Цепочка паппуса - Pappus chain

Цепь Паппа

В геометрия, то Цепочка паппуса кольцо круги между двумя касательные круги расследуется Папп Александрийский в 3 веке ОБЪЯВЛЕНИЕ.

Строительство

В арбелос определяется двумя кружками, C_U и C_V, которые касаются в точке А и где C_U заключен в C_V. Обозначим радиусы этих двух окружностей как р_U и р_Vсоответственно, а их центрами будут точки U и V. Цепочка паппуса состоит из кружков в заштрихованной серой области, которые касаются снаружи C_U (внутренний круг) и внутренне касательный к C_V (внешний круг). Пусть радиус, диаметр и центральная точка п^th окружность цепи Паппа обозначим как р_п, d_п и п_п, соответственно.

Характеристики

Центры кругов

Эллипс

Все центры кругов в цепочке Паппа расположены на общем эллипс по следующей причине. Сумма расстояний от п^th окружность цепи Паппа к двум центрам U и V кругов арбелоса равняется постоянной

{ displaystyle { overline { mathbf {P} _ {n} mathbf {U}}} + { overline { mathbf {P} _ {n} mathbf {V}}} = left (r_ { U} + r_ {n} right) + left (r_ {V} -r_ {n} right) = r_ {U} + r_ {V}}

Таким образом фокусы этого эллипса U и V, центры двух окружностей, определяющих арбелос; эти точки соответствуют серединам отрезков линии AB и AC, соответственно.

Координаты

Если р = AC/AB, то центр п-й кружок в цепочке:

{ displaystyle left (x_ {n}, y_ {n} right) = left ({ frac {r (1 + r)} {2 [n ^ {2} (1-r) ^ {2}) + r]}} ~, ~ { frac {nr (1-r)} {n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r}} right)}

Радиусы кругов

Если р = AC/AB, то радиус п-й кружок в цепочке:

{ displaystyle r_ {n} = { frac {(1-r) r} {2 [n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r]}}}

Инверсия круга

При особой инверсии с центром на А, четыре начальных круга цепочки Паппа превращаются в стопку из четырех кругов одинакового размера, зажатых между двумя параллельными линиями. Это объясняет формулу высоты час_п = п d_п и тот факт, что исходные точки касания лежат на общей окружности.

Высота час_п центра п^th круг над базовым диаметром ACB равно п раз d_п.^[1] Это может быть показано переворачивание по кругу с центром в точке касания А. Выбран круг инверсии, пересекающий п^th обведите перпендикулярно так, чтобы п^th круг трансформируется в себя. Два круга арбелоса, C_U и C_V, преобразуются в параллельные линии, касательные и п^th круг; следовательно, другие круги цепи Паппа преобразовываются в аналогично зажатые круги того же диаметра. Начальный круг C₀ и последний круг C_п каждый вносит ½d_п на высоту час_п, а круги C₁–C_п−1 каждый вносит свой вклад d_п. Сложение этих вкладов вместе дает уравнение час_п = п d_п.

Та же инверсия может использоваться, чтобы показать, что точки касания окружностей цепи Паппа друг к другу лежат на общей окружности. Как отмечалось выше, инверсия с центром в точке А преобразует круги арбелоса C_U и C_V на две параллельные линии, а круги цепочки Паппа в стопку кругов одинакового размера, зажатых между двумя параллельными линиями. Следовательно, точки касания между преобразованными окружностями лежат на линии посередине между двумя параллельными линиями. При отмене инверсии в окружности эта линия точек касания снова превращается в окружность.

Цепь Штейнера

В этих свойствах наличия центров на эллипсе и касаний на окружности цепочка Паппа аналогична цепочке Паппа. Цепь Штейнера, в котором конечное число окружностей касается двух окружностей.

Библиография

Огилви, К.С. (1990). Экскурсии по геометрии. Дувр. стр.54–55. ISBN 0-486-26530-7.
Банкофф, Л. (1981). «Как Паппу это удалось?». В Кларнер, Д. А. (ред.). Математический Гарднер. Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт. С. 112–118.
Джонсон, Р. А. (1960). Расширенная евклидова геометрия: элементарный трактат о геометрии треугольника и круга (перепечатка издания 1929 г. изд. Houghton Miflin). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0.
Уэллс, Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin. Нью-Йорк: Книги Пингвинов. стр.5–6. ISBN 0-14-011813-6.

внешняя ссылка

Флоер ван Ламоен и Эрик В. Вайсштейн. "Паппус Чейн". MathWorld.
Тан, Стивен. "Арбелос".

[1] Огилви, стр. 54–55.

[1]