Собственные значения и собственные векторы второй производной - Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

Явные формулы для собственные значения и собственные векторы вторая производная с разными граничными условиями предусмотрены как для непрерывного, так и для дискретного случая. В дискретном случае стандартная центрально-разностная аппроксимация второй производной используется на равномерной сетке.

Эти формулы используются для вывода выражений для собственные функции из Лапласиан в случае разделение переменных, а также найти собственные значения и собственные векторы многомерных дискретный лапласиан на регулярная сетка, который представлен как Сумма Кронекера дискретных лапласианов в одномерном.

Непрерывный случай

Индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор и изменяется от 1 до ${\displaystyle \infty }$. Предполагая, что уравнение определено в области ${\displaystyle x\in [0,L]}$, ниже приведены собственные значения и нормированные собственные векторы. Собственные значения упорядочены по убыванию.

Чистые граничные условия Дирихле

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {j\pi x}{L}}\right)}$

Чистые граничные условия Неймана

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {(j-1)^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle v_{j}(x)=\left\{{\begin{array}{lr}L^{-{\frac {1}{2}}}&j=1\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left({\frac {(j-1)\pi x}{L}}\right)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Периодические граничные условия

${\displaystyle \lambda _{j}=\left\{{\begin{array}{lr}-{\frac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}&{\mbox{j is even.}}\\-{\frac {(j-1)^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}&{\mbox{j is odd.}}\end{array}}\right.}$

(То есть: ${\displaystyle 0}$ является простым собственным значением, а все дальнейшие собственные значения даются ${\displaystyle {\frac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots }$, каждая с кратностью 2).

${\displaystyle v_{j}(x)={\begin{cases}L^{-{\frac {1}{2}}}&{\mbox{if }}j=1.\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {j\pi x}{L}}\right)&{\mbox{ if j is even.}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left({\frac {(j-1)\pi x}{L}}\right)&{\mbox{ if j is odd.}}\end{cases}}}$

Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана.

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {(2j-1)^{2}\pi ^{2}}{4L^{2}}}}$

${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {(2j-1)\pi x}{2L}}\right)}$

Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле.

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {(2j-1)^{2}\pi ^{2}}{4L^{2}}}}$

${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left({\frac {(2j-1)\pi x}{2L}}\right)}$

Дискретный случай

Обозначение: индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор. Индекс i представляет i-й компонент собственного вектора. Оба i и j идут от 1 до n, где размер матрицы n x n. Собственные векторы нормированы. Собственные значения упорядочены по убыванию.

Чистые граничные условия Дирихле

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi j}{2(n+1)}}\right)}$

${\displaystyle v_{i,j}={\sqrt {\frac {2}{n+1}}}\sin \left({\frac {ij\pi }{n+1}}\right)}$ ^[1]

Чистые граничные условия Неймана

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (j-1)}{2n}}\right)}$

${\displaystyle v_{i,j}={\begin{cases}n^{-{\frac {1}{2}}}&{\mbox{j = 1}}\\{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cos \left({\frac {\pi (j-1)(i-0.5)}{n}}\right)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Периодические граничные условия

${\displaystyle \lambda _{j}={\begin{cases}-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (j-1)}{2n}}\right)&{\mbox{ if j is odd.}}\\-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi j}{2n}}\right)&{\mbox{ if j is even.}}\end{cases}}}$

(Обратите внимание, что собственные значения повторяются за исключением 0 и самого большого, если n четно.)

${\displaystyle v_{i,j}={\begin{cases}n^{-{\frac {1}{2}}}&{\mbox{if }}j=1.\\n^{-{\frac {1}{2}}}(-1)^{i}&{\mbox{if }}j=n{\mbox{ and n is even.}}\\{\sqrt {\frac {2}{n}}}\sin \left({\frac {\pi (i-0.5)j}{n}}\right)&{\mbox{ otherwise if j is even.}}\\{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cos \left({\frac {\pi (i-0.5)(j-1)}{n}}\right)&{\mbox{ otherwise if j is odd.}}\end{cases}}}$

Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана.

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (j-{\frac {1}{2}})}{2n+1}}\right)}$

${\displaystyle v_{i,j}={\sqrt {\frac {2}{n+0.5}}}\sin \left({\frac {\pi i(2j-1)}{2n+1}}\right)}$

Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле.

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (j-{\frac {1}{2}})}{2n+1}}\right)}$

${\displaystyle v_{i,j}={\sqrt {\frac {2}{n+0.5}}}\cos \left({\frac {\pi (i-0.5)(2j-1)}{2n+1}}\right)}$

Вывод собственных значений и собственных векторов в дискретном случае.

Чехол Дирихле

В одномерном дискретном случае с граничными условиями Дирихле мы решаем

${\displaystyle {\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}=\lambda v_{k},\ k=1,...,n,\ v_{0}=v_{n+1}=0.}$

Переставляя сроки, получаем

${\displaystyle v_{k+1}=(2+h^{2}\lambda )v_{k}-v_{k-1}.\!}$

Теперь позвольте ${\displaystyle 2\alpha =(2+h^{2}\lambda )}$. Кроме того, предполагая ${\displaystyle v_{1}\neq 0}$, мы можем масштабировать собственные векторы любым ненулевым скаляром, поэтому масштаб ${\displaystyle v}$ так что ${\displaystyle v_{1}=1}$.

Затем находим повторение

${\displaystyle v_{0}=0\,\!}$

${\displaystyle v_{1}=1.\,\!}$

${\displaystyle v_{k+1}=2\alpha v_{k}-v_{k-1}\,\!}$

Учитывая ${\displaystyle \alpha }$ как неопределенное,

${\displaystyle v_{k+1}=U_{k}(\alpha )\,\!}$

куда ${\displaystyle U_{k}}$ k-й Полином Чебышева 2-го рода.

С ${\displaystyle v_{n+1}=0}$мы получаем это

${\displaystyle U_{n}(\alpha )=0\,\!}$.

Понятно, что собственными значениями нашей задачи будут нули n-го многочлена Чебышева второго рода с соотношением ${\displaystyle 2\alpha =(2+h^{2}\lambda )}$.

Эти нули хорошо известны:

${\displaystyle \alpha _{k}=\cos \left({\frac {k\pi }{n+1}}\right).\,\!}$

Подставляя их в формулу для ${\displaystyle \lambda }$,

${\displaystyle 2\cos \left({\frac {k\pi }{n+1}}\right)=h^{2}\lambda _{k}+2\,\!}$

${\displaystyle \lambda _{k}=-{\frac {2}{h^{2}}}\left[1-\cos \left({\frac {k\pi }{n+1}}\right)\right].\,\!}$

Используя тригонометрическую формулу для упрощения, мы находим

${\displaystyle \lambda _{k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {k\pi }{2(n+1)}}\right).\,\!}$

Дело Неймана

В случае Неймана мы решаем

${\displaystyle {\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}=\lambda v_{k},\ k=1,...,n,\ v'_{0.5}=v'_{n+0.5}=0.\,\!}$

В стандартной дискретизации введем ${\displaystyle v_{0}\,\!}$ и ${\displaystyle v_{n+1}\,\!}$ и определить

${\displaystyle v'_{0.5}:={\frac {v_{1}-v_{0}}{h}},\ v'_{n+0.5}:={\frac {v_{n+1}-v_{n}}{h}}\,\!}$

Тогда граничные условия эквивалентны

${\displaystyle v_{1}-v_{0}=0,\ v_{n+1}-v_{n}=0.}$

Если мы сделаем замену переменных,

${\displaystyle w_{k}=v_{k+1}-v_{k},\ k=0,...,n\,\!}$

мы можем вывести следующее:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}&=\lambda v_{k}\\v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}&=h^{2}\lambda v_{k}\\(v_{k+1}-v_{k})-(v_{k}-v_{k-1})&=h^{2}\lambda v_{k}\\w_{k}-w_{k-1}&=h^{2}\lambda v_{k}\\&=h^{2}\lambda w_{k-1}+h^{2}\lambda v_{k-1}\\&=h^{2}\lambda w_{k-1}+w_{k-1}-w_{k-2}\\w_{k}&=(2+h^{2}\lambda )w_{k-1}-w_{k-2}\\w_{k+1}&=(2+h^{2}\lambda )w_{k}-w_{k-1}\\&=2\alpha w_{k}-w_{k-1}.\end{alignedat}}}$

с ${\displaystyle w_{n}=w_{0}=0}$ являющиеся граничными условиями.

Это в точности формула Дирихле с ${\displaystyle n-1}$ внутренние точки сетки и шаг сетки ${\displaystyle h}$. Подобно тому, что мы видели выше, при условии, что ${\displaystyle w_{1}\neq 0}$, мы получили

${\displaystyle \lambda _{k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {k\pi }{2n}}\right),\ k=1,...,n-1.}$

Это дает нам ${\displaystyle n-1}$ собственные значения и есть ${\displaystyle n}$. Если отказаться от предположения, что ${\displaystyle w_{1}\neq 0}$, мы находим также решение с ${\displaystyle v_{k}=\mathrm {constant} \ \forall \ k=0,...,n+1,}$ и это соответствует собственному значению ${\displaystyle 0}$.

Переназначив индексы в приведенной выше формуле и комбинируя с нулевым собственным значением, получаем

${\displaystyle \lambda _{k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(k-1)\pi }{2n}}\right),\ k=1,...,n.}$

Дело Дирихле-Неймана

Для случая Дирихле-Неймана решаем

${\displaystyle {\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}=\lambda v_{k},\ k=1,...,n,\ v_{0}=v'_{n+0.5}=0.}$,

куда ${\displaystyle v'_{n+0.5}:={\frac {v_{n+1}-v_{n}}{h}}.}$

Нам нужно ввести вспомогательные переменные ${\displaystyle v_{j+0.5},\ j=0,...,n.}$

Рассмотрим повторение

${\displaystyle v_{k+0.5}=2\beta v_{k}-v_{k-0.5},{\text{ for some }}\beta \,\!}$.

Также мы знаем ${\displaystyle v_{0}=0}$ и предполагая ${\displaystyle v_{0.5}\neq 0}$, мы можем масштабировать ${\displaystyle v_{0.5}}$ так что ${\displaystyle v_{0.5}=1.}$

Мы также можем написать

${\displaystyle v_{k}=2\beta v_{k-0.5}-v_{k-1}\,\!}$

${\displaystyle v_{k+1}=2\beta v_{k+0.5}-v_{k}.\,\!}$

Выбрав правильную комбинацию этих трех уравнений, мы можем получить

${\displaystyle v_{k+1}=(4\beta ^{2}-2)v_{k}-v_{k-1}.\,\!}$

Таким образом, наша новая рекурсия решит нашу проблему собственных значений, когда

${\displaystyle h^{2}\lambda +2=(4\beta ^{2}-2).\,\!}$

Решение для ${\displaystyle \lambda }$ мы получили

${\displaystyle \lambda ={\frac {4(\beta ^{2}-1)}{h^{2}}}.}$

Наше новое повторение дает

${\displaystyle v_{n+1}=U_{2n+1}(\beta ),\ v_{n}=U_{2n-1}(\beta ),\,\!}$

куда ${\displaystyle U_{k}(\beta )}$ снова k-й Полином Чебышева 2-го рода.

И в сочетании с нашим граничным условием Неймана, мы имеем

${\displaystyle U_{2n+1}(\beta )-U_{2n-1}(\beta )=0.\,\!}$

Известная формула связывает Полиномы Чебышева первого рода, ${\displaystyle T_{k}(\beta )}$, второму типу

${\displaystyle U_{k}(\beta )-U_{k-2}(\beta )=T_{k}(\beta ).\,\!}$

Таким образом, наши собственные значения решают

${\displaystyle T_{2n+1}(\beta )=0,\ \lambda ={\frac {4(\beta ^{2}-1)}{h^{2}}}.\,\!}$

Известно также, что нули этого многочлена равны

${\displaystyle \beta _{k}=\cos \left({\frac {\pi (k-0.5)}{2n+1}}\right),\ k=1,...,2n+1\,\!}$

И поэтому

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\lambda _{k}&={\frac {4}{h^{2}}}\left[\cos ^{2}\left({\frac {\pi (k-0.5)}{2n+1}}\right)-1\right]\\&=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (k-0.5)}{2n+1}}\right).\end{alignedat}}}$

Обратите внимание, что таких значений 2n + 1, но уникальны только первые n + 1. (N + 1) -ое значение дает нам нулевой вектор как собственный вектор с собственным значением 0, что тривиально. Это можно увидеть, вернувшись к исходному повторению. Поэтому мы рассматриваем только первые n из этих значений как n собственных значений задачи Дирихле - Неймана.

${\displaystyle \lambda _{k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (k-0.5)}{2n+1}}\right),\ k=1,...,n.}$

Рекомендации

1. Ф. Чанг, С.-Т. Яу, Дискретные функции Грина, Journal of Combinatorial Theory A 91, 191-214 (2000).