Теорема Папусса о центроиде - Pappuss centroid theorem

Теорема применима к открытому цилиндру, конусу и сфере, чтобы получить площади их поверхности. Центроиды на расстоянии а (красным) от оси вращения.

В математике Теорема Паппа о центроиде (также известный как Теорема Гульдинуса, Теорема Паппа – Гулдинуса или же Теорема Паппа) является одним из двух связанных теоремы имея дело с площади поверхности и тома из поверхности и твердые вещества революции.

Эти теоремы приписываются Папп Александрийский^[а] и Пол Гулдин.^[b]

Первая теорема

Первая теорема утверждает, что площадь поверхности А из поверхность вращения генерируется вращением плоская кривая C о ось внешний по отношению к C и на той же плоскости равно произведению длина дуги s из C и расстояние d путешествовал геометрический центроид из C:

${\displaystyle A=sd.}$

Например, площадь поверхности тор с несовершеннолетними радиус р и большой радиус р является

${\displaystyle A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.}$

Вторая теорема

Вторая теорема утверждает, что объем V из твердый революционный генерируется вращением плоская фигура F вокруг внешней оси равно произведению площади А из F и расстояние d пройденный геометрическим центроидом F. (Центроид F обычно отличается от центра тяжести его граничной кривой C.) То есть:

${\displaystyle V=Ad.}$

Например, громкость тор с малым радиусом р и большой радиус р является

${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}.}$

Этот частный случай был выведен Иоганн Кеплер используя бесконечно малые.^[c]

Доказательство

Позволять ${\displaystyle A}$ быть областью ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle W}$ твердое тело революции ${\displaystyle F}$, и ${\displaystyle V}$ объем ${\displaystyle W}$. Предполагать ${\displaystyle F}$ начинается в ${\displaystyle xz}$-плоскость и вращается вокруг ${\displaystyle z}$-ось. Расстояние до центра тяжести ${\displaystyle F}$ от ${\displaystyle z}$ось - это его ${\displaystyle x}$-координат

${\displaystyle R={\frac {\iint _{F}x\,dA}{A}},}$

и теорема утверждает, что

${\displaystyle V=Ad=A\cdot 2\pi R=2\pi \iint _{F}x\,dA.}$

Чтобы показать это, пусть ${\displaystyle F}$ быть в xz-самолет, параметризованный к ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (u,v)=(x(u,v),0,z(u,v))}$ за ${\displaystyle (u,v)\in F^{*}}$, область параметров. С ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$ по сути, отображение из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, площадь ${\displaystyle F}$ дается замена переменных формула:

${\displaystyle A=\iint _{F}dA=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}-{\frac {\partial x}{\partial v}}{\frac {\partial z}{\partial u}}\right|\,du\,dv,}$

куда ${\displaystyle {\tfrac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}}$ это детерминант из Матрица якобиана замены переменных.

Твердый ${\displaystyle W}$ имеет тороидальный параметризация ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (u,v,\theta )=(x(u,v)\cos \theta ,x(u,v)\sin \theta ,z(u,v))}$ за ${\displaystyle (u,v,\theta )}$ в области параметров ${\displaystyle W^{*}=F^{*}\times [0,2\pi ]}$; и его объем

${\displaystyle V=\iiint _{W}dV=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta .}$

Расширение,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|&=\left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}\cos \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\cos \theta &-x\sin \theta \\[6pt]{\frac {\partial x}{\partial u}}\sin \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\sin \theta &x\cos \theta \\[6pt]{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&0\end{bmatrix}}\right|\\[5pt]&=\left|-{\frac {\partial z}{\partial v}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\,x+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}\,x\right|=\ \left|-x\,{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|=x\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|.\end{aligned}}}$

Последнее равенство выполняется, потому что ось вращения должна быть внешней по отношению к ${\displaystyle F}$, смысл ${\displaystyle x\geq 0}$. Сейчас же,

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!\iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv=2\pi \iint _{F}x\,dA\end{aligned}}}$

заменой переменных.

Обобщения

Эти теоремы могут быть обобщены для произвольных кривых и форм при соответствующих условиях.

Гудман и Гудман^[5] обобщим вторую теорему следующим образом. Если фигура F движется в пространстве, так что остается перпендикуляр к кривой L отслеживается центром тяжести F, затем выметает сплошной объем V = Объявление, куда А это площадь F и d это длина L. (Предполагается, что твердое тело не пересекает себя.) В частности, F может вращаться вокруг своего центра тяжести во время движения.

Однако соответствующее обобщение первой теоремы верно только в том случае, если кривая L отслеживаемый центроидом лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости C.

В n-измерениях

В общем, можно создать ${\displaystyle n}$ размерное твердое тело вращением ${\displaystyle n-p}$ размерное твердое тело ${\displaystyle F}$ вокруг ${\displaystyle p}$ мерная сфера. Это называется ${\displaystyle n}$-твердого вращения видов ${\displaystyle p}$. Пусть ${\displaystyle p}$-й центроид ${\displaystyle F}$ определяться

${\displaystyle R={\frac {\iint _{F}x^{p}\,dA}{A}},}$

Затем теоремы Паппа обобщаются на:^[6]

Объем от ${\displaystyle n}$-твердого вращения видов ${\displaystyle p}$
= (Объем генерирующих ${\displaystyle (n{-}p)}$-твердый) ${\displaystyle \times }$ (Площадь поверхности ${\displaystyle p}$-сфера, прослеживаемая ${\displaystyle p}$-й центр тяжести образующего тела)

и

Площадь поверхности ${\displaystyle n}$-твердого вращения видов ${\displaystyle p}$
= (Площадь генерирующей ${\displaystyle (n{-}p)}$-твердый) ${\displaystyle \times }$ (Площадь поверхности ${\displaystyle p}$-сфера, прослеживаемая ${\displaystyle p}$-й центр тяжести образующего тела)

Исходные теоремы относятся к случаю ${\displaystyle n=3,\,p=1}$.

Сноски

1. Видеть:^[1]

   Те, кто смотрит на эти вещи, вряд ли возвышен, как древние и все, кто писал прекрасные вещи. Когда я вижу, что все заняты основами математики и материалом для исследований, которые ставит перед нами природа, мне становится стыдно; Я, например, доказал, что вещи гораздо более ценные и многоцелевые. Чтобы не заканчивать свое рассуждение декларированием этого с пустыми руками, я приведу это для читателей:
   

   Отношение тел полного вращения складывается из (соотношения) вращающихся фигур и (этого) прямых линий, аналогичным образом проведенных к осям из их центров тяжести; то (твердых тел) неполного (вращения) от (того) вращающихся фигур и (того) дуг, которые описывают центры тяжести в них, где (соотношение) этих дуг, конечно, (составлено) (что) нарисованных (линий) и (тот) углов вращения, которые содержат их концы, если эти (линии) также расположены (под прямым углом) к осям. Эти предложения, которые практически являются одним, содержат множество теорем всех видов для кривых, поверхностей и твердых тел, все сразу и с помощью одного доказательства, то, что еще не было и что уже было продемонстрировано, например, в двенадцатой книге Первые элементы.

   — Паппус, Коллекция, Книга VII, №41–42

2. "Quantitas rotanda in viam Rotundis ducta, producit Potestatem Rotundam uno gradient altiorem, Potestate sive Quantitate rotata".^[2]То есть: «Количество во вращении, умноженное на его круговую траекторию, создает круговую силу более высокой степени, мощности или количества во вращении». ^[3]
3. Теорема XVIII Кеплера Nova Stereometria Doliorum Vinariorum (1615):^[4] «Omnis annulus sectionis Circularis vel ellipticae est aequalis cylindro, cujus altitudo aequat longitudinem circferentiae, quam centrum figurae Circumductae descripsit, base vero eadem est cum sectione annuli». Перевод:^[3] «Любое кольцо, поперечное сечение которого круглое или эллиптическое, равно цилиндру, высота которого равна длине окружности, охватываемой центром фигуры во время его кругового движения, а основание которого равно сечению кольца».

Рекомендации

1. Папп Александрийский (1986) [c. 320]. Джонс, Александр (ред.). Книга 7 Коллекция. Источники по истории математики и физических наук. 8. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-4908-5. ISBN  978-1-4612-4908-5.
2. Гульдин, Пол (1640). De centro gravitatis trium specierum quanitatiscontinae. 2. Вена: Гельбхаар, Космеровиус. п. 147. Получено 2016-08-04.
3. Раделет-де-Грав, Патрисия (19 мая 2015 г.). «Кеплер, Кавальери, Гульдин. Полемика с усопшими». В Jullien, Винсент (ред.). Возвращение к неделимым объектам семнадцатого века. Научные сети. Исторические исследования. 49. Базель: Биркхойзер. п. 68. Дои:10.1007/978-3-319-00131-9. ISBN  978-3-3190-0131-9. ISSN  1421-6329. Получено 2016-08-04.
4. Кеплер, Иоганнес (1870) [1615]. "Nova Stereometria Doliorum Vinariorum". Во Фрише, Кристиан (ред.). Джоаннис Кеплери астрономическая опера Омния. 4. Франкфурт: Гейдер и Циммер. п. 582. Получено 2016-08-04.
5. Goodman, A. W .; Гудман, Г. (1969). «Обобщения теорем Паппа». Американский математический ежемесячник. Американский математический ежемесячник. 76 (4): 355–366. Дои:10.1080/00029890.1969.12000217. JSTOR  2316426.
6. Макларен-Янг-Соммервиль, Дункан (1958). «8.17 Расширения теоремы Паппа». Введение в геометрию n измерений. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Паппа о центроиде". MathWorld.