Интеграция с оболочкой - Shell integration

Объем аппроксимируется набором полых цилиндров. По мере того, как стенки цилиндра становятся тоньше, приближение становится лучше. Предел этого приближения - интеграл оболочки.

Интеграция с оболочкой (в метод оболочки в интегральное исчисление ) - метод для расчет в объем из твердый революционный, при интегрировании по оси перпендикулярно ось вращения. Это в отличие от интеграция диска который интегрируется по оси параллельно к оси вращения.

Определение

Метод оболочки выглядит следующим образом: Рассмотрим объем в трех измерениях, полученный путем поворота поперечного сечения в ху-самолет вокруг у-ось. Предположим, что сечение определяется графиком положительной функции ж(Икс) на интервале [а, б]. Тогда формула объема будет такой:

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}$

Если функция имеет у координата и ось вращения Икс-axis формула принимает следующий вид:

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy}$

Если функция вращается вокруг линии Икс = час или же у = k, то формулы становятся:^[1]

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h\end{cases}}}$

и

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k\end{cases}}}$

Формула выводится путем вычисления двойной интеграл в полярные координаты.

Пример

Рассмотрим объем, изображенный ниже, поперечное сечение которого на интервале [1, 2] определяется как:

${\displaystyle y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}}$

Поперечное сечение

3D объем

В случае интеграции с дисками нам нужно будет решить для Икс данный у. Поскольку объем полый посередине, мы найдем две функции: одна, которая определяет внутреннее твердое тело, а другая - внешнее. После объединения этих двух функций с дисковым методом мы вычитаем их, чтобы получить желаемый объем.

Для метода оболочки все, что нам нужно, это следующая формула:

${\displaystyle 2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,dx}$

При расширении полинома интеграл становится очень простым. В итоге мы находим объем π/10 кубические единицы.

Смотрите также

• Твердая революция
• Интеграция с дисками

Рекомендации

1. Хекман, Дэйв (2014). «Объем - метод оболочки» (PDF). Получено 2016-09-28.

• Вайсштейн, Эрик В. «Метод снарядов». MathWorld.
• Фрэнк Эйрес, Эллиотт Мендельсон. Очертания Шаума: Исчисление. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN  978-0-07-150861-2. стр. 244–248 (онлайн-копия, п. 244, в Google Книги )