Стохастическое исчисление - Stochastic calculus

Стохастическое исчисление это филиал математика что действует на случайные процессы. Это позволяет определить последовательную теорию интеграции для интегралы стохастических процессов по отношению к случайным процессам. Он используется для моделирования систем, которые ведут себя случайным образом.

Самый известный случайный процесс, к которому применяется стохастическое исчисление, - это Винеровский процесс (назван в честь Норберт Винер ), который используется для моделирования Броуновское движение как описано Луи Башелье в 1900 г. и к Альберт Эйнштейн в 1905 г. и другие физические распространение процессы в пространстве частиц под действием случайных сил. С 1970-х годов винеровский процесс широко применяется в финансовая математика и экономика для моделирования эволюции во времени цен на акции и процентных ставок по облигациям.

Основные разновидности стохастического исчисления: Исчисление Ито и его вариационная относительная Исчисление Маллявэна. По техническим причинам интеграл Ито наиболее полезен для общих классов процессов, но связанные с ним Интеграл Стратоновича часто используется при постановке задач (особенно в инженерных дисциплинах). Интеграл Стратоновича легко выразить через интеграл Ито. Основное преимущество интеграла Стратоновича состоит в том, что он подчиняется обычному Правило цепи и поэтому не требует Лемма Ито. Это позволяет выражать проблемы в инвариантной форме системы координат, что неоценимо при разработке стохастического исчисления на многообразиях, отличных от р^п. теорема о доминируемой сходимости для интеграла Стратоновича не выполняется; следовательно, очень трудно доказать результаты, не переформулируя интегралы в форме Ито.

Ито интегральный

Основная статья: Исчисление Ито

В Ито интегральный занимает центральное место в изучении стохастического исчисления. Интегральный ${\displaystyle \int H\,dX}$ определяется для семимартингал Икс и локально ограниченный предсказуемый процесс ЧАС.^{[нужна цитата ]}

Интеграл Стратоновича

Основная статья: Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича от семимартингал ${\displaystyle X}$ против другого семимартингал Y можно определить в терминах интеграла Ито как

${\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},}$

куда [Икс, Y]_т^c обозначает квадратичная ковариация непрерывных частей ИксиY. Альтернативное обозначение

${\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}}$

также используется для обозначения интеграла Стратоновича.

Приложения

Важное приложение стохастического исчисления находится в математические финансы, в котором цены активов часто считаются стохастические дифференциальные уравнения. в Модель Блэка – Шоулза, предполагается, что цены будут следовать геометрическое броуновское движение.

Рекомендации

• Фима Клебанер, 2012 г., Введение в стохастическое исчисление с применением (3-е издание). Мировое научное издательство, ISBN  9781848168312
• Szabados, T. S .; Секели, Б. З. (2008). «Стохастическая интеграция на основе простых симметричных случайных блужданий». Журнал теоретической вероятности. 22: 203. arXiv:0712.3908. Дои:10.1007 / s10959-007-0140-8. Препринт