Папп Александрийский - Pappus of Alexandria

Эта статья о греческом математике. О цветочной структуре см. Паппус (ботаника).

Титульный лист Паппа Математические коллекции, переведенный на латынь Федерико Коммандино (1589).

Папп Александрийский (/ˈпæпəs/; Греческий: Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς; c.  290 - c.  350 Н.э.) был одним из последних великих Греческие математики древности, известный своим Синагога (Συναγωγή) или Коллекция (c.  340), и для Теорема Паппа о шестиугольнике в проективная геометрия. О его жизни ничего не известно, кроме того, что можно найти в его собственных сочинениях: что у него был сын по имени Гермодор, и он был учитель в Александрия.[1]

Коллекцияего самая известная работа - это сборник математических наук в восьми томах, большая часть которых сохранилась. Он охватывает широкий круг тем, в том числе геометрия, развлекательная математика, удвоение куба, полигоны и многогранники.

Контекст

Папп был активен в 4 веке нашей эры. В период общей стагнации математических исследований он выделяется как замечательное исключение.[2] «Насколько он был выше своих современников, как мало они ценили или понимали, - это показывает отсутствие упоминаний о нем у других греческих авторов и тот факт, что его работа не остановила упадок математической науки», Томас Литтл Хит пишет. "В этом отношении судьба Паппа поразительно напоминает судьбу Диофант."[2]

Знакомства

В своих сохранившихся произведениях Папп не указывает ни дату авторов, чьи работы он использует, ни время (но см. Ниже), когда он сам писал. Если бы не было другой информации о дате, все, что можно было бы узнать, это то, что он был позже Птолемей (умер около 168 г. н.э.), которого он цитирует, и ранее Прокл (родившийся c.  411), который его цитирует.[2]

10 век Суда заявляет, что Папп был того же возраста, что и Теон Александрийский, действовавший в период правления Императора Феодосий I (372–395).[3] Другая дата указана в примечании на полях к рукописи конца X века.[2] (копия хронологической таблицы того же Теона), в которой говорится, что рядом с записью об Императоре Диоклетиан (годы правления 284–305), что «в то время писал Папп».[нужна цитата ]

Однако настоящая дата исходит из датировки солнечного затмения, упомянутого самим Паппом, когда в своем комментарии к Альмагест он вычисляет «место и время соединения, которое привело к затмению в Tybi в 1068 г. после Набонассар ". Получается, что 18 октября 320 г., значит, Папп писал около 320 г.[1]

Работает

Математические коллекции, 1660

Великий труд Паппа в восьми книгах под названием Синагога или же Коллекция, не сохранился в полном виде: первая книга утеряна, остальные сильно пострадали. В Суда перечисляет другие произведения Паппа: Χωρογραφία οἰκουμενική (Хорография ойкуменике или же Описание обитаемого мира), комментарий к четырем книгам Птолемей с Альмагест, Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ (Реки Ливии), и Ὀνειροκριτικά (Толкование снов).[3] Сам Папп упоминает еще один собственный комментарий к Ἀνάλημμα (Аналемма ) из Диодор Александрийский. Папп также писал комментарии к Евклид с Элементы (из них фрагменты сохранились в Прокл и Схолия, в то время как десятая книга была найдена в арабском манускрипте), а в книге Птолемея Ἁρμονικά (Гармоника).[2]

Федерико Коммандино перевел Коллекция Паппа на латынь в 1588 году. Немецкий классик и историк математики Фридрих Гульш (1833–1908) опубликовал окончательное трехтомное представление перевода Коммандино с греческой и латинской версиями (Берлин, 1875–1878). Используя работу Хульча, бельгийского историка-математика Пол вер Экке был первым, кто опубликовал перевод Коллекция на современный европейский язык; его 2-томный французский перевод имеет название Папп д'Александри. La Collection Mathématique (Париж и Брюгге, 1933).[4]

Коллекция

Характеристики Паппа Коллекция состоят в том, что он содержит систематизированный отчет о наиболее важных результатах, полученных его предшественниками, и, во-вторых, примечания, поясняющие или расширяющие предыдущие открытия. Фактически, эти открытия образуют текст, который Папп дискурсивно расширяет. Хит считал систематические введения в различные книги ценными, поскольку в них четко излагалось содержание и общий объем изучаемых предметов. Из этих вступлений можно судить о стиле письма Паппа, который превосходен и даже элегантен, когда он освобождается от оков математических формул и выражений. Хит также обнаружил, что его характерная точность делает его Коллекция «Замечательная замена текстам многих ценных трактатов ранних математиков, которых нас лишило время».[2]

Сохранившиеся части Коллекция можно резюмировать следующим образом.[5]

Мы можем только предполагать, что потерянный Книга Iкак и Книга II, была посвящена арифметике, а Книга III явно вводилась как начало нового предмета.[2]

Весь Книга II (бывшая часть утеряна, существующий фрагмент начинается с середины 14-го предложения)[2] обсуждает метод умножения из безымянной книги на Аполлоний Пергский. Заключительные предложения имеют дело с умножением числовых значений греческих букв в двух строках стихов, что дает два очень больших числа, приблизительно равных 2×1054 и 2×1038.[6]

Книга III содержит геометрические задачи, плоские и твердые. Его можно разделить на пять разделов:[2]

  1. Об известной проблеме нахождения двух средних пропорциональных между двумя заданными линиями, которая возникла в результате дублирования куба, уменьшенного на Гиппократ Хиосский к бывшему. Папп дает несколько решений этой проблемы, в том числе метод последовательных приближений к решению, значение которого он, по-видимому, не осознавал; он добавляет свое собственное решение более общей проблемы геометрического нахождения стороны куба, содержание которого находится в любом заданном соотношении к данному кубу.[2]
  2. Об арифметических, геометрических и гармонических средствах между двумя прямыми линиями и проблеме представления всех трех в одной и той же геометрической фигуре. Это служит введением в общую теорию средств, из которых Папп выделяет десять видов и дает таблицу, представляющую примеры каждого в целых числах.[2]
  3. О любопытной проблеме, предложенной Евклидом I. 21.[2]
  4. О вписании каждого из пяти правильных многогранников в сферу.[2] Здесь Папп заметил, что правильный додекаэдр и правильный икосаэдр могут быть вписаны в одну и ту же сферу так, чтобы их вершины лежали на одних и тех же 4 кругах широты, с 3 из 12 вершин икосаэдра на каждом круге и 5 из 20 вершин додекаэдра на каждом круге. Это наблюдение было обобщено на многомерные двойственные многогранники.[7]
  5. Дополнение более позднего автора к другому решению первой проблемы книги.[2]

Из Книга IV название и предисловие утеряны, поэтому программу приходится брать из самой книги. Вначале - известное обобщение Евклида I. 47 (Теорема площади Паппа ), затем следуют различные теоремы об окружности, ведущие к проблеме построения окружности, которая будет описывать три заданные окружности, касаясь друг друга двумя и двумя. Это и несколько других предложений о контакте, например случаи соприкосновения кругов друг с другом и вписанные в фигуру, состоящую из трех полукругов и известную как арбелос («нож сапожника») составляют первый раздел книги; Папп затем переходит к рассмотрению некоторых свойств Спираль архимеда, то раковина Никомеда (уже упоминалось в Книге I как метод удвоения куба), а кривая, вероятнее всего, была обнаружена Гиппий из Элиды около 420 г. до н.э., известный под названием τετραγωνισμός, или квадратик. Предложение 30 описывает построение кривой двойной кривизны, которую Папп назвал спиралью на сфере; он описывается точкой, равномерно движущейся по дуге большого круга, который в свою очередь равномерно вращается вокруг своего диаметра, причем точка описывает квадрант, а большой круг совершает полный оборот за одно и то же время. Найдена площадь поверхности, заключенная между этой кривой и ее основанием - первый известный пример квадратуры криволинейной поверхности. Остальная часть книги посвящена трисечение угла, а также решение более общих задач того же типа с помощью квадратички и спирали. Одним из решений первой проблемы является первое зарегистрированное использование свойства коники (гиперболы) по отношению к фокусу и направляющей.[8]

В Книга V, после интересного предисловия о правильных многоугольниках, содержащего замечания о гексагональная форма ячеек сот Папп обращается к сравнению площадей разных плоских фигур, имеющих одинаковый периметр (следующие Зенодор трактат на эту тему), а также об объемах различных твердых тел, имеющих одинаковую площадь поверхности, и, наконец, сравнение пяти правильных тел Платон. Между прочим, Папп описывает тринадцать других многогранников, ограниченных равносторонними и равноугольными, но не похожими многоугольниками, обнаруженными Архимед, и находит методом, напоминающим метод Архимеда, поверхность и объем сферы.[8]

Согласно предисловию, Книга VI предназначен для устранения трудностей, возникающих в так называемых «Малых астрономических трудах» (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), т.е. работах, отличных от Альмагест. Соответственно, он комментирует Sphaerica из Феодосий, то Движущаяся сфера из Автолик, Книга Феодосия о День и ночь, трактат Аристарх О размерах и расстояниях Солнца и Луны, и Евклида Оптика и явления.[8]

Книга VII

С Мишель Часлес цитировал эту книгу Паппа в своей истории геометрических методов,[9] он стал объектом пристального внимания.

Предисловие к Книга VII объясняет термины анализ и синтез, а также различие между теоремой и проблемой. Затем Папп перечисляет произведения Евклид, Аполлоний, Аристей и Эратосфен Всего тридцать три книги, суть которых он намерен изложить, с леммами, необходимыми для их разъяснения. С упоминанием Поризмы Евклида у нас есть отчет об отношении пористость к теореме и проблеме. В то же предисловие включено (а) известная проблема, известная под именем Паппа, часто формулируемая так: задав несколько прямых линий, найти геометрическое место точки, такое, что длины перпендикуляров на или (в более общем смысле ) линии, проведенные от нее под наклоном при заданном наклоне к, данные линии удовлетворяют условию, что произведение некоторых из них может иметь постоянное отношение к произведению остальных; (Папп выражает это не в этой форме, а посредством композиции соотношений, говоря, что если дано соотношение, составленное из соотношений пар одна из одного множества и одна из другой линий, проведенных таким образом, а также отношения из нечетного, если таковой имеется, до данной прямой, точка будет лежать на кривой, заданной в позиции); (б) теоремы, которые были переоткрыты и названы в честь Пол Гулдин, но, похоже, был обнаружен самим Паппом.[8]

Книга VII также содержит

  1. под главой De Sectione Determinata Леммы Аполлония, которые при внимательном рассмотрении оказываются случаями инволюции шести точек;[8]
  2. важные леммы о Поризмы Евклида,[8] включая то, что называется Теорема Паппа о шестиугольнике;[10]
  3. лемма о Поверхностные локусы Евклида, который утверждает, что геометрическое место точки, расстояние от которой до данной точки постоянно пропорционально расстоянию от данной прямой линии, является конический, и следуют доказательства того, что коника парабола, эллипс, или же гипербола согласно, поскольку постоянное отношение равно, меньше или больше 1 (первые записанные доказательства свойств, которых нет у Аполлония).[8]

Цитирование Паппа Часлесом было повторено Вильгельм Блашке[11] и Дирк Струик.[12] В Кембридже, Англия, Джон Дж. Милн дал читателям возможность ознакомиться с книгой Паппа.[13] В 1985 году Александр Джонс написал диссертацию в Брауновский университет на предмет. В следующем году Springer-Verlag опубликовала исправленную форму его перевода и комментариев. Джонсу удается показать, как Паппус манипулировал полный четырехугольник, использовали соотношение проективные гармонические сопряжения, и продемонстрировал понимание перекрестные отношения точек и линий. Кроме того, концепция полюс и полярный раскрывается как лемма в Книге VII.[14]

Книга VIII

Наконец, Книга VIII в основном рассматривает механику, свойства центра тяжести и некоторые механические силы. Перемежаются некоторые предложения по чистой геометрии. Предложение 14 показывает, как провести эллипс через пять заданных точек, а предложение 15 дает простую конструкцию осей эллипса, когда пара сопряженные диаметры даны.[8]

Теоремы

Несмотря на то что Теорема Паппа обычно относится к Теорема Паппа о шестиугольнике, это также может относиться к Теорема Паппа о центроиде.

Он также называет свое имя Цепочка паппуса, и к Конфигурация Pappus и График Паппа вытекающие из его теоремы о шестиугольнике.

Примечания

  1. ^ а б Пьер Дедрон, Ж. Итар (1959) Математика и математики, Vol. 1, стр. 149 (пер. Джудит В. Филд ) (Студенческая библиотека Transworld, 1974)
  2. ^ а б c d е ж грамм час я j k л м п Хит 1911, п. 740.
  3. ^ а б Уайтхед, Дэвид (ред.). "Suda On Line - Паппос". Suda On Line и консорциум Stoa. Получено 11 июля 2012. Александрийский философ, родился во времена старшего императора Феодосия, когда процветал и философ Теон, писавший о каноне Птолемея. Его книги Описание обитаемого мира; комментарий к четырем книгам Отличный синтаксис Птолемея; Реки Ливии; и Толкование снов.
  4. ^ Смит, Дэвид Юджин (Январь 1934 г.). "Обзор Папп д'Александри. La Collection Mathématique Пол Вер Экке " (PDF). Бык. Являюсь. Математика. Soc. 40 (1): 11–12.
  5. ^ Уивер, Джеймс Генри (1916). "Папп. Вводная статья". Бык. Амер. Математика. Soc. 23: 127–135. Дои:10.1090 / S0002-9904-1916-02895-3.
  6. ^ Папп Александрийский, пер. на латынь Фридрихом Гульчем. Коллекция Паппи Александрини - quae supersunt. Апуд Вайдманнос, 1877, стр. 19–29.
  7. ^ Х. С. М. Кокстер (23 мая 2012 г.). Правильные многогранники. Курьерская корпорация. п. 88 238. ISBN  978-0-486-14158-9.
  8. ^ а б c d е ж грамм час Хит 1911, п. 741.
  9. ^ Мишель Часлес (1837) Aperçu Historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, особенно стр. 302; также страницы 12, 78 и 518.
  10. ^ Хит 1911b, п. 102.
  11. ^ Вильгельм Блашке (1948) Projektiva Geometrie, стр.140
  12. ^ Дирк Струик (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии, стр.19, Эддисон-Уэсли
  13. ^ Милн 1911.
  14. ^ Джонс 1986.

Рекомендации

Атрибуция:

дальнейшее чтение

  • Джонс, Александр Раймонд (19 января 2017 г.). "Папп Александрийский". Британская энциклопедия.
  • «Папп Александрийский (жил ок. 200–350 гг. Н. Э.)». Словарь научной биографии Хатчинсона. Издательство Геликон. 2004 г. Греческий математик, астроном и географ, главное значение которого заключается в его комментариях к математическим трудам его предшественников.
  • Экке, Пол Вер (1933). Pappus d'Alexandrie: La Collection Mathématique avec une Introduction et des Notes (2 тома Fondation Universitaire de Belgique ed.). Париж: Альбер Бланшар.

внешняя ссылка