминания до подробного рассмотрения или обнаружение надуманной связи между темами (например, «Мы купили красного вина ; если говорить о красных жидкостях, завтра Всемирный день донора крови »).
• В Голландский, Ezelsbruggetje ('мостик ослов') - слово, обозначающее мнемонический. То же верно и для Немецкий Eselsbrücke.
• В Чешский, Oslí Můstek имеет два значения - он может описывать либо надуманную связь между двумя темами, либо мнемонику.

использованная литература

1. Смит, Дэвид Юджин (1925). История математики. II. Джинн и компания. стр.284. Он образовался у моста, по которому глупцы не могли надеяться пройти, и поэтому его называли pons asinorum, или мост дураков.
   1. Этот термин применяется к теореме Пифагора.
2. Pons asinorum - Определение и многое другое из Free Merriam
3. Хит стр. 251–255.
4. Следуя Проклу р. 53
5. Например Ф. Катбертсон Грунтовка геометрии (1876 г., Оксфорд) стр. 7
6. Чарльз Лютвидж Доджсон, Евклид и его современные соперники Акт I Сцена II §6
7. Следуя Проклу р. 54
8. Хит п. 254 по разделу
9. Например, J.M. Wilson Элементарная геометрия (1878 Оксфорд) стр. 20
10. Вслед за Уилсоном
11. А. М. Лежандр Éléments de géométrie (1876 г., Libr. De Firmin-Didot et Cie) стр. 14
12. Дж. Р. Ретерфорд, Гильбертово пространство, Издательство Кембриджского университета, 1993, стр.27.
13. А. Ф. Уэст и Х. Д. Томпсон "О Дулькарноне, Элефуге и Pons Asinorum как причудливых названиях для геометрических утверждений" Бюллетень Принстонского университета Vol. 3 № 4 (1891) с. 84
14. D.E. Смит История математики (1958 Dover) стр. 284
15. Дербишир, Джон (2003). Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики. 500 Fifth Street, NW, Вашингтон, округ Колумбия, 20001: Джозеф Генри Пресс. п.202. ISBN  0-309-08549-7. первоклассный математик.
16. Чарльз Лютвидж Доджсон, Евклид и его современные соперники Акт I Сцена II §1
17. МЫ. Айтун (ред.) Поэтические произведения Томаса Кэмпбелла (1864, Литтл, Браун) стр. 385 Google Книги
18. Джон Стюарт Милл Принципы политической экономии (1866: Лонгманс, Грин, Читатель и Дайер) Книга 2, глава 16, стр. 261
19. Рид, Майкл (28 октября 2006 г.). «Выкройки кубика Рубика». www.cflmath.com. Архивировано из оригинал 12 декабря 2012 г.. Получено 22 сентября 2019.
20. Эрик С. Раймонд, «Почему Python?», Linux Journal, 30 апреля 2000 г.
21. Аасинсилта на лайскурин апунеуво | Yle Uutiset | yle.fi

внешние ссылки

• Pons asinorum в PlanetMath.
• Презентация Д. Э. Джойсом книги Евклида Элементы