Правило LHôpitals - LHôpitals rule

Пример применения правила Л'Опиталь к ж(Икс) = грех (Икс) и грамм(Икс) = −0.5Икс: функция час(Икс) = ж(Икс)/грамм(Икс) не определено в Икс = 0, но может быть завершена до непрерывной функции на всех р определяя час(0) = ж′(0)/грамм′(0) = −2.

В математика, более конкретно исчисление, Правило L'Hôpital или же Правило L'Hospital (Французский:[лопитал], Английский: /ˌлoʊпяˈтɑːл/, лох-пи-TAHL ) предоставляет методику оценки пределы из неопределенные формы. Применение (или повторное применение) правила часто преобразует неопределенную форму в выражение, которое можно легко вычислить с помощью подстановки. Правило названо в честь 17 века. Французский математик Гийом де л'Опиталь. Хотя это правило часто приписывают Л'Опиталу, теорема была впервые представлена ​​ему в 1694 году швейцарским математиком. Иоганн Бернулли.

Правило L'Hôpital гласит, что для функций ж и грамм которые дифференцируемый на открытом интервал я кроме, возможно, в какой-то момент c содержалась в я, если ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$ и ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ для всех Икс в я с Икс ≠ c, и ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ существует, тогда

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

Дифференцирование числителя и знаменателя часто упрощает частное или преобразует его в предел, который можно вычислить напрямую.

История

Гийом де л'Опиталь (также пишется l'Hospital^[а]) опубликовал это правило в своей книге 1696 г. Analyze des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (дословный перевод: Анализ бесконечно малого для понимания кривых линий), первый учебник по дифференциальное исчисление.^[1][b] Однако считается, что это правило открыл швейцарский математик. Иоганн Бернулли.^[3][4]

Общая форма

Общая форма правила Л'Опиталя охватывает многие случаи. Позволять c и L быть расширенные действительные числа (т.е. действительные числа, положительная бесконечность или отрицательная бесконечность). Позволять я быть открытый интервал содержащий c (для двустороннего лимита) или открытый интервал с конечной точкой c (для односторонний предел, или предел на бесконечности если c бесконечно). Действительные функции ж и грамм считаются дифференцируемый на я кроме, возможно, в c, и дополнительно ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ на я кроме, возможно, в c. Также предполагается, что ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ Таким образом, правило применяется к ситуациям, в которых отношение производных имеет конечный или бесконечный предел, но не к ситуациям, в которых это отношение постоянно колеблется как Икс становится все ближе и ближе к c.

Если либо

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$

или же

${\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,}$

тогда

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.}$

Хотя мы написали Икс → c повсюду пределы также могут быть односторонними (Икс → c⁺ или же Икс → c⁻), когда c является конечной точкой я.

Во втором случае гипотеза о том, что ж расходится до бесконечности в доказательстве не используется (см. примечание в конце раздела доказательства); таким образом, хотя условия правила обычно формулируются так, как указано выше, второе достаточное условие для того, чтобы процедура правила была действительной, можно более кратко сформулировать как ${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$

Гипотеза о том, что ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ чаще всего встречается в литературе, но некоторые авторы обходят эту гипотезу, добавляя другие гипотезы в другом месте. Один метод^[5] заключается в определении предела функции с дополнительным требованием, чтобы предельная функция была определена всюду на соответствующем интервале я кроме, возможно, в c.^[c] Другой способ^[6] требует, чтобы оба ж и грамм дифференцируема всюду на отрезке, содержащем c.

Требование наличия лимита

Требование, чтобы предел

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

существует существенно. Без этого условия ${\displaystyle f'}$ или же ${\displaystyle g'}$ могут проявлять незатухающие колебания как ${\displaystyle x}$ подходы ${\displaystyle c}$, и в этом случае правило L'Hôpital не применяется. Например, если ${\displaystyle f(x)=x+\sin(x)}$, ${\displaystyle g(x)=x}$ и ${\displaystyle c=\pm \infty }$, тогда

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {1+\cos(x)}{1}};}$

это выражение не приближается к пределу, поскольку ${\displaystyle x}$ идет в ${\displaystyle c}$, поскольку функция косинуса колеблется между 1 и −1. Но работая с оригинальными функциями, ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ можно показать, что существует:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin(x)}{x}}\right)=1.}$

В таком случае все, что можно сделать, это то, что

${\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

так что если предел ж/грамм существует, то он должен лежать между нижним и верхним пределами ж′/грамм′. (В приведенном выше примере это правда, поскольку 1 действительно находится между 0 и 2.)

Примеры

• Вот базовый пример, включающий экспоненциальную функцию, которая включает неопределенную форму 0/0 в Икс = 0:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}\\[4pt]&=1.\end{aligned}}}$

• Это более сложный пример, включающий 0/0. Однократное применение правила L'Hôpital все еще приводит к неопределенной форме. В этом случае предел можно оценить, применив правило трижды:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}\\[4pt]&={\frac {-2+8}{1}}\\[4pt]&=6.\end{aligned}}}$

• Вот пример с участием ∞/∞:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.}$

Неоднократно применяйте правило Л'Опиталя до тех пор, пока показатель степени не станет нулевым (если п целое число) или отрицательное (если п дробно), чтобы заключить, что предел равен нулю.

• Вот пример с неопределенной формой 0 · ∞ (см. ниже), который переписывается в виде ∞/∞:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.}$

• Вот пример с участием формула погашения ипотеки и 0/0. Позволять п быть основным (сумма кредита), р процентная ставка за период и п количество периодов. Когда р равна нулю, сумма погашения за период равна ${\displaystyle {\frac {P}{n}}}$ (поскольку выплачивается только основная сумма долга); это соответствует формуле для ненулевых процентных ставок:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}&=P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}\\[4pt]&={\frac {P}{n}}.\end{aligned}}}$

• Можно также использовать правило Лопиталя для доказательства следующей теоремы. Если ж дважды дифференцируема в окрестности точки Икс, тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x).\end{aligned}}}$

• Иногда к правилу L'Hôpital прибегают хитрым способом: предположим, ж(Икс) + ж′(Икс) сходится как Икс → ∞ и это ${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$ сходится к положительной или отрицательной бесконечности. Потом:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}$

и так,${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ существует и${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0.}$

Результат остается верным без дополнительной гипотезы, что ${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$ сходится к положительной или отрицательной бесконечности, но в этом случае обоснование неполное.

Осложнения

Иногда правило L'Hôpital не приводит к ответу за конечное число шагов, если не применяются дополнительные шаги. Примеры включают следующее:

• Два приложения могут привести к возврату к исходному выражению, которое должно было быть вычислено:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\cdots .}$

С этой ситуацией можно справиться, подставив ${\displaystyle y=e^{x}}$ и отмечая, что у уходит в бесконечность как Икс уходит в бесконечность; с такой заменой эта проблема может быть решена одним применением правила:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$

В качестве альтернативы числитель и знаменатель можно умножить на ${\displaystyle e^{x},}$ в этот момент можно сразу же успешно применить правило L'Hôpital:^[7]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2e^{2x}}{2e^{2x}}}=1.}$

• Произвольно большое количество заявок никогда не может привести к ответу даже без повторения:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}{{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}+{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}{-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}-{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}}=\cdots .}$

С этой ситуацией тоже можно справиться преобразованием переменных, в данном случае ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$

Опять же, альтернативный подход - умножить числитель и знаменатель на ${\displaystyle x^{1/2}}$ перед применением правила L'Hôpital:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x-1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1.}$

Распространенная ошибка - использование правила L'Hôpital с некоторыми круговое рассуждение для вычисления производной через коэффициент разницы. Например, рассмотрим задачу доказательства формулы производной для полномочия Икс:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.}$

Применяя правило Л'Опиталя и находя производные по час числителя и знаменателя дает п х^п−1 как и ожидалось. Однако дифференцирование числителя потребовало использования самого доказываемого факта. Это пример умоляя вопрос, так как нельзя считать факт доказанным в ходе доказательства.

Контрпримеры, когда производная знаменателя равна нулю

Необходимость условия, что ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ возле ${\displaystyle c}$ можно увидеть на следующем контрпримере из-за Отто Штольц.^[8] Позволять ${\displaystyle f(x)=x+\sin x\cos x}$ и ${\displaystyle g(x)=f(x)e^{\sin x}.}$ Тогда нет предела для ${\displaystyle f(x)/g(x)}$ в качестве ${\displaystyle x\to \infty .}$ Тем не мение,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}&={\frac {2\cos ^{2}x}{(2\cos ^{2}x)e^{\sin x}+(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}\cos x}}\\[4pt]&={\frac {2\cos x}{2\cos x+x+\sin x\cos x}}e^{-\sin x},\end{aligned}}}$

который стремится к 0 при ${\displaystyle x\to \infty }$. Дальнейшие примеры этого типа были найдены Ральф П. Боас мл.^[9]

Другие неопределенные формы

Другие неопределенные формы, такие как 1^∞, 0⁰, ∞⁰, 0 · ∞, и ∞ − ∞, иногда можно оценить с помощью правила L'Hôpital. Например, чтобы оценить предел, связанный с ∞ − ∞, преобразуйте разницу двух функций в частное:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}&\quad (1)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}&\quad (2)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}&\quad (3)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}&\quad (4)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}},\end{aligned}}}$

где правило Л'Опиталя применяется при переходе от (1) к (2) и снова при переходе от (3) к (4).

Правило L'Hôpital можно использовать для неопределенных форм, включающих экспоненты используя логарифмы "сдвинуть показатель вниз". Вот пример с неопределенной формой 0⁰:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\cdot \ln x}=e^{\lim \limits _{x\to 0^{+}}(x\cdot \ln x)}.}$

Допустимо переместить лимит внутрь экспоненциальная функция потому что экспоненциальная функция непрерывный. Теперь показатель степени ${\displaystyle x}$ был «спущен». Лимит ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x}$ имеет неопределенную форму 0 · ∞, но, как показано в примере выше, правило Л'Опиталя может использоваться для определения того, что

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0.}$

Таким образом

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1.}$

Теорема Штольца – Чезаро

Основная статья: Теорема Штольца – Чезаро

Теорема Штольца – Чезаро является аналогичным результатом, касающимся пределов последовательностей, но в ней используются конечные операторы разницы скорее, чем производные.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим кривую на плоскости, Икс-координата дается грамм(т) и чей у-координата дается ж(т), причем обе функции непрерывны, т.е. локус точек формы [грамм(т), ж(т)]. Предполагать ж(c) = грамм(c) = 0. Предел соотношения ж(т)/грамм(т) в качестве т → c - наклон касательной к кривой в точке [грамм(c), ж(c)] = [0,0]. Касательная к кривой в точке [грамм(т), ж(т)] дан кем-то [грамм′(т), ж′(т)]. Затем правило Лопиталя гласит, что наклон кривой, когда т = c - это предел наклона касательной к кривой по мере приближения кривой к началу координат, при условии, что это определено.

Доказательство правила L'Hôpital

Особый случай

Доказательство правила Л'Опиталя просто в случае, когда ж и грамм находятся непрерывно дифференцируемый в момент c и где конечный предел находится после первого раунда дифференцирования. Это не доказательство общего правила Л'Опиталя, потому что оно более строгое по своему определению, требует как дифференцируемости, так и того, что c быть реальным числом. Поскольку многие общие функции имеют непрерывные производные (например, многочлены, синус и косинус, экспоненциальные функции ), это особый случай, заслуживающий внимания.

Предположим, что ж и грамм непрерывно дифференцируемы в действительном числе c, который ${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$, и это ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$. потом

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\[6pt]={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.\end{aligned}}}$

Это следует из определения производной через фактор-разность. Последнее равенство следует из непрерывности производных при c. Предел в заключении не является неопределенным, потому что ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$.

Доказательство более общей версии правила Л'Опиталя приводится ниже.

Общее доказательство

Следующее доказательство принадлежит Тейлор (1952), где единое доказательство 0/0 и ±∞/±∞ даны неопределенные формы. Тейлор отмечает, что разные доказательства можно найти в Леттенмейер (1936) и Важевский (1949).

Позволять ж и грамм - функции, удовлетворяющие гипотезам Общая форма раздел. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ - открытый интервал в гипотезе с конечной точкой c. Учитывая, что ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ на этом интервале и грамм непрерывно, ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ можно выбрать меньше, чтобы грамм отличен от нуля на ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$.^[d]

Для каждого Икс в интервале определим ${\displaystyle m(x)=\inf {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ и ${\displaystyle M(x)=\sup {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ в качестве ${\displaystyle \xi }$ колеблется по всем значениям между Икс и c. (Символы inf и sup обозначают инфимум и супремум.)

Из дифференцируемости ж и грамм на ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, Теорема Коши о среднем значении гарантирует, что для любых двух различных точек Икс и у в ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ существует ${\displaystyle \xi }$ между Икс и у такой, что ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$. Как следствие, ${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)}$ для всех вариантов выбора Икс и у в интервале. Значение грамм(Икс)-грамм(у) всегда отлична от нуля для различных Икс и у в интервале, иначе теорема о среднем значении означало бы существование п между Икс и у такой, что грамм' (п)=0.

Определение м(Икс) и M(Икс) приведет к расширенному действительному числу, поэтому они могут принимать значения ± ∞. В следующих двух случаях м(Икс) и M(Икс) установит границы на отношение ж/грамм.

Случай 1: ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$

Для любого Икс в интервале ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, и укажите у между Икс и c,

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)}$

и поэтому как у подходы c, ${\displaystyle {\frac {f(y)}{g(x)}}}$ и ${\displaystyle {\frac {g(y)}{g(x)}}}$ стать нулевым, и так

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x).}$

Случай 2: ${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }$

Для каждого Икс в интервале ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, определять ${\displaystyle S_{x}=\{y\mid y{\text{ is between }}x{\text{ and }}c\}}$. За каждую точку у между Икс и c,

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x).}$

В качестве у подходы c, обе ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(y)}}}$ и ${\displaystyle {\frac {g(x)}{g(y)}}}$ становятся нулевыми, и поэтому

${\displaystyle m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x).}$

В предел высшего и ограничивать низший необходимы, так как существует предел ж/грамм еще не установлено.

Также верно, что

${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$

^[e]и

${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

В случае 1 теорема сжатия устанавливает, что ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ существует и равно L. В случае 2 и теорема о сжатии снова утверждает, что ${\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}$, так что предел ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ существует и равно L. Это результат, который нужно было доказать.

В случае 2 предположение, что ж(Икс) расходится на бесконечность в доказательстве не использовалась. Это означает, что если |грамм(Икс) | расходится до бесконечности как Икс подходы c и оба ж и грамм удовлетворяют гипотезам правила Лопиталя, то дополнительных предположений о пределе ж(Икс): Возможно даже, что предел ж(Икс) не существует. В этом случае теорема Лопиталя на самом деле является следствием Чезаро – Штольца.^[10]

В случае, когда |грамм(Икс) | расходится до бесконечности как Икс подходы c и ж(Икс) сходится к конечному пределу при c, то правило L'Hôpital будет применимо, но не обязательно, поскольку базовое исчисление пределов покажет, что предел ж(Икс)/грамм(Икс) в качестве Икс подходы c должно быть равно нулю.

Следствие

Простое, но очень полезное следствие правила Лопиталя - это хорошо известный критерий дифференцируемости. В нем говорится следующее: предположим, что ж непрерывно на а, и это ${\displaystyle f'(x)}$ существует для всех Икс в некотором открытом интервале, содержащем а, за исключением разве что ${\displaystyle x=a}$. Предположим, кроме того, что ${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)}$ существуют. потом ${\displaystyle f'(a)}$ также существует и

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}f'(x).}$

Особенно, f ' также непрерывен на а.

Доказательство

Рассмотрим функции ${\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)}$ и ${\displaystyle g(x)=x-a}$. Преемственность ж в а говорит нам, что ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}$. Более того, ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0}$ так как полиномиальная функция всегда всюду непрерывна. Применение правила L'Hopital показывает, что ${\displaystyle f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)}$.

Смотрите также

• Противоречие L'Hôpital

Примечания

1. В 17-м и 18-м веках это имя обычно писалось «госпиталь», и он сам писал свое имя таким образом. Однако французское написание был изменен: молчание 's' было удалено и заменено с циркумфлекс над предыдущей гласной. Прежнее написание все еще используется в английском языке, где нет циркумфлекса.
2. "Предложение I. Problême. Soit une ligne Courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [см. Рис. 130]) telle que la valeur de l'appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c'est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l'appliquée BD. [Решение:] ... si l'on prend la difference du numérateur, & qu'on la divise par la difference du denominateur, apres escapeir fait x = a = Ab ou AB, l'on aura la valeur cherchée de l'appliquée bd ou BD " Перевод : "Пусть существует кривая AMD (где AP = X, PM = y, AB = a) такая, что значение ординаты y выражается дробью, числитель и знаменатель которой становятся равными нулю, когда x = a; то есть когда точка P попадает в данную точку B. Кто-то спрашивает, каким будет значение ординаты BD. [Решение:] ... если взять дифференциал числителя и разделить его на дифференциал знаменателя после установки x = a = Ab или AB, будет получено искомое [искомое] значение ординаты bd или BD ".^[2]
3. Определение предела функции функциональным анализом не требует существования такого интервала.
4. С грамм' отличен от нуля и грамм непрерывна на интервале, невозможно грамм быть нулем более одного раза на интервале. Если бы у него было два нуля, теорема о среднем значении утверждал бы существование точки п в промежутке между нулями такой, что грамм' (п) = 0. Так что либо грамм уже отличен от нуля на интервале, иначе интервал может быть уменьшен в размере, чтобы не содержать единственный ноль грамм.
5. Пределы ${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)}$ оба существуют, поскольку имеют неубывающую и невозрастающую функции Икссоответственно. Рассмотрим последовательность ${\displaystyle x_{i}\to c}$. потом ${\displaystyle \lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})}$, поскольку неравенство выполняется для каждого я; это дает неравенства ${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \lim _{x\to c}M(x)}$Следующий шаг - показать ${\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$. Действительно, зафиксируем последовательность чисел ${\displaystyle \varepsilon _{i}>0}$ такой, что ${\displaystyle \lim _{i}\varepsilon _{i}=0}$, и последовательность ${\displaystyle x_{i}\to c}$. Для каждого я, выберите ${\displaystyle x_{i}<y_{i}<c}$ такой, что ${\displaystyle {\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\geq \sup _{x_{i}<\xi <c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$, по определению ${\displaystyle \sup }$. Таким образом ${\displaystyle \lim _{i}M(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\lim _{i}\varepsilon _{i}=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}}$ по желанию. ${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ похож.

Рекомендации

1. О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. "Биография Де Л'Опиталь". Архив истории математики MacTutor. Шотландия: Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс.. Получено 21 декабря 2008.
2. L’Hospital. "Анализируйте des infiniment petits": 145–146.
3. Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (2011). История математики (3-е иллюстрированное изд.). Джон Вили и сыновья. п. 321. ISBN  978-0-470-63056-3. Отрывок страницы 321
4. Вайсштейн, Эрик В. "Правило госпиталя". MathWorld.
5. (Чаттерджи 2005, п. 291)
6. (Кранц 2004, стр.79)
7. Умножение на ${\displaystyle e^{-}x}$ вместо этого дает предельное решение без необходимости в правиле Лопиталя.
8. Штольц, Отто (1879). "Ueber die Grenzwerthe der Quotienten" [О пределах частных]. Mathematische Annalen (на немецком). 15 (3–4): 556–559. Дои:10.1007 / bf02086277. S2CID  122473933.
9. Боас-младший, Ральф П. (1986). «Контрпримеры к правилу Л'Опиталя». Американский математический ежемесячный журнал. 93 (8): 644–645. Дои:10.1080/00029890.1986.11971912. JSTOR  2322330.
10. «Теорема Л'Опиталя». IMOmath. Международная математическая олимпиада.

Источники

• Чаттерджи, Дипак (2005), Реальный анализ, PHI Learning Pvt. ООО, ISBN  81-203-2678-4
• Кранц, Стивен Г. (2004), Справочник реальных переменных. С приложениями к дифференциальным уравнениям и анализу Фурье, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston Inc., стр. Xiv + 201, Дои:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN  0-8176-4329-X, МИСТЕР  2015447
• Леттенмейер, Ф. (1936), "Uber die sogenannte Hospitalsche Regel", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1936 (174): 246–247, Дои:10.1515 / crll.1936.174.246, S2CID  199546754
• Тейлор, А. Э. (1952), "Правило госпиталя", Амер. Математика. Ежемесячно, 59 (1): 20–24, Дои:10.2307/2307183, ISSN  0002-9890, JSTOR  2307183, МИСТЕР  0044602
• Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Prace Mat.-Fiz. (На французском), 47: 117–128, МИСТЕР  0034430