Интеграл Петтиса - Pettis integral

В математика, то Интеграл Петтиса или же Интеграл Гельфанда – Петтиса, названный в честь Исраэль М. Гельфанд и Билли Джеймс Петтис, расширяет определение Интеграл Лебега векторным функциям на измерить пространство, используя двойственность. Интеграл был введен Гельфандом для случая, когда пространство меры представляет собой интервал с Мера Лебега. Интеграл также называют слабый интеграл в отличие от Интеграл Бохнера, который является сильным интегралом.

Определение

Позволять ж : Икс → V куда ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ пространство меры и V это топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным двойным пространством ${\displaystyle V^{\prime }}$ который разделяет точки (т.е. если Икс в V отличен от нуля, то есть некоторые ${\displaystyle l\in V^{\prime }}$ такой, что л(Икс) ≠ 0), например V это нормированное пространство или (в более общем смысле) Хаусдорф локально выпуклый TVS. Запишем оценку функционала как пару двойственности: ${\displaystyle \langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x]}$.

Мы говорим что ж является Петтис интегрируемый если ${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$ и для всех ${\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}$ и ${\displaystyle A\in \Sigma }$ существует вектор ${\displaystyle e_{A}\in V}$ так что:

${\displaystyle \forall \varphi \in V^{\prime }:\qquad \langle \varphi ,e_{A}\rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\operatorname {d} \mu (x)}$.

В этом случае мы называем ${\displaystyle e_{A}}$ интеграл Петтиса ж на А. Общие обозначения для интеграла Петтиса ${\displaystyle e_{A}}$ включают

${\displaystyle \int _{A}f\operatorname {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\operatorname {d} \mu (x),\quad {\text{and, in case that A=X is understood,}}\quad \mu [f]}$.

Характеристики

• Непосредственным следствием определения является то, что интегралы Петтиса совместимы с непрерывными линейными операторами: если ${\displaystyle \Phi :V_{1}\to V_{2}}$ является и линейным и непрерывным и ${\displaystyle f:X\to V_{1}}$ интегрируема по Петтису, то ${\displaystyle \Phi \circ f}$ интегрируется с Петтисом и:

${\displaystyle \int _{X}\Phi (f(x))\,d\mu (x)=\Phi \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right).}$

• Стандартная смета

${\displaystyle \left|\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right|\leqslant \int _{X}|f(x)|\,d\mu (x)}$

для вещественно- и комплекснозначных функций обобщается на интегралы Петтиса в следующем смысле: для всех непрерывных полунорм ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$ и все интегрируемые по Петтису ${\displaystyle f:X\to V,}$

${\displaystyle p\left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)\leqslant {\underline {\int _{X}}}p(f(x))\,d\mu (x)}$

держит. Правая часть - это нижний интеграл Лебега ${\displaystyle [0,\infty ]}$-значная функция, т.е.

${\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \right|h:X\to [0,\infty ]{\text{ is measurable and }}0\leqslant h\leqslant g\right\}.}$

Необходим нижний интеграл Лебега, поскольку подынтегральное выражение ${\displaystyle p\circ f}$ не поддается измерению. Это следует из Теорема Хана-Банаха потому что для каждого вектора ${\displaystyle v\in V}$ должен быть непрерывный функционал ${\displaystyle \varphi \in V^{\ast }}$ такой, что ${\displaystyle \varphi (v)=p(v)}$ и ${\displaystyle \forall w\in V:|\varphi (w)|\leq p(w)}$. Применяя это к ${\displaystyle v:=\int _{X}f\,d\mu }$ это дает результат.

Теорема о среднем значении

Важным свойством является то, что интеграл Петтиса по конечной мере содержится в замыкании выпуклый корпус значений, масштабированных по мере области интегрирования:

${\displaystyle \mu (A)<\infty \implies \int _{A}f\,d\mu \in \mu (A)\cdot {\overline {co(f(A))}}}$

Это следствие Теорема Хана-Банаха и обобщает Теорема о среднем значении для интегралов от действительных функций: Если ${\displaystyle V=\mathbb {R} ,}$ то замкнутые выпуклые множества - это просто интервалы и для ${\displaystyle f:X\to [a,b],}$ неравенство

${\displaystyle \mu (A)a\leqslant \int _{A}f\,d\mu \leqslant \mu (A)b}$

держать.

Существование

• Если ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ конечномерно, то ${\displaystyle f}$ интегрируема по Петтису тогда и только тогда, когда каждый из ${\displaystyle f}$координаты Лебега интегрируемы.

• Если ${\displaystyle f}$ интегрируема по Петтису и ${\displaystyle A\in \Sigma }$ измеримое подмножество ${\displaystyle X}$, то по определению ${\displaystyle f_{|A}:A\to V}$ и ${\displaystyle f\cdot 1_{A}:X\to V}$ также интегрируемы по Петтису и

${\displaystyle \int _{A}f_{|A}\,d\mu =\int _{X}f\cdot 1_{A}\,d\mu .}$

• Если ${\displaystyle X}$ топологическое пространство, ${\displaystyle \Sigma ={\mathfrak {B}}_{X}}$ это Борель-${\displaystyle \sigma }$-алгебра, ${\displaystyle \mu }$ а Мера Бореля который присваивает конечные значения компактным подмножествам, ${\displaystyle V}$ является квази-полный (т.е. каждый ограниченный Сеть Коши сходится) и если ${\displaystyle f}$ непрерывно с компактным носителем, то ${\displaystyle f}$ интегрируема по Петтису.

• В более общем плане: если ${\displaystyle f}$ слабо измерима и существует компактная выпуклая ${\displaystyle C\subseteq V}$ и нулевой набор ${\displaystyle N\subseteq X}$ такой, что ${\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq C}$, тогда ${\displaystyle f}$ интегрируем по Петтису.

Закон больших чисел для интегрируемых по Петтису случайных величин

Позволять ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ - вероятностное пространство, и пусть ${\displaystyle V}$ - топологическое векторное пространство с двойственным пространством, разделяющим точки. Позволять ${\displaystyle v_{n}\colon \Omega \to V}$ - последовательность интегрируемых по Петтису случайных величин, и запишем ${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$ для интеграла Петтиса от ${\displaystyle v_{n}}$ (над ${\displaystyle X}$). Обратите внимание, что ${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$ является (неслучайным) вектором в ${\displaystyle V}$, и не является скалярным значением.

Позволять

${\displaystyle {\bar {v}}_{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}v_{n}}$

обозначают выборочное среднее. По линейности ${\displaystyle {\bar {v}}_{N}}$ интегрируема по Петтису, и

${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.}$

Предположим, что частичные суммы

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]}$

абсолютно сходятся в топологии ${\displaystyle V}$, в том смысле, что все перестановки суммы сходятся к одному вектору ${\displaystyle \lambda \in V}$. Из слабого закона больших чисел следует, что ${\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}$ для каждого функционала ${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$. Как следствие, ${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda }$ в слабая топология на ${\displaystyle X}$.

Без дополнительных предположений возможно, что ${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]}$ не сходится к ${\displaystyle \lambda }$.^{[нужна цитата ]} Чтобы добиться сильной сходимости, необходимо больше предположений.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Векторная мера
• Слабо измеримая функция

Рекомендации

• Джеймс К. Брукс, Представления слабых и сильных интегралов в банаховых пространствах, Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки 63, 1969, 266–270. Полный текст МИСТЕР0274697
• Исраэль М. Гельфанд, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Математика. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Математика. Харьков, И.В. Сер. 13, 1936, 35–40 Zbl  0014.16202
• Мишель Талагранд, Интеграл Петтиса и теория меры, Воспоминания АМН нет. 307 (1984) МИСТЕР0756174
• Соболев, В. И. (2001) [1994], "Петтис Интеграл", Энциклопедия математики, EMS Press