Интеграция заменой - Integration by substitution

В исчисление, интеграция путем замены, также известный как ты-замена или замена переменных,^[1] это метод оценки интегралы и первообразные. Это аналог Правило цепи за дифференциация Фактически, это можно условно представить как использование цепного правила «назад».

Замена одной переменной

Вступление

Прежде чем подробно изложить результат, давайте рассмотрим простой случай, используя неопределенные интегралы.

Вычислить ${ displaystyle textstyle int (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}) , dx}$ .^[2]

Набор ${ displaystyle u = 2x ^ {3} +1}$ . Это означает ${ displaystyle textstyle { frac {du} {dx}} = 6x ^ {2}}$ , или в дифференциальная форма ${ displaystyle du = 6x ^ {2} , dx}$ . Сейчас же

{ displaystyle int (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}) , dx = { frac {1} {6}} int underbrace {(2x ^ {3} +1) ^ {7}} _ {u ^ {7}} underbrace {(6x ^ {2}) , dx} _ {du} = { frac {1} {6}} int u ^ { 7} , du = { frac {1} {6}} left ({ frac {1} {8}} u ^ {8} right) = { frac {1} {48}} (2x ^ {3} +1) ^ {8} + C.}

Эта процедура часто используется, но не все интегралы имеют форму, позволяющую ее использовать. В любом случае результат следует проверить путем дифференцирования и сравнения с исходным подынтегральным выражением.

{ displaystyle { frac {d} {dx}} left [{ frac {1} {48}} (2x ^ {3} +1) ^ {8} right] = { frac {1} { 6}} (2x ^ {3} +1) ^ {7} (6x ^ {2}) = (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}).}

Для определенных интегралов также необходимо настроить пределы интегрирования, но процедура в основном такая же.

Определенные интегралы

Позволять $φ : [а, б] \to я$ - дифференцируемая функция с непрерывной производной, где $я \subseteq р$ это интервал. Предположим, что $ж : я \to р$ это непрерывная функция. потом^[3]

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} е ( varphi (x)) varphi '(x) , dx = int _ { varphi (a)} ^ { varphi (b)} f (и) , ду.}

В обозначениях Лейбница подстановка $ты = φ (Икс)$ дает

{ displaystyle { frac {du} {dx}} = varphi '(x).}

Эвристическая работа с бесконечно малыми дает уравнение

{ displaystyle du = varphi '(x) , dx,}

что предполагает приведенную выше формулу замены. (Это уравнение можно положить на строгий фундамент, интерпретировав его как утверждение о дифференциальные формы.) Метод интеграции подстановкой можно рассматривать как частичное оправдание Обозначения Лейбница для интегралов и производных.

Формула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно читать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл. При использовании прежним способом его иногда называют ты-замена или ш-замена в котором новая переменная определяется как функция исходной переменной, находящейся внутри составной функции, умноженной на производную внутренней функции. Последний способ обычно используется в тригонометрическая замена, заменив исходную переменную на тригонометрическая функция новой переменной и исходного дифференциала с дифференциал тригонометрической функции.

Доказательство

Интегрирование заменой может быть получено из основная теорема исчисления следующим образом. Позволять $ж$ и $φ$ - две функции, удовлетворяющие приведенной выше гипотезе, что $ж$ продолжается на $я$ и $φ'$ интегрируема на отрезке $[а, б]$ . Тогда функция $ж (φ (Икс)) φ'(Икс)$ также интегрируется на $[а, б]$ . Следовательно, интегралы

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} е ( varphi (x)) varphi '(x) , dx}

и

{ Displaystyle int _ { varphi (а)} ^ { varphi (b)} е (и) , ду}

на самом деле существуют, и осталось показать, что они равны.

С $ж$ непрерывен, имеет первообразный $F$ . В составная функция $F \circ φ$ затем определяется. С $φ$ дифференцируема, объединяя Правило цепи а определение первообразной дает

{ Displaystyle (F circ varphi) '(x) = F' ( varphi (x)) varphi '(x) = f ( varphi (x)) varphi' (x).}

Применяя основная теорема исчисления дважды дает

{ displaystyle { begin {align} int _ {a} ^ {b} f ( varphi (x)) varphi '(x) , dx & = int _ {a} ^ {b} (F circ varphi) '(x) , dx & = (F circ varphi) (b) - (F circ varphi) (a) & = F ( varphi (b)) - F ( varphi (a)) & = int _ { varphi (a)} ^ { varphi (b)} f (u) , du, end {выровнено}}}

которое является правилом замены.

Примеры

Пример 1:

Рассмотрим интеграл

{ displaystyle int _ {0} ^ {2} x cos (x ^ {2} +1) dx.}

Сделайте замену ${ Displaystyle и = х ^ {2} +1}$ чтобы получить ${ displaystyle du = 2xdx}$ , смысл ${ displaystyle textstyle xdx = { frac {1} {2}} du}$ . Следовательно,

{ displaystyle { begin {align} int _ {x = 0} ^ {x = 2} x cos (x ^ {2} +1) dx & = { frac {1} {2}} int _ {u = 1} ^ {u = 5} cos (u) , du [6pt] & = { frac {1} {2}} ( sin (5) - sin (1)). конец {выровнено}}}

Поскольку нижний предел ${ displaystyle x = 0}$ был заменен на ${ displaystyle u = 1}$ , а верхний предел ${ displaystyle x = 2}$ с ${ displaystyle 2 ^ {2} + 1 = 5}$ , преобразование обратно в термины ${ displaystyle x}$ было ненужным.

В качестве альтернативы можно полностью вычислить неопределенный интеграл (см. ниже ), затем примените граничные условия. Это становится особенно удобным, когда используются несколько замен.

Пример 2:

Для интегральной

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} { sqrt {1-x ^ {2}}} , dx,}

требуется вариант описанной выше процедуры. Замена ${ Displaystyle х = грех и}$ подразумевая ${ displaystyle dx = cos udu}$ полезно, потому что ${ displaystyle { sqrt {1- sin ^ {2} u}} = cos (u)}$ . Таким образом, мы имеем

{ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {1} { sqrt {1-x ^ {2}}} , dx & = int _ {0} ^ { pi / 2} { sqrt {1- sin ^ {2} u}} cos (u) , du [6pt] & = int _ {0} ^ { pi / 2} cos ^ {2} u , du [6pt] & = left [{ frac {u} {2}} + { frac { sin (2u)} {4}} right] { Biggl |} _ {0} ^ { pi / 2} [6pt] & = { frac { pi} {4}} + 0 = { frac { pi} {4}}. end {align}}}

Результирующий интеграл можно вычислить с помощью интеграция по частям или формула двойного угла, ${ Displaystyle 2 соз ^ {2} и = 1 + соз (2u)}$ с последующей еще одной заменой. Можно также отметить, что интегрируемая функция представляет собой верхнюю правую четверть круга с радиусом, равным единице, и, следовательно, интегрирование верхней правой четверти от нуля до единицы является геометрическим эквивалентом площади одной четверти единичного круга, или ${ displaystyle pi / 4}$ .

Первообразные

Подстановка может использоваться для определения первообразные. Выбирается соотношение между ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle u}$ , определяет соответствующее соотношение между ${ displaystyle dx}$ и ${ displaystyle du}$ путем дифференцирования и выполняет замены. Можно надеяться, что первообразная замещенной функции может быть определена; исходная замена между ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle u}$ затем отменяется.

Подобно примеру 1 выше, с помощью этого метода можно получить следующую первообразную:

{ displaystyle { begin {align} int x cos (x ^ {2} +1) , dx & = { frac {1} {2}} int 2x cos (x ^ {2} +1 ) , dx [6pt] & = { frac {1} {2}} int cos u , du [6pt] & = { frac {1} {2}} sin u + C = { frac {1} {2}} sin (x ^ {2} +1) + C, end {выровнено}}}

где ${ displaystyle C}$ произвольный постоянная интеграции.

Не было интегральных границ для преобразования, но на последнем шаге возвращение исходной замены ${ Displaystyle и = х ^ {2} +1}$ было необходимо. При вычислении определенных интегралов подстановкой можно сначала полностью вычислить первообразную, а затем применить граничные условия. В этом случае нет необходимости преобразовывать граничные члены.

В касательная функция можно интегрировать с помощью подстановки, выразив ее через синус и косинус:

{ displaystyle int tan x , dx = int { frac { sin x} { cos x}} , dx}

Используя замену ${ Displaystyle и = соз х}$ дает ${ displaystyle du = - sin x , dx}$ и

{ displaystyle { begin {align} int tan x , dx & = int { frac { sin x} { cos x}} , dx & = int - { frac {du} {u}} & = - ln | u | + C & = - ln | cos x | + C = ln | sec x | + C. end {align}}}

Замена нескольких переменных

Также можно использовать подстановку при интегрировании функций нескольких переменных. Здесь функция подстановки $(v 1,..., v п) = φ (ты 1, ..., ты п)$ должно быть инъективный и непрерывно дифференцируемые, а дифференциалы преобразуются как

{ displaystyle dv_ {1} cdots dv_ {n} = | det (D varphi) (u_ {1}, ldots, u_ {n}) | , du_ {1} cdots du_ {n}, }

где $det (Dφ)(ты 1, ..., ты п)$ обозначает детерминант из Матрица якобиана из частные производные из $φ$ в момент $(ты 1, ..., ты п)$ . Эта формула выражает тот факт, что абсолютная величина определителя матрицы равна объему параллелоэдр охватывает его столбцы или строки.

Точнее, замена переменных формула сформулирована в следующей теореме:

Теорема. Позволять $U$ быть открытым в $р п$ и $φ : U \to р п$ ан инъективный дифференцируемая функция с непрерывными частными производными, якобиан которой отличен от нуля для любого $Икс$ в $U$ . Тогда для любой вещественнозначной непрерывной функции с компактным носителем $ж$ , при поддержке, содержащейся в $φ (U)$ ,

{ Displaystyle int _ { varphi (U)} е ( mathbf {v}) , d mathbf {v} = int _ {U} f ( varphi ( mathbf {u})) left | det (D varphi) ( mathbf {u}) right | , d mathbf {u}.}

Условия теоремы можно ослабить различными способами. Во-первых, требование, чтобы $φ$ быть непрерывно дифференцируемым, можно заменить более слабым предположением, что $φ$ быть просто дифференцируемыми и иметь непрерывный обратный.^[4] Это гарантированно будет выполнено, если $φ$ непрерывно дифференцируемо теорема об обратной функции. В качестве альтернативы, требование, чтобы $det (Dφ) \neq 0$ можно устранить, применив Теорема Сарда.^[5]

Для измеримых по Лебегу функций теорема может быть сформулирована в следующем виде:^[6]

Теорема. Позволять $U$ быть измеримым подмножеством $р п$ и $φ : U \to р п$ ан инъективная функция, и предположим для каждого $Икс$ в $U$ Существует $φ'(Икс)$ в $р п, п$ такой, что $φ (у) = φ (Икс) + φ ' (Икс)(у - Икс) + о (|| у - Икс ||)$ так как $у \to Икс$ (здесь $о$ является маленький-о обозначение ). потом $φ (U)$ измерима, и для любой действительной функции $ж$ определено на $φ (U)$ ,

{ Displaystyle int _ { varphi (U)} е (v) , dv = int _ {U} f ( varphi (u)) left | det varphi '(u) right | , du}

в том смысле, что если один из интегралов существует (включая возможность быть собственно бесконечным), то существует и другой интеграл, и они имеют одинаковое значение.

Еще одна очень общая версия в теория меры следующее:^[7]Теорема. Позволять $Икс$ быть локально компактный Пространство Хаусдорфа оснащен конечным Радоновая мера $μ$ , и разреши $Y$ быть σ-компактный Хаусдорфово пространство с σ-конечный Радоновая мера $ρ$ . Позволять $φ : Икс \to Y$ быть непрерывный и абсолютно непрерывный функция (где последнее означает, что $ρ (φ (E)) = 0$ всякий раз, когда $μ (E) = 0$ ). Тогда существует вещественная Измеримая функция по Борелю $ш$ на $Икс$ так что для каждого Интегрируемый по Лебегу функция $ж : Y \to р$ , функция $(ж \circ φ) \cdot ш$ интегрируем по Лебегу на $Икс$ , и

{ Displaystyle int _ {Y} е (у) , d rho (y) = int _ {X} (е circ varphi) (x) , w (x) , d mu ( Икс).}

Кроме того, можно написать

{ Displaystyle вес (х) = (г circ varphi) (х)}

для некоторой измеримой по Борелю функции $грамм$ на $Y$ .

В геометрическая теория меры, интегрирование заменой используется с Липшицевы функции. Билипшицева функция - это липшицева функция $φ : U \to р п$ который инъективен и обратная функция которого $φ -1 : φ (U) \to U$ тоже липшицев. К Теорема Радемахера билипшицево отображение дифференцируемо почти всюду. В частности, определитель Якоби билипшицевого отображения $Det Dφ$ хорошо определена почти везде. Тогда имеет место следующий результат:

Теорема. Позволять $U$ быть открытым подмножеством $р п$ и $φ : U \to р п$ - билипшицево отображение. Позволять $ж : φ (U) \to р$ быть измеримыми. потом

{ Displaystyle Int _ {U} (е circ varphi) (x) | det D varphi (x) | , dx = int _ { varphi (U)} f (x) , dx }

в том смысле, что если один из интегралов существует (или собственно бесконечен), то существует и другой интеграл, и они имеют одинаковое значение.

Приведенная выше теорема была впервые предложена Эйлер когда он развил понятие двойные интегралы в 1769 г. Хотя обобщение на тройные интегралы Лагранж в 1773 г. и использовался Legendre, Лаплас, Гаусс и сначала обобщили на $п$ переменные по Михаил Остроградский в 1836 году он удивительно долго сопротивлялся полностью строгому формальному доказательству и был впервые удовлетворительно разрешен 125 лет спустя. Эли Картан в серии статей, начиная с середины 1890-х гг.^[8]^[9]

Применение по вероятности

Подстановка может использоваться, чтобы ответить на следующий важный вопрос вероятности: задана случайная величина ${ displaystyle X}$ с плотностью вероятности ${ displaystyle p_ {X}}$ и другая случайная величина ${ displaystyle Y}$ такой, что ${ Displaystyle Y = phi (X)}$ , какова плотность вероятности для ${ displaystyle Y}$ ?

На этот вопрос проще всего ответить, сначала ответив на несколько другой вопрос: какова вероятность того, что ${ displaystyle Y}$ принимает значение в некотором конкретном подмножестве ${ displaystyle S}$ ? Обозначим эту вероятность ${ Displaystyle P (Y in S)}$ . Конечно, если ${ displaystyle Y}$ имеет плотность вероятности ${ displaystyle p_ {Y}}$ тогда ответ

{ Displaystyle P (Y in S) = int _ {S} p_ {Y} (y) , dy,}

но это бесполезно, потому что мы не знаем ${ displaystyle p_ {Y}}$ ; это то, что мы пытаемся найти. Мы можем добиться прогресса, рассмотрев проблему в переменной ${ displaystyle X}$ . ${ displaystyle Y}$ принимает значение в ${ displaystyle S}$ всякий раз, когда ${ displaystyle X}$ принимает значение в ${ Displaystyle phi ^ {- 1} (S)}$ , так

{ Displaystyle P (Y in S) = int _ { phi ^ {- 1} (S)} p_ {X} (x) , dx.}

Переход от переменной ${ displaystyle x}$ к ${ displaystyle y}$ дает

{ Displaystyle P (Y in S) = int _ { phi ^ {- 1} (S)} p_ {X} (x) , dx = int _ {S} p_ {X} ( phi ^ {- 1} (y)) left | { frac {d phi ^ {- 1}} {dy}} right | , dy.}

Объединение этого с нашим первым уравнением дает

{ displaystyle int _ {S} p_ {Y} (y) , dy = int _ {S} p_ {X} ( phi ^ {- 1} (y)) left | { frac {d phi ^ {- 1}} {dy}} right | , dy,}

так

{ displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} ( phi ^ {- 1} (y)) left | { frac {d phi ^ {- 1}} {dy}} right | .}

В случае, когда ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ зависят от нескольких некоррелированных переменных, т.е. ${ Displaystyle p_ {X} = p_ {X} (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ и ${ Displaystyle у = фи (х)}$ , ${ displaystyle p_ {Y}}$ можно найти заменой нескольких переменных, рассмотренных выше. Результат

{ displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} ( phi ^ {- 1} (y)) left | det D phi ^ {- 1} (y) right |.}

Смотрите также

Примечания

^ Своковски 1983, п. 257
^ Своковси 1983, п. 258
^ Бриггс и Кокран 2011, стр.361
^ Рудин 1987, Теорема 7.26
^ Спивак 1965 г., п. 72
^ Фремлин 2010, Теорема 263D
^ Хьюитт и Стромберг, 1965 г., Теорема 20.3
^ Кац 1982
^ Ферзола 1994

внешняя ссылка

[1] Своковски 1983, п. 257

[2] Своковси 1983, п. 258

[3] Бриггс и Кокран 2011, стр.361

[4] Рудин 1987, Теорема 7.26

[5] Спивак 1965 г., п. 72

[6] Фремлин 2010, Теорема 263D

[7] Хьюитт и Стромберг, 1965 г., Теорема 20.3

[8] Кац 1982

[9] Ферзола 1994

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]