Вторая производная - Second derivative

Вторая производная от a квадратичная функция является постоянный.

В исчисление, то вторая производная, или производная второго порядка, из функция ж это производная производной от ж. Грубо говоря, вторая производная измеряет, как изменяется сама скорость изменения величины; например, вторая производная положения объекта по времени - это мгновенное ускорение объекта, или скорость, с которой скорость объекта меняется во времени. В Обозначение Лейбница:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},}$

куда а это ускорение, v скорость, т время, Икс - позиция, а d - мгновенная «дельта» или изменение. Последнее выражение ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}}$ - вторая производная от позиции (x) по времени.

На график функции, вторая производная соответствует кривизна или же вогнутость графа. График функции с положительной второй производной вогнут вверх, а график функции с отрицательной второй производной изгибается в противоположном направлении.

Правило второй производной мощности

В правило власти для первой производной, если применить дважды, даст следующее правило мощности второй производной:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}[x^{n}]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}[x^{n}]={\frac {d}{dx}}[nx^{n-1}]=n{\frac {d}{dx}}[x^{n-1}]=n(n-1)x^{n-2}.}$

Обозначение

Дальнейшая информация: Обозначения для дифференцирования

Вторая производная функции ${\displaystyle f(x)}$ обычно обозначается ${\displaystyle f''(x)}$.^[1][2][3] То есть:

${\displaystyle f''=(f')'}$

Когда используешь Обозначения Лейбница для производных вторая производная зависимой переменной у относительно независимой переменной Икс написано

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Это обозначение получено из следующей формулы:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Пример

Учитывая функцию

${\displaystyle f(x)=x^{3},}$

производная от ж это функция

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.}$

Вторая производная от ж является производной от ж′, а именно

${\displaystyle f''(x)=6x.}$

Связь с графиком

Сюжет ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ из ${\displaystyle -\pi /4}$ к ${\displaystyle 5\pi /4}$. Касательная линия синего цвета, если кривая вогнута вверх, зеленого цвета, когда кривая вогнута вниз, и красного цвета в точках перегиба (0, ${\displaystyle \pi }$/ 2 и ${\displaystyle \pi }$).

Вогнутость

Вторая производная функции ж может использоваться для определения вогнутость графика ж.^[3] Функция, у которой вторая производная положительна, будет вогнуться (также называемый выпуклым), что означает, что касательная Линия будет лежать под графиком функции. Точно так же функция, вторая производная которой отрицательна, будет вогнуться (также называемый просто вогнутым), и его касательные будут лежать над графиком функции.

Точки перегиба

Основная статья: Точка перегиба

Если вторая производная функции меняет знак, график функции переключается с вогнутой вниз на вогнутую вверх или наоборот. Точка, в которой это происходит, называется точка перегиба. Предполагая, что вторая производная является непрерывной, она должна принимать нулевое значение в любой точке перегиба, хотя не каждая точка, в которой вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

Тест второй производной

Основная статья: Тест второй производной

Связь между второй производной и графиком может использоваться для проверки того, стационарный пункт для функции (т. е. точки, где ${\displaystyle f'(x)=0}$) это локальный максимум или местный минимум. Конкретно,

• Если ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0}$, тогда ${\displaystyle f}$ имеет локальный максимум на ${\displaystyle x}$.
• Если ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0}$, тогда ${\displaystyle f}$ имеет местный минимум в ${\displaystyle x}$.
• Если ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0}$, второй тест производной ничего не говорит о точке ${\displaystyle x}$, возможная точка перегиба.

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно увидеть с помощью аналогии с реальным миром. Рассмотрим транспортное средство, которое сначала движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным ускорением. Ясно, что положение транспортного средства в точке, где скорость достигает нуля, будет максимальным расстоянием от исходного положения - по истечении этого времени скорость станет отрицательной, и транспортное средство обратится. То же самое верно и для минимума, для транспортного средства, которое сначала имеет очень отрицательную скорость, но положительное ускорение.

Предел

Можно написать сингл предел для второй производной:

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

Предел называется вторая симметричная производная.^[4][5] Обратите внимание, что вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная отсутствует.

Выражение справа можно записать как коэффициент разницы коэффициентов разницы:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$

Это ограничение можно рассматривать как непрерывную версию второе отличие за последовательности.

Однако наличие указанного предела не означает, что функция ${\displaystyle f}$ имеет вторую производную. Приведенный выше предел просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает определения. Контрпримером является функция знака ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$, который определяется как:^[1]

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$

Знаковая функция не является непрерывной в нуле, поэтому вторая производная для ${\displaystyle x=0}$ не существует. Но указанный выше предел существует для ${\displaystyle x=0}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$

Квадратичное приближение

Так же, как первая производная связана с линейные приближения, вторая производная относится к лучшему квадратичное приближение для функции ж. Это квадратичная функция чьи первые и вторые производные такие же, как у ж в заданной точке. Формула наилучшего квадратичного приближения функции ж вокруг точки Икс = а является

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$

Это квадратичное приближение второго порядка Полином Тейлора для функции с центром в Икс = а.

Собственные значения и собственные векторы второй производной

Для многих комбинаций граничные условия явные формулы для собственные значения и собственные векторы второй производной может быть получен. Например, если предположить ${\displaystyle x\in [0,L]}$ и однородный Граничные условия Дирихле (т.е. ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$), собственные значения находятся ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ и соответствующие собственные векторы (также называемый собственные функции ) находятся ${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$. Здесь, ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .}$

О других хорошо известных случаях см. Собственные значения и собственные векторы второй производной.

Обобщение на более высокие измерения

Гессен

Основная статья: Матрица Гессе

Вторая производная обобщается на более высокие измерения через понятие второго частные производные. Для функции ж: р³ → р, к ним относятся три частичных второго порядка

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

и смешанные частичные

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$

Если и изображение функции, и домен имеют потенциал, то они объединяются в симметричная матрица известный как Гессен. В собственные значения этой матрицы можно использовать для реализации многопараметрического аналога второй производной проверки. (См. Также тест второй частной производной.)

Лапласиан

Основная статья: Оператор Лапласа

Другое распространенное обобщение второй производной - это Лапласиан. Это дифференциальный оператор ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ (или же ${\displaystyle \Delta }$^[1]) определяется

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

Лапласиан функции равен расхождение из градиент, а след матрицы Гессе.

Смотрите также

• Веселость, вторая производная от мгновенная фаза
• Конечная разница, используется для аппроксимации второй производной
• Тест второй частной производной
• Симметрия вторых производных

Рекомендации

1. «Список математических и аналитических символов». Математическое хранилище. 2020-05-11. Получено 2020-09-16.
2. «Контент - вторая производная». amsi.org.au. Получено 2020-09-16.
3. «Вторые производные». Math24. Получено 2020-09-16.
4. А. Зигмунд (2002). Тригонометрические серии. Издательство Кембриджского университета. С. 22–23. ISBN  978-0-521-89053-3.
5. Томсон, Брайан С. (1994). Симметричные свойства вещественных функций.. Марсель Деккер. п. 1. ISBN  0-8247-9230-0.

дальнейшее чтение

Распечатать

• Антон, Ховард; Бивенс, Ирландия; Дэвис, Стивен (2 февраля 2005 г.), Исчисление: ранние трансцендентальные одинарные и многомерные (8-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  978-0-471-47244-5
• Апостол, Том М. (июнь 1967), Исчисление, Vol. 1: Исчисление одной переменной с введением в линейную алгебру, 1 (2-е изд.), Wiley, ISBN  978-0-471-00005-1
• Апостол, Том М. (июнь 1969 г.), Исчисление, Vol. 2. Исчисление с несколькими переменными и линейная алгебра с приложениями, 1 (2-е изд.), Wiley, ISBN  978-0-471-00007-5
• Ивс, Ховард (2 января 1990 г.), Введение в историю математики (6-е изд.), Брукс Коул, ISBN  978-0-03-029558-4
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П .; Эдвардс, Брюс Х. (28 февраля 2006 г.), Исчисление: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Houghton Mifflin Company, ISBN  978-0-618-60624-5
• Спивак Михаил (Сентябрь 1994 г.), Исчисление (3-е изд.), Publish or Perish, ISBN  978-0-914098-89-8
• Стюарт, Джеймс (24 декабря 2002 г.), Исчисление (5-е изд.), Брукс Коул, ISBN  978-0-534-39339-7
• Томпсон, Сильванус П. (8 сентября 1998 г.), Расчет стал проще (Пересмотренное, обновленное, расширенное изд.), Нью-Йорк: St. Martin's Press, ISBN  978-0-312-18548-0

Интернет-книги

• Кроуэлл, Бенджамин (2003), Исчисление
• Гаррет, Пол (2004), Заметки по расчету за первый год
• Хуссейн, Фараз (2006), Понимание исчисления
• Кейслер, Х. Джером (2000), Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых
• Маух, Шон (2004), Полная версия книги Шона по прикладной математике, заархивировано из оригинал на 2006-04-15
• Слаутер, Дэн (2000), Разностные уравнения к дифференциальным уравнениям
• Стрэнг, Гилберт (1991), Исчисление
• Строян, Кейт Д. (1997), Краткое введение в исчисление бесконечно малых, заархивировано из оригинал на 2005-09-11
• Викиучебники, Исчисление

внешняя ссылка

• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек