Интеграл секущей функции - Integral of the secant function

В расчетах интеграл секущей функции могут быть оценены с использованием различных методов, и существует несколько способов выражения первообразной, все из которых можно показать как эквивалентные с помощью тригонометрических тождеств,

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta ={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\end{cases}}}$

Эта формула полезна для вычисления различных тригонометрических интегралов. В частности, его можно использовать для оценки интеграл секущей функции в кубе, который, несмотря на кажущуюся особенность, довольно часто встречается в приложениях.^[1]

Доказательство эквивалентности различных первообразных

Тригонометрические формы

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\end{array}}\right\}{\text{ (equivalent forms)}}}$

Второй из них следует из первого умножения верхней и нижней части внутренней дроби на ${\displaystyle (1+\sin \theta )}$. Это дает ${\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta }$ в знаменателе, и результат следует путем перенесения множителя 1/2 в логарифм как квадратный корень. Оставив пока константу интегрирования,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|&={\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\cdot {\dfrac {1+\sin \theta }{1+\sin \theta }}\right|={\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {(1+\sin \theta )^{2}}{1-\sin ^{2}\theta }}\right|={\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {(1+\sin \theta )^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right|\\[6pt]&={\dfrac {1}{2}}\ln \left({\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right)^{2}=\ln {\sqrt {\left({\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right)^{2}}}=\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right|=\ln |\sec \theta +\tan \theta |.\end{aligned}}}$

Третья форма следует заменой ${\displaystyle \sin \theta }$ к ${\displaystyle -\cos(\theta +\pi /2)}$ и расширение с помощью идентичности за ${\displaystyle \cos 2x}$. Его также можно получить напрямую, выполнив следующие замены:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec \theta ={\frac {1}{\sin \left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\sin \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\cos \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}}={\frac {\sec ^{2}\left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}{2\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}}.\end{aligned}}}$

Традиционное решение для Проекция Меркатора ординату можно писать без знаков модуля, так как широта ${\displaystyle \varphi }$ лежит между ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$,

${\displaystyle y=\ln \tan \!\left({\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Гиперболические формы

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\ln(\sec \theta +\tan \theta ),\\e^{\psi }&=\sec \theta +\tan \theta ,\\\sinh \psi &={\frac {1}{2}}(e^{\psi }-e^{-\psi })=\tan \theta ,\\\cosh \psi &={\sqrt {1+\sinh ^{2}\psi }}=\sec \theta ,\\\tanh \psi &=\sin \theta .\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\psi =\tanh ^{-1}\!\left(\sin \theta \right)=\sinh ^{-1}\!\left(\tan \theta \right)=\cosh ^{-1}\!\left(\sec \theta \right).\end{aligned}}}$

История

Интеграл от секущей функции был одной из «нерешенных открытых проблем середины семнадцатого века», решенной в 1668 г. Джеймс Грегори.^[2] Он применил свой результат к задаче о навигационных таблицах.^[1] В 1599 г. Эдвард Райт оценил интеграл к численные методы - что сегодня мы бы назвали Суммы Римана.^[3] Он хотел решение для целей картография - специально для построения точного Проекция Меркатора.^[2] В 1640-х годах Генри Бонд, учитель навигации, геодезии и других математических дисциплин, сравнил численно вычисленную таблицу Райта значений интеграла секущий с таблицей логарифмов касательной функции, и, следовательно, предположил, что^[2]

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\sec \theta \,d\theta =\ln \left|\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|.}$

Эта гипотеза получила широкую известность, и в 1665 г. Исаак Ньютон знал об этом.^[4][5]

Оценки

Стандартной заменой (подход Грегори)

Стандартный метод вычисления секущего интеграла, представленный в различных источниках, включает в себя умножение числителя и знаменателя на ${\displaystyle \sec \theta +\tan \theta }$ а затем подставив в полученное выражение следующее: ${\displaystyle u=\sec \theta +\tan \theta }$ и ${\displaystyle du=(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta )\,d\theta }$.^[6][7] Эта замена может быть получена путем сложения производных секущей и касательной, у которых секущая является общим множителем.^[8]

Начиная с

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\sec \theta =\sec \theta \tan \theta \quad {\text{and}}\quad {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta ,}$

добавление их дает

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}(\sec \theta +\tan \theta )=\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta =\sec \theta (\tan \theta +\sec \theta ).}$

Таким образом, производная от суммы равна сумме, умноженной на ${\displaystyle \sec \theta }$. Это позволяет умножать ${\displaystyle \sec \theta }$ к ${\displaystyle \sec \theta +\tan \theta }$ в числителе и знаменателе и произведя следующие замены: ${\displaystyle u=\sec \theta +\tan \theta }$ и ${\displaystyle du=(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta )\,d\theta }$.

Интеграл вычисляется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {\sec \theta (\sec \theta +\tan \theta )}{\sec \theta +\tan \theta }}\,d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {(\sec ^{2}\theta +\sec \theta \tan \theta )\,d\theta }{\sec \theta +\tan \theta }}&&u=\sec \theta +\tan \theta \\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}&&du=(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\ln |u|+C=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}}$

как заявлено. Эту формулу открыл Джеймс Грегори.^[1]

Частичными дробями и заменой (подход Барроу)

Хотя Григорий доказал гипотезу в 1668 г. Геометрические упражнениядоказательство было представлено в форме, которая делает его почти невозможным для понимания современного читателя; Исаак Барроу, в его Геометрические лекции 1670 г.,^[9] дал первое «вразумительное» доказательство, хотя даже оно было «сформулировано в геометрической идиоме того времени».^[2] Доказательство результата Барроу было самым ранним использованием частичные фракции в интеграции.^[2] Доказательство Барроу, адаптированное к современным обозначениям, начиналось следующим образом:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {d\theta }{\cos \theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{\cos ^{2}\theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{1-\sin ^{2}\theta }}}$

Подстановка ${\displaystyle u}$ за ${\displaystyle \sin \theta }$ сводит интеграл к

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{1-u^{2}}}&=\int {\frac {du}{(1+u)(1-u)}}={\dfrac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}\right)\,du\\[10pt]&={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|1+u\right|-\ln \left|1-u\right|\right)+C={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+u}{1-u}}\right|+C\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta ={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C,}$

как и ожидалось.

Подстановкой Вейерштрасса

Стандарт

Формулы для Замена Вейерштрасса являются следующими. Позволять ${\displaystyle t=\tan(\theta /2)}$, куда ${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$. потом^[10]

${\displaystyle \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\qquad {\text{and}}\qquad \cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}}.}$

Следовательно,

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad {\text{and}}\qquad d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

по формулам двойного угла. Что касается интеграла от секущей функции,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {d\theta }{\cos \theta }}=\int {\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt&&t=\tan {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{1-t^{2}}}=\int {\frac {2\,dt}{(1-t)(1+t)}}\\[6pt]&=\int 2\left[{\frac {1}{2(1+t)}}+{\frac {1}{2(1-t)}}\right]dt&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1}{t+1}}-{\frac {1}{t-1}}\right)dt\\[6pt]&=\ln |t+1|-\ln |t-1|+C=\ln \left|{\frac {t+1}{t-1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {t+1}{t-1}}\cdot {\frac {t+1}{t+1}}\right|+C=\ln \left|{\frac {t^{2}+2t+1}{t^{2}-1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}+{\frac {2t}{t^{2}-1}}\right|+C=\ln \left|{\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}+{\frac {2t}{t^{2}-1}}\cdot {\frac {t^{2}+1}{t^{2}+1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}+{\frac {2t}{t^{2}+1}}\cdot {\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {1}{\cos \theta }}+\sin \theta \cdot {\frac {1}{\cos \theta }}\right|+C=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}}$

как прежде.

Нестандартный

Интеграл также может быть получен с помощью несколько нестандартной версии подстановки Вейерштрасса, которая проще в случае этого конкретного интеграла, опубликованного в 2013 г.^[11] как следует:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\\[10pt]&{\frac {2x}{1+x^{2}}}=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta \\[10pt]&dx={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {1}{2}}(1+x^{2})d\theta \\[10pt]&{\frac {2\,dx}{1+x^{2}}}=d\theta \\[10pt]\int \sec \theta \,d\theta &=\int \left({\frac {1+x^{2}}{2x}}\right)\left({\frac {2}{1+x^{2}}}\right)\,dx=\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\right|+C.\end{aligned}}}$

Гудермановский и ламбертианский

Интеграл от секущей функции определяет функцию Ламберта, которая является обратной функцией Функция Гудермана:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\operatorname {lam} (\theta )=\operatorname {gd} ^{-1}(\theta ).}$

Это встречается в теории картографических проекций: Проекция Меркатора точки с долготой θ и широта φ может быть написано^[12] в качестве:

${\displaystyle (x,y)=(\theta ,\operatorname {lam} (\varphi )).}$

Смотрите также

• Математический портал

• Интеграл секущей в кубе
• Функция Гудермана

Рекомендации

1. Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 7.2: Тригонометрические интегралы». Исчисление - Ранние трансценденталы. США: Cengage Learning. С. 475–6. ISBN  978-0-538-49790-9.
2. В. Фредерик Рики и Филип М. Тучинский, Приложение географии к математике: история интеграла секущей в Математический журнал, том 53, номер 3, май 1980 г., страницы 162–166.
3. Эдвард Райт, Определенные ошибки в навигации, возникающие либо из-за обычного ошибочного построения или совмещения морской карты, компаса, штаба Кросс и таблиц склонения Солнца, а также фиксированного Старреса, обнаруженного и исправленного, Валентин Симмс, Лондон, 1599 г.
4. Х. В. Тернбулл, редактор, Переписка Исаака Ньютона, Cambridge University Press, 1959–1960, том 1, страницы 13–16 и том 2, страницы 99–100.
5. Д. Т. Уайтсайд, редактор, Математические статьи Исаака Ньютона, Cambridge University Press, 1967, том 1, страницы 466–467 и 473–475.
6. «Доказательство: интеграл сек (х)». Math.com.
7. Фельдман, Джоэл. "Интеграция sec x и sec³ Икс" (PDF). Математический факультет Университета Британской Колумбии.
8. «Интеграл секанса» (PDF). MIT OpenCourseWare.
9. Дрезден, Арнольд (1918). "Рассмотрение: Геометрические лекции Исаака Барроу, переведенный Джеймсом Марком Чайлдом с примечаниями и корректурой " (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 24 (9): 454–456. Дои:10.1090 / с0002-9904-1918-03122-4.
10. Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 7.4: Интегрирование рациональных функций частичными дробями». Исчисление: ранние трансцендентальные теории (7-е изд.). Белмонт, Калифорния, США: Cengage Learning. стр.493. ISBN  978-0-538-49790-9.
11. Майкл Харди, "Эффективность антидифференцировки секущей функции", Американский математический ежемесячный журнал, Июнь – июль 2013 г., стр. 580.
12. Ли, Л.П. (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций. Приложение № 1 к Канадскому картографу, том 13 (Обозначено как Монография 16)