Слабо измеримая функция - Weakly measurable function

В математика - в частности, в функциональный анализ —А слабо измеримая функция принимая ценности в Банахово пространство это функция чей сочинение с любым элементом двойное пространство это измеримая функция в обычном (сильном) смысле. За разделимые пространства, понятия слабой и сильной измеримости совпадают.

Определение

Если (Икс, Σ) является измеримое пространство и B является банаховым пространством над поле K (обычно действительные числа р или же сложные числа C), тогда ж : Икс → B как говорят слабо измеримый если для каждого непрерывный линейный функционал грамм : B → K, функция

${displaystyle gcirc fcolon X o mathbf {K} colon xmapsto g(f(x))}$

является измеримой функцией относительно Σ и обычным Борель σ-алгебра на K.

Измеримая функция на вероятностное пространство обычно называют случайная переменная (или же случайный вектор если он принимает значения в векторном пространстве, таком как банахово пространство BТаким образом, как частный случай приведенного выше определения, если (Ω, Σ,п) - вероятностное пространство, то функция Z:: Ω →B называется (B-значен) слабая случайная величина (или же слабый случайный вектор), если для любого линейного непрерывного функционала грамм : B → K, функция

${displaystyle gcirc Zcolon Omega o mathbf {K} colon omega mapsto g(Z(omega ))}$

это K-значная случайная величина (т.е.измеримая функция) в обычном смысле относительно Σ и обычного борелевского σ-алгебра на K.

Характеристики

Связь между измеримостью и слабой измеримостью определяется следующим результатом, известным как Петтис теорема или же Теорема Петтиса об измеримости.

Функция ж как говорят почти наверняка раздельно оцененный (или же по существу раздельно оцененный), если существует подмножество N ⊆ Икс с μ(N) = 0 такое, что ж(Икс  N) ⊆ B отделимо.

Теорема (Петтис, 1938). Функция ж : Икс → B определено на измерить пространство (Икс, Σ,μ) и принимая значения в банаховом пространстве B (сильно) измеримо (что равняется п.в. пределу последовательности измеримых счетнозначных функций) если и только если он одновременно слабо измерим и почти наверняка оценен отдельно.

В случае, если B сепарабельно, так как любое подмножество сепарабельного банахова пространства само сепарабельно, можно взять N выше быть пустым, и отсюда следует, что понятия слабой и сильной измеримости совпадают, когда B отделимо.

Смотрите также

• Измеримая функция Бохнера
• Интеграл Бохнера
• Интеграл Петтиса
• Векторная мера

Рекомендации

• Петтис, Б. Дж. (1938). «Об интегрировании в векторных пространствах». Пер. Амер. Математика. Soc. 44 (2): 277–304. Дои:10.2307/1989973. ISSN  0002-9947. МИСТЕР  1501970.
• Шоуолтер, Ральф Э. (1997). «Теорема III.1.1». Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных. Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п.103. ISBN  0-8218-0500-2. МИСТЕР  1422252.