Интеграл Фруллани - Frullani integral

В математика, Интегралы Фруллани это особый тип несобственный интеграл назван в честь итальянского математика Джулиано Фруллани. Интегралы имеют вид

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x}$

где ${\displaystyle f}$ это функция определен для всех неотрицательных действительные числа что есть предел в ${\displaystyle \infty }$, который обозначим через ${\displaystyle f(\infty )}$.

При определенных условиях справедлива следующая формула их общего решения:^{[требуется разъяснение ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\frac {a}{b}}.}$

Доказательство

Простое доказательство формулы можно получить, расширив интегрировать в интеграл, а затем с помощью Теорема Фубини чтобы поменять местами два интеграла:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {f(xt)}{x}}\right]_{t=b}^{t=a}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{b}^{a}f'(xt)\,dt\,dx\\&=\int _{b}^{a}\int _{0}^{\infty }f'(xt)\,dx\,dt\\&=\int _{b}^{a}\left[{\frac {f(xt)}{t}}\right]_{x=0}^{x\to \infty }\,dt\\&=\int _{b}^{a}{\frac {f(\infty )-f(0)}{t}}\,dt\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}{\Big (}\ln(a)-\ln(b){\Big )}\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}\\\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что интеграл во второй строке выше был взят по интервал ${\displaystyle [b,a]}$не ${\displaystyle [a,b]}$.

Приложения

Формулу можно использовать для получения интегрального представления для натуральный логарифм ${\displaystyle \ln(x)}$ позволяя ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ и ${\displaystyle a=1}$:

${\displaystyle {\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}-e^{-bx}}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{e^{n}}}-e^{0}{\Big )}\ln {\Big (}{\frac {1}{b}}}{\Big )}=\ln(b)}$

Формулу также можно обобщить несколькими способами.^[1]

использованная литература

• Г. Борос, В. Молл, Непреодолимые интегралы (2004), стр. 98
• Хуан Ариас-де-Рейна, К теореме Фруллани (PDF; 884 kB), Proc. A.M.S. 109 (1990), 165-175.
• ProofWiki, доказательство интеграла Фруллани.

1. Браво, Серджио; Гонсалес, Иван; Коль, Карен; Молл, Виктор Х. (21 января 2017 г.). «Интегралы типа Фруллани и метод скобок». Открытая математика. 15 (1). Дои:10.1515 / math-2017-0001. Получено 17 июн 2020.