Неравенство Аристарха - Aristarchuss inequality

Неравенство Аристарха (после греческого астроном и математик Аристарх Самосский; c. 310 - ок. 230 г. до н.э.) является законом тригонометрия в котором говорится, что если α и β находятся острые углы (т.е. между 0 и прямым углом) и β < α тогда

{ displaystyle { frac { sin alpha} { sin beta}} <{ frac { alpha} { beta}} <{ frac { tan alpha} { tan beta}}. }

Птолемей использовал первое из этих неравенств при построении его таблица аккордов.^[1]

Доказательство

Доказательство является следствием более известных неравенств ${ Displaystyle 0 < грех ( альфа) < альфа < загар ( альфа)}$ , ${ Displaystyle 0 < грех ( бета) < грех ( альфа) <1}$ и ${ Displaystyle 1> соз ( бета)> соз ( альфа)> 0}$ .

Доказательство первого неравенства

Используя эти неравенства, мы можем сначала доказать, что

{ displaystyle { frac { sin ( alpha)} { sin ( beta)}} <{ frac { alpha} { beta}}.}

Прежде всего отметим, что неравенство эквивалентно ${ displaystyle { frac { sin ( alpha)} { alpha}} <{ frac { sin ( beta)} { beta}}}$ который сам по себе может быть переписан как ${ displaystyle { frac { sin ( alpha) - sin ( beta)} { alpha - beta}} <{ frac { sin ( beta)} { beta}}.}$

Теперь мы хотим показать, что

{ displaystyle { frac { sin ( alpha) - sin ( beta)} { alpha - beta}} < cos ( beta) <{ frac { sin ( beta)} { бета}}.}

Второе неравенство просто ${ displaystyle beta < tan beta}$ . Первое верно, потому что

{ displaystyle { frac { sin ( alpha) - sin ( beta)} { alpha - beta}} = { frac {2 cdot sin left ({ frac { alpha - beta} {2}} right) cos left ({ frac { alpha + beta} {2}} right)} { alpha - beta}} <{ frac {2 cdot left ({ frac { alpha - beta} {2}} right) cdot cos ( beta)} { alpha - beta}} = cos ( beta).}

Доказательство второго неравенства

Теперь мы хотим показать второе неравенство, а именно:

{ displaystyle { frac { alpha} { beta}} <{ frac { tan ( alpha)} { tan ( beta)}}.}.

Прежде всего отметим, что в силу исходных неравенств имеем:

{ displaystyle beta < tan ( beta) = { frac { sin ( beta)} { cos ( beta)}} <{ frac { sin ( beta)} { cos ( альфа)}}}

Следовательно, используя это ${ Displaystyle 0 < альфа - бета < альфа}$ в предыдущем уравнении (заменив ${ displaystyle beta}$ к ${ Displaystyle альфа - бета < альфа}$ ) мы получаем: